Страница 9, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

9 Реши первый пример. Пользуясь полученным результатом, запиши ответы остальных примеров и прочитай их.

а) $382 \cdot 87 =$

$3820 \cdot 870 =$

$38\,200 \cdot 8700 =$

$382\,000 \cdot 87\,000 =$

б) $32448 : 6 =$

$324\,480 : 60 =$

$3\,244\,800 : 600 =$

$32\,448\,000 : 6000 =$

а)

Сначала решим первый пример: $382 \cdot 87$.
Выполним умножение в столбик:
1. Умножаем 382 на 7: $382 \cdot 7 = 2674$.
2. Умножаем 382 на 8 десятков: $382 \cdot 80 = 30560$.
3. Складываем полученные произведения: $2674 + 30560 = 33234$.
Таким образом, $382 \cdot 87 = 33234$.
Ответ: 33234

Теперь, используя полученный результат, решим остальные примеры. При умножении чисел, оканчивающихся на нули, можно выполнить умножение без учёта нулей, а затем к результату приписать справа столько нулей, сколько их в обоих множителях вместе.
Для примера $3820 \cdot 870$: базовое произведение $382 \cdot 87 = 33234$. В множителях 3820 и 870 всего два нуля. Приписываем их к результату: 3323400.
Ответ: 3323400
Для примера $38200 \cdot 8700$: базовое произведение 33234. Всего четыре нуля (два + два). Приписываем их к результату: 332340000.
Ответ: 332340000
Для примера $382000 \cdot 87000$: базовое произведение 33234. Всего шесть нулей (три + три). Приписываем их к результату: 33234000000.
Ответ: 33234000000

б)

Решим первый пример: $32448 : 6$.
Выполним деление в столбик (уголком):
1. Делим 32 на 6. Получаем 5, остаток 2.
2. Сносим 4, получаем 24. Делим 24 на 6. Получаем 4, остаток 0.
3. Сносим 4. 4 меньше 6, поэтому в частное пишем 0. Остаток 4.
4. Сносим 8, получаем 48. Делим 48 на 6. Получаем 8, остаток 0.
Результат деления: 5408.
Ответ: 5408

Теперь, используя полученный результат, решим остальные примеры. При делении чисел, оканчивающихся на нули, можно убрать одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя. Частное от этого не изменится.
Для примера $324480 : 60$: убираем по одному нулю в обоих числах, получаем $32448 : 6$. Мы уже знаем, что результат равен 5408.
Ответ: 5408
Для примера $3244800 : 600$: убираем по два нуля, получаем $32448 : 6 = 5408$.
Ответ: 5408
Для примера $32448000 : 6000$: убираем по три нуля, получаем $32448 : 6 = 5408$.
Ответ: 5408

10 Выполни действия:

$33\ 330 \cdot 440$; $80\ 800 \cdot 707$; $646\ 400 \div 8$; $45\ 004\ 500 \div 50$.

$33330 \cdot 440$

Для выполнения умножения представим числа с нулями в виде произведения.
$33330 = 3333 \cdot 10$
$440 = 44 \cdot 10$
Тогда выражение примет вид:
$(3333 \cdot 10) \cdot (44 \cdot 10) = 3333 \cdot 44 \cdot 100$.
Теперь выполним умножение $3333$ на $44$ в столбик:
1. Умножаем $3333$ на $4$: $3333 \cdot 4 = 13332$.
2. Умножаем $3333$ на $40$: $3333 \cdot 40 = 133320$.
3. Складываем полученные результаты: $13332 + 133320 = 146652$.
4. Умножаем полученное число на $100$: $146652 \cdot 100 = 14665200$.
Ответ: $14665200$.

$80800 \cdot 707$

Представим $80800$ как $808 \cdot 100$.
Тогда выражение можно записать как $808 \cdot 100 \cdot 707 = 808 \cdot 707 \cdot 100$.
Выполним умножение $808$ на $707$ в столбик:
1. Умножаем $808$ на $7$ (единицы): $808 \cdot 7 = 5656$.
2. Умножаем $808$ на $0$ (десятки): $808 \cdot 0 = 0$.
3. Умножаем $808$ на $7$ (сотни): $808 \cdot 700 = 565600$.
4. Складываем результаты: $5656 + 0 + 565600 = 571256$.
5. Теперь умножаем полученное число на $100$: $571256 \cdot 100 = 57125600$.
Ответ: $57125600$.

