Страница 83, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Расшифруй имена богинь-покровительниц комедии и трагедии в греческой мифологии, расположив дроби:

а) в порядке возрастания:

$\frac{3}{5}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{3}{15}$, $\frac{3}{18}$, $\frac{3}{7}$;

Я Л А Т И

б) в порядке убывания:

$\frac{5}{17}$, $\frac{5}{21}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{5}{31}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{42}$, $\frac{5}{36}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{5}{24}$.

П О Л Е М А Н Ь Е М

а) в порядке возрастания:

Чтобы расположить дроби с одинаковыми числителями в порядке возрастания, необходимо сравнить их знаменатели. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно, чтобы расставить дроби по возрастанию, их знаменатели нужно расставить по убыванию.

Расположим знаменатели 5, 9, 15, 18, 7 в порядке убывания: 18, 15, 9, 7, 5.

Теперь запишем дроби в порядке возрастания:

$\frac{3}{18} < \frac{3}{15} < \frac{3}{9} < \frac{3}{7} < \frac{3}{5}$

Подставим соответствующие им буквы:

Т, А, Л, И, Я

Получаем имя музы комедии.

Ответ: ТАЛИЯ

б) в порядке убывания:

Чтобы расположить дроби с одинаковыми числителями в порядке убывания, необходимо сравнить их знаменатели. Чем меньше знаменатель, тем больше дробь. Следовательно, чтобы расставить дроби по убыванию, их знаменатели нужно расставить по возрастанию.

Расположим знаменатели 17, 21, 10, 31, 6, 42, 36, 12, 8, 24 в порядке возрастания: 6, 8, 10, 12, 17, 21, 24, 31, 36, 42.

Теперь запишем дроби в порядке убывания:

$\frac{5}{6} > \frac{5}{8} > \frac{5}{10} > \frac{5}{12} > \frac{5}{17} > \frac{5}{21} > \frac{5}{24} > \frac{5}{31} > \frac{5}{36} > \frac{5}{42}$

Подставим соответствующие им буквы:

М, Е, Л, Ь, П, О, М, Е, Н, А

Получаем имя музы трагедии.

Ответ: МЕЛЬПОМЕНА

5 Сравни дроби:

$\frac{3}{11}$ □ $\frac{5}{11}$; $\frac{2}{7}$ □ $\frac{2}{15}$; $\frac{7}{9}$ □ $\frac{4}{9}$; $\frac{8}{23}$ □ $\frac{8}{10}$.

$\frac{3}{11} \ \square \ \frac{5}{11}$

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше. В данном случае знаменатели обеих дробей равны 11. Сравниваем числители: 3 и 5. Так как $3 < 5$, то и дробь $\frac{3}{11}$ будет меньше дроби $\frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{3}{11} < \frac{5}{11}$

$\frac{2}{7} \ \square \ \frac{2}{15}$

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, необходимо сравнить их знаменатели. Та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Это объясняется тем, что чем на большее количество частей мы делим целое (знаменатель), тем меньше оказывается каждая часть. В данном случае числители обеих дробей равны 2. Сравниваем знаменатели: 7 и 15. Так как $7 < 15$, то дробь $\frac{2}{7}$ будет больше дроби $\frac{2}{15}$.

Ответ: $\frac{2}{7} > \frac{2}{15}$

$\frac{7}{9} \ \square \ \frac{4}{9}$

Для сравнения этих дробей воспользуемся правилом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Знаменатели обеих дробей равны 9. Сравниваем их числители: 7 и 4. Поскольку $7 > 4$, то дробь $\frac{7}{9}$ больше, чем дробь $\frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$

$\frac{8}{23} \ \square \ \frac{8}{10}$

Для сравнения этих дробей воспользуемся правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями. Числители обеих дробей равны 8. Сравниваем их знаменатели: 23 и 10. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Так как $23 > 10$, то дробь $\frac{8}{23}$ будет меньше, чем дробь $\frac{8}{10}$.

Ответ: $\frac{8}{23} < \frac{8}{10}$

6 а) Отметь на числовом луче дроби $ \frac{4}{8} $, $ \frac{2}{4} $, $ \frac{1}{2} $. Что ты замечаешь? Почему эти дроби называют равными?

--------------------------------------------------

0 1 2

б) Отметь на числовом луче дроби $ \frac{1}{12} $, $ \frac{1}{6} $, $ \frac{3}{6} $, $ \frac{2}{12} $, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{9}{12} $, $ \frac{3}{4} $. Найди среди них равные дроби. Сделай записи.

------------------------------------

0 1

Чтобы отметить на числовом луче дроби $ \frac{4}{8}, \frac{2}{4}, \frac{1}{2} $, сначала упростим их, чтобы найти их истинное значение:

$ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} $

Дробь $ \frac{1}{2} $ уже является несократимой.

Все три дроби равны $ \frac{1}{2} $. На данном числовом луче отрезок от 0 до 1 разделен на 4 равные части. Точка $ \frac{1}{2} $ совпадает с отметкой $ \frac{2}{4} $, то есть находится на втором делении от 0. Таким образом, все три дроби отмечаются в одной и той же точке.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все дроби ($ \frac{