$646400 : 8$

Выполним деление столбиком.
1. Делим первое неполное делимое $64$ (тысяч) на $8$. Получаем $8$. Записываем $8$ в частное.
2. Сносим следующую цифру $6$. $6$ меньше $8$, поэтому в частное записываем $0$.
3. Сносим следующую цифру $4$, получаем $64$. Делим $64$ на $8$, получаем $8$. Записываем $8$ в частное.
4. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.
Таким образом, $646400 : 8 = 80800$.
Проверка: $80800 \cdot 8 = (80000 + 800) \cdot 8 = 640000 + 6400 = 646400$.
Ответ: $80800$.

$45004500 : 50$

Чтобы упростить деление, можно разделить и делимое, и делитель на $10$.
$45004500 : 50 = (45004500 : 10) : (50 : 10) = 4500450 : 5$.
Теперь выполним деление столбиком.
1. Делим $45$ на $5$. Получаем $9$.
2. Следующие две цифры - нули. Делим $0$ на $5$, получаем $0$. Повторяем, получаем еще один $0$.
3. Сносим $4$. $4$ меньше $5$, поэтому в частное записываем $0$.
4. Сносим $5$, получаем $45$. Делим $45$ на $5$, получаем $9$.
5. Последняя цифра - $0$. Делим $0$ на $5$, получаем $0$.
Собираем цифры частного: $900090$.
Проверка: $900090 \cdot 50 = 45004500$.
Ответ: $900090$.

11 а) В уплату за 3 рубашки по цене 360 р. папа дал в кассу магазина 1500 р. Сколько сдачи он должен получить?

б) В шкафу на первой полке стоит 120 книг, на второй — в 2 раза больше, чем на первой, а на третьей — в 3 раза меньше, чем на второй. На сколько книг на третьей полке меньше, чем на первой?

в) Летом на турбазе в палатках жило 200 человек, а в доме — 180.

К осени число людей в палатках уменьшилось в 8 раз, а в доме — в 2 раза. Сколько туристов было на базе осенью?

а)

1) Сначала найдем общую стоимость трех рубашек. Для этого умножим количество рубашек на цену одной рубашки:
$3 \times 360 = 1080$ (рублей) — стоимость трех рубашек.

2) Теперь вычтем из суммы, которую папа дал в кассу, стоимость покупки, чтобы найти сдачу:
$1500 - 1080 = 420$ (рублей) — сдача.

Ответ: 420 рублей.

б)

1) Найдем количество книг на второй полке. По условию, их в 2 раза больше, чем на первой:
$120 \times 2 = 240$ (книг) — на второй полке.

2) Теперь найдем количество книг на третьей полке. Их в 3 раза меньше, чем на второй:
$240 \div 3 = 80$ (книг) — на третьей полке.

3) Чтобы узнать, на сколько книг на третьей полке меньше, чем на первой, вычтем количество книг на третьей полке из количества книг на первой:
$120 - 80 = 40$ (книг).

Ответ: на 40 книг.

в)

1) Найдем, сколько туристов жило в палатках осенью. Их число уменьшилось в 8 раз по сравнению с летом:
$200 \div 8 = 25$ (человек) — жило в палатках осенью.

2) Найдем, сколько туристов жило в доме осенью. Их число уменьшилось в 2 раза:
$180 \div 2 = 90$ (человек) — жило в доме осенью.

3) Сложим количество туристов в палатках и в доме, чтобы найти общее число туристов на базе осенью:
$25 + 90 = 115$ (туристов).

Ответ: 115 туристов.

12 Ширина прямоугольного участка земли равна 25 м, а длина на 15 м больше. Как и на сколько изменится площадь участка, если его ширину увеличить на 7 м, а длину уменьшить на 5 м?

Для решения задачи сначала найдем первоначальные размеры и площадь участка.

1. Найдем первоначальные размеры и площадь участка.
Ширина участка, обозначим ее $w_1$, по условию равна 25 м. $w_1 = 25$ м.
Длина участка, обозначим ее $l_1$, на 15 м больше ширины. $l_1 = 25 + 15 = 40$ м.
Первоначальная площадь участка $S_1$ равна произведению его длины и ширины. $S_1 = w_1 \times l_1 = 25 \text{ м} \times 40 \text{ м} = 1000 \text{ м}^2$.

2. Найдем новые размеры и новую площадь участка.
Ширину увеличили на 7 м, значит, новая ширина $w_2$ равна: $w_2 = 25 + 7 = 32$ м.
Длину уменьшили на 5 м, значит, новая длина $l_2$ равна: $l_2 = 40 - 5 = 35$ м.
Новая площадь участка $S_2$ будет равна: $S_2 = w_2 \times l_2 = 32 \text{ м} \times 35 \text{ м} = 1120 \text{ м}^2$.

3. Сравним первоначальную и новую площади.
Чтобы узнать, как и на сколько изменилась площадь, найдем разность между новой и первоначальной площадями. $\Delta S = S_2 - S_1 = 1120 \text{ м}^2 - 1000 \text{ м}^2 = 120 \text{ м}^2$.
Поскольку разность положительная ($1120 > 1000$), площадь участка увеличилась.

Ответ: площадь участка увеличится на 120 м².

13 a) $78 \cdot 607 - 19 \cdot 97 + 904 \cdot (2081 - 1978);$

б) $805\ 001 + 908 \cdot 407 - 65 \cdot (403 - 289) - 205 \cdot 78.$

а) $78 \cdot 607 - 19 \cdot 97 + 904 \cdot (2081 - 1978)$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого – сложение и вычитание в порядке их следования.

1. Вычислим значение выражения в скобках:
$2081 - 1978 = 103$

2. Теперь выполним все операции умножения слева направо:
$78 \cdot 607 = 47346$
$19 \cdot 97 = 1843$
$904 \cdot 103 = 93112$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$47346 - 1843 + 93112$

4. Выполним вычитание и сложение слева направо:
$47346 - 1843 = 45503$
$45503 + 93112 = 138615$

Ответ: $138615$

б) $805001 + 908 \cdot 407 - 65 \cdot (403 - 289) - 205 \cdot 78$

Решим пример, следуя правилам порядка выполнения действий.

1. Найдем значение выражения в скобках:
$403 - 289 = 114$

2. Выполним все операции умножения:
$908 \cdot 407 = 369556$
$65 \cdot 114 = 7410$
$205 \cdot 78 = 15990$

3. Подставим вычисленные значения в выражение:
$805001 + 369556 - 7410 - 15990$

4. Выполним сложение и вычитание в порядке их следования:
$805001 + 369556 = 1174557$
$1174557 - 7410 = 1167147$
$1167147 - 15990 = 1151157$

Ответ: $1151157$

14* Запиши множество решений неравенств:

а) $x > 0$;

б) $x \ge 0$;

в) $x < 0$;

г) $x \le 0$.

а)

Неравенство $x > 0$ означает, что решением являются все числа, которые строго больше нуля. Это множество всех положительных чисел. На числовой прямой это будет луч, начинающийся в точке 0 (не включая саму точку) и идущий вправо к плюс бесконечности. В виде числового промежутка это записывается как $(0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б)

Неравенство $x \ge 0$ означает, что решением являются все числа, которые больше или равны нулю. Это множество всех неотрицательных чисел. На числовой прямой это будет луч, начинающийся в точке 0 (включая саму точку) и идущий вправо к плюс бесконечности. В виде числового промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в)

Неравенство $x < 0$ означает, что решением являются все числа, которые строго меньше нуля. Это множество всех отрицательных чисел. На числовой прямой это будет луч, идущий от минус бесконечности до точки 0 (не включая саму точку). В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

г)

Неравенство $x \le 0$ означает, что решением являются все числа, которые меньше или равны нулю. Это множество всех неположительных чисел. На числовой прямой это будет луч, идущий от минус бесконечности до точки 0 (включая саму точку). В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 0]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

12 За $a$ р. можно купить 2 булочки или 3 коржика. Что дороже — булочка или коржик, и на сколько? Составь выражение и найди его значение при $a = 36$ р. Придумай задачи про другие величины, которые решаются так же.

Что дороже — булочка или коржик, и на сколько?
За одну и ту же сумму денег $a$ можно купить разное количество товаров: 2 булочки или 3 коржика. Если за одинаковую сумму можно купить меньшее количество одного товара по сравнению с другим, значит, этот товар стоит дороже. Так как $2 < 3$, то одна булочка стоит дороже одного коржика.

Чтобы найти, на сколько булочка дороже, нужно найти разницу их цен.

• Цена одной булочки: $a/2$ р.
• Цена одного коржика: $a/3$ р.

Разница в цене составляет: $a/2 - a/3$ р.

Ответ: Булочка дороже коржика на $a/2 - a/3$ рублей.

Составь выражение и найди его значение при a = 36 р.
Выражение для нахождения разницы в цене булочки и коржика: $a/2 - a/3$.
Сначала упростим это выражение, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$a/2 - a/3 = (3 \cdot a)/(2 \cdot 3) - (2 \cdot a)/(3 \cdot 2) = (3a)/6 - (2a)/6 = (3a - 2a)/6 = a/6$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a = 36$ р.:
$36 / 6 = 6$ (р).
Таким образом, при общей сумме в 36 рублей булочка стоит $36/2 = 18$ рублей, а коржик стоит $36/3 = 12$ рублей. Разница в цене: $18 - 12 = 6$ рублей.

Ответ: Выражение: $a/2 - a/3$. При $a = 36$ р. значение выражения равно 6 р.

Придумай задачи про другие величины, которые решаются так же.
1. Задача про скорость. Чтобы проехать расстояние $S$ км, автомобилю требуется 4 часа, а велосипеду — 6 часов. Чья скорость больше и на сколько?
Решение: Скорость автомобиля равна $S/4$ км/ч, а скорость велосипеда — $S/6$ км/ч. Поскольку $4 < 6$, автомобиль движется быстрее. Разница в скоростях составляет $S/4 - S/6 = (3S-2S)/12 = S/12$ км/ч.

2. Задача про производительность. Один мастер может выполнить заказ объемом $V$ за 5 дней, а его ученик — за 7 дней. Чья производительность выше и на сколько?
Решение: Производительность мастера составляет $V/5$ заказа в день, а ученика — $V/7$ заказа в день. Поскольку $5 < 7$, производительность мастера выше. Разница в производительности: $V/5 - V/7 = (7V - 5V)/35 = (2V)/35$ заказа в день.

13 Сравни задачи. Чем они похожи? Почему?

а) Что больше: $4/5$ или $4/9$? Как сравнить две дроби с одинаковыми числителями?

б) Что больше: $4 : 5$ или $4 : 9$? Как изменяется частное с увеличением делителя?

Эти задачи похожи, потому что они, по сути, являются одной и той же математической задачей, записанной в разных формах. Действие деления можно записать как с помощью знака двоеточия ( : ), так и с помощью дробной черты. Таким образом, дробь $ \frac{4}{5} $ эквивалентна частному $ 4 : 5 $, а дробь $ \frac{4}{9} $ эквивалентна частному $ 4 : 9 $. В обоих случаях сравниваются результаты деления одного и того же числа (4) на разные числа (5 и 9). Числитель в дроби соответствует делимому в частном, а знаменатель — делителю.

а) Что больше: $\frac{4}{5}$ или $\frac{4}{9}$? Как сравнить две дроби с одинаковыми числителями?

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Это можно представить так: если мы делим 4 одинаковых предмета (например, пирога) на 5 человек, каждый получит большую долю, чем если бы мы делили те же 4 пирога на 9 человек.

Сравниваем дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{4}{9} $. Числители у них одинаковые (4). Сравниваем знаменатели: $ 5 < 9 $. Так как знаменатель 5 меньше знаменателя 9, то дробь $ \frac{4}{5} $ будет больше.

$ \frac{4}{5} > \frac{4}{9} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $ больше, чем $ \frac{4}{9} $.

б) Что больше: 4 : 5 или 4 : 9? Как изменяется частное с увеличением делителя?

При увеличении делителя (при неизменном делимом) частное уменьшается. То есть, чем на большее количество частей мы делим одно и то же число, тем меньше будет размер каждой части (результат деления).

Сравниваем частные $ 4 : 5 $ и $ 4 : 9 $. Делимое в обоих случаях равно 4. Сравниваем делители: $ 5 < 9 $. Поскольку делитель 9 больше делителя 5, то результат деления на 9 (частное) будет меньше, чем результат деления на 5.

$ 4 : 5 > 4 : 9 $

Для проверки можно перевести частные в десятичные дроби: $ 4 : 5 = 0.8 $, а $ 4 : 9 = 0.444... $. Очевидно, что $ 0.8 > 0.444... $.

Ответ: $ 4 : 5 $ больше, чем $ 4 : 9 $.

14 a) Расшифруй название самого большого острова Земли, расположив дроби по возрастанию. У берегов какого материка он находится?

$\frac{3}{18}$ Л

$\frac{3}{6}$ И

$\frac{3}{8}$ Д

$\frac{3}{22}$ Е

$\frac{3}{24}$ Р

$\frac{3}{10}$ Н

$\frac{3}{12}$ А

$\frac{3}{4}$ Я

$\frac{3}{20}$ Н

$\frac{3}{25}$ Г

б) Расположив частные по убыванию, расшифруй название самого маленького в мире государства. Найди его на карте.

А $\frac{8}{27}$

К $\frac{8}{15}$

Н $\frac{8}{36}$

Т $\frac{8}{12}$

А $\frac{8}{11}$

В $\frac{8}{9}$

И $\frac{8}{13}$

а)

Чтобы расшифровать название самого большого острова Земли, необходимо расположить дроби в порядке возрастания. Все дроби имеют одинаковый числитель, равный 3. Из правил сравнения дробей известно, что если числители равны, то меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Следовательно, чтобы расположить дроби по возрастанию, их знаменатели нужно расположить по убыванию: 25, 24, 22, 20, 18, 12, 10, 8, 6, 4.

Этому порядку знаменателей соответствуют следующие дроби и буквы:

$\frac{3}{25}$ (Г) < $\frac{3}{24}$ (Р) < $\frac{3}{22}$ (Е) < $\frac{3}{20}$ (Н) < $\frac{3}{18}$ (Л) < $\frac{3}{12}$ (А) < $\frac{3}{10}$ (Н) < $\frac{3}{8}$ (Д) < $\frac{3}{6}$ (И) < $\frac{3}{4}$ (Я).

Составив слово из букв в этом порядке, получаем: ГРЕНЛАНДИЯ.

Самый большой остров Земли — Гренландия. Географически он относится к Северной Америке и омывается водами Атлантического и Северного Ледовитого океанов.

Ответ: Название острова — Гренландия. Он находится у берегов Северной Америки.

б)

Чтобы расшифровать название самого маленького в мире государства, нужно расположить частные по убыванию. Во всех выражениях делимое одинаковое и равно 8. При делении одного и того же числа (делимого) на разные числа (делители), частное будет тем больше, чем меньше делитель.

Следовательно, чтобы расположить частные по убыванию, их делители нужно расположить по возрастанию: 9, 11, 12, 13, 15, 27, 36.

Этому порядку делителей соответствуют следующие частные и буквы:

$8:9$ (В) > $8:11$ (А) > $8:12$ (Т) > $8:13$ (И) > $8:15$ (К) > $8:27$ (А) > $8:36$ (Н).

Составив слово из букв в этом порядке, получаем: ВАТИКАН.

Самое маленькое государство в мире — Ватикан. Это город-государство, которое находится на территории столицы Италии, города Рима.

Ответ: Название государства — Ватикан. Его можно найти на карте в Европе, внутри города Рим.

15 * Найди зависимость между переменными $x$ и $y$ и заполни пустые клетки таблицы. Запиши формулу зависимости.

$y=$ __________

Найди зависимость между переменными x и y

Чтобы найти зависимость, проанализируем предоставленные пары значений $x$ и $y$ из таблицы.

Сравним значения в каждом столбце:

Для первой пары ($x=5, y=3$) разница составляет $5 - 3 = 2$.

Для второй пары ($x=7, y=5$) разница составляет $7 - 5 = 2$.

Для третьей пары ($x=13, y=11$) разница составляет $13 - 11 = 2$.

Для четвертой пары ($x=14, y=12$) разница составляет $14 - 12 = 2$.

Мы видим, что во всех случаях значение $y$ на 2 меньше значения $x$. Это и есть искомая зависимость.

Ответ: Значение переменной $y$ всегда на 2 меньше значения переменной $x$.

Заполни пустые клетки таблицы

Используя установленную зависимость $y = x - 2$, вычислим недостающие значения для $y$.

Когда $x = 32$, то $y = 32 - 2 = 30$.

Когда $x = 40$, то $y = 40 - 2 = 38$.

Когда $x = 91$, то $y = 91 - 2 = 89$.

Ответ: Пустые клетки таблицы для переменной $y$ следует заполнить значениями 30, 38 и 89.

Запиши формулу зависимости

На основе выявленной закономерности, что $y$ всегда на 2 меньше, чем $x$, можно составить следующую формулу:

$y = x - 2$

Ответ: $y = x - 2$.

16* Найди закономерность и запиши следующие 2 дроби:

a) $ \frac{1}{9}, \frac{3}{10}, \frac{5}{11}, \dots; $

б) $ \frac{2}{25}, \frac{4}{24}, \frac{8}{23}, \dots; $

в) $ \frac{1}{2}, \frac{3}{6}, \frac{5}{12}, \frac{7}{20} \dots $

а) $\frac{1}{9}, \frac{3}{10}, \frac{5}{11}, ...$

Чтобы найти закономерность, проанализируем последовательности числителей и знаменателей отдельно.
Последовательность числителей: 1, 3, 5, ... Это арифметическая прогрессия нечетных чисел. Каждый следующий член увеличивается на 2. Следующие два числителя будут: $5 + 2 = 7$ и $7 + 2 = 9$.
Последовательность знаменателей: 9, 10, 11, ... Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член увеличивается на 1. Следующие два знаменателя будут: $11 + 1 = 12$ и $12 + 1 = 13$.
Таким образом, следующие две дроби в последовательности — это $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{13}$.
Ответ: $\frac{7}{12}, \frac{9}{13}$.

б) $\frac{2}{25}, \frac{4}{24}, \frac{8}{23}, ...$

Рассмотрим последовательности числителей и знаменателей.
Последовательность числителей: 2, 4, 8, ... Это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член умножается на 2. Следующие два числителя будут: $8 \cdot 2 = 16$ и $16 \cdot 2 = 32$.
Последовательность знаменателей: 25, 24, 23, ... Это арифметическая прогрессия, где каждый следующий член уменьшается на 1. Следующие два знаменателя будут: $23 - 1 = 22$ и $22 - 1 = 21$.
Следовательно, следующие две дроби в ряду — это $\frac{16}{22}$ и $\frac{32}{21}$.
Ответ: $\frac{16}{22}, \frac{32}{21}$.

в) $\frac{1}{2}, \frac{3}{6}, \frac{5}{12}, \frac{7}{20}, ...$

Изучим закономерности в числителях и знаменателях.
Последовательность числителей: 1, 3, 5, 7, ... Это последовательность нечетных чисел, где каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Следующие два числителя будут: $7 + 2 = 9$ и $9 + 2 = 11$.
Последовательность знаменателей: 2, 6, 12, 20, ... . Заметим, что каждый знаменатель можно представить как произведение двух последовательных чисел: $2 = 1 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 3 \cdot 4$, $20 = 4 \cdot 5$.
Следуя этой закономерности, пятый знаменатель будет $5 \cdot 6 = 30$, а шестой — $6 \cdot 7 = 42$.
Таким образом, следующие две дроби в последовательности — это $\frac{9}{30}$ и $\frac{11}{42}$.
Ответ: $\frac{9}{30}, \frac{11}{42}$.

1 Какие величины и единицы их измерения ты знаешь? Можно ли измерить объём в часах, длину в центнерах? Почему?

Какие величины и единицы их измерения ты знаешь?

Существует множество физических величин, каждая из которых имеет свои единицы измерения. Вот некоторые из них:

• Длина – измеряет расстояние или протяженность. Единицы измерения: метр (м), сантиметр (см), километр (км), миллиметр (мм).
• Масса – характеризует количество вещества в теле. Единицы измерения: килограмм (кг), грамм (г), тонна (т), центнер (ц).
• Время – измеряет длительность процессов. Единицы измерения: секунда (с), минута (мин), час (ч).
• Площадь – измеряет размер поверхности. Единицы измерения: квадратный метр ($м^2$), квадратный сантиметр ($см^2$), гектар (га).
• Объём – характеризует пространство, занимаемое телом. Единицы измерения: кубический метр ($м^3$), литр (л), кубический сантиметр ($см^3$).
• Скорость – показывает, какое расстояние тело проходит за единицу времени. Единицы измерения: метры в секунду (м/с), километры в час (км/ч).
• Температура – характеризует степень нагретости тела. Единицы измерения: градус Цельсия (°C), Кельвин (K).

Ответ: Существуют такие величины как длина (метры), масса (килограммы), время (секунды), площадь (квадратные метры), объём (кубические метры) и многие другие, каждая со своими единицами измерения.

Можно ли измерить объём в часах, длину в центнерах? Почему?

Нет, измерить объём в часах, а длину в центнерах нельзя. Каждая физическая величина описывает определённое свойство объекта или явления, и для её измерения используются специально предназначенные для этого единицы.

• Объём и часы: Объём – это характеристика пространства, которое занимает тело ($V$). Его измеряют в кубических метрах ($м^3$), литрах и т.д. Часы – это единица измерения времени ($t$), которая характеризует длительность. Эти величины описывают совершенно разные физические свойства, поэтому нельзя измерить одно через единицы другого. Сказать, что «объём комнаты равен 10 часам» бессмысленно.
• Длина и центнеры: Длина ($L$) – это расстояние между двумя точками. Её измеряют в метрах, километрах и т.д. Центнер – это единица измерения массы ($m$), равная 100 килограммам. Масса и длина – это разные, независимые друг от друга физические величины. Утверждение «длина дороги составляет 50 центнеров» не имеет физического смысла.

Таким образом, для каждой величины существует свой набор единиц измерения, и смешивать их нельзя, так как они описывают принципиально разные свойства мира.

Ответ: Нельзя, потому что объём, длина, время и масса — это разные физические величины, и для измерения каждой из них существуют свои собственные единицы. Часы измеряют время, а центнеры — массу.

2 а) Как сравнить углы способом наложения? Можно ли сравнить наложением углы между рекой и её притоками? Почему?

б) Как измеряют величины? А как измерить углы? Какие мерки можно использовать для измерения углов?

Сравнивать углы с помощью наложения не всегда удобно и даже возможно. В этом случае, как и для других величин, используют измерение.

Измерить угол — это значит выбрать единицу измерения (мерку) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемом угле.

Пример:

$\angle A = 3e$

а) Чтобы сравнить два угла способом наложения, нужно совместить их вершины и одну из сторон. После совмещения возможны три случая:

• Если вторая сторона первого угла находится внутри второго угла, то первый угол меньше второго.
• Если вторая сторона первого угла находится вне второго угла, то первый угол больше второго.
• Если вторые стороны обоих углов совпадают, то углы равны.

Сравнить наложением углы между рекой и её притоками в реальном мире невозможно, потому что река и её притоки — это очень большие и неподвижные географические объекты. Нельзя физически взять один угол, образованный слиянием рек, и наложить его на другой. Однако это можно сделать на карте или схеме, скопировав один угол (например, с помощью кальки) и приложив его к другому.

Ответ: Для сравнения углов наложением их совмещают по вершине и одной стороне и смотрят на расположение других сторон. Сравнить углы между реальной рекой и её притоками наложением нельзя, так как это неподвижные природные объекты.

б) Чтобы измерить величину, нужно выбрать единицу измерения (мерку) и узнать, сколько раз эта единица измерения укладывается в измеряемой величине. Например, для измерения длины отрезка мы узнаем, сколько раз в нем укладывается сантиметр.

Углы измеряют по тому же принципу. Выбирают угол-мерку и определяют, сколько раз он помещается внутри измеряемого угла. Специальный инструмент для измерения углов называется транспортир.

В качестве мерки можно использовать любой угол, но для удобства и стандартизации были введены общепринятые единицы измерения углов:

• Градус ($^\circ$) — самая распространенная единица. Прямой угол равен $90^\circ$, а развернутый угол — $180^\circ$. Полный круг составляет $360^\circ$.
• Угловая минута ($'$) и угловая секунда ($''$) — более мелкие единицы, используемые для точных измерений. В одном градусе 60 минут ($1^\circ = 60'$), а в одной минуте 60 секунд ($1' = 60''$).
• Радиан — единица измерения углов, широко используемая в высшей математике и физике.

Ответ: Величины измеряют, выясняя, сколько раз в них содержится выбранная единица измерения (мерка). Углы измеряют так же, используя в качестве мерки другой угол. Основные мерки для углов — это градус, минута, секунда и радиан.

3. Вырази величину одного угла AOB мерками $e_1, e_2, e_3$.

1) $\angle AOB = 3 e_1$

2) $\angle AOB = 4 e_2$

3) $\angle AOB = 5 e_3$

Как изменяется мера угла, если мерка уменьшается?

А если она увеличивается?

1) На первом рисунке угол AOB разделен на 3 равных угла. Величина одного такого малого угла принята за единицу измерения (мерку) $e_1$. Чтобы измерить угол AOB, нужно отложить мерку $e_1$ три раза. Следовательно, величина угла AOB равна 3 меркам $e_1$.

$\angle AOB = 3e_1$

Ответ: 3.

2) На втором рисунке тот же угол AOB разделен на 4 равных угла. Величина одного такого малого угла принята за мерку $e_2$. Чтобы измерить угол AOB, нужно отложить мерку $e_2$ четыре раза. Следовательно, величина угла AOB равна 4 меркам $e_2$.

$\angle AOB = 4e_2$

Ответ: 4.

3) На третьем рисунке угол AOB разделен уже на 6 равных углов. Величина одного такого малого угла принята за мерку $e_3$. Чтобы измерить угол AOB, нужно отложить мерку $e_3$ шесть раз. Следовательно, величина угла AOB равна 6 меркам $e_3$.

$\angle AOB = 6e_3$

Ответ: 6.

Как изменяется мера угла, если мерка уменьшается? А если она увеличивается?

Мера угла и величина мерки (единицы измерения) находятся в обратной зависимости. Это означает, что для измерения одного и того же угла, чем меньше мы выбираем единицу измерения (мерку), тем большее число раз она уложится в измеряемом угле, и, соответственно, тем больше будет численное значение его меры.

Из решенных заданий видно, что величина мерок уменьшается ($e_1 > e_2 > e_3$), в то время как числовое значение меры угла AOB увеличивается ($3 < 4 < 6$).

Таким образом:

- Если мерка уменьшается, то мера угла увеличивается.

- Если мерка увеличивается, то мера угла уменьшается.

Ответ: если мерка уменьшается, мера угла увеличивается; если мерка увеличивается, мера угла уменьшается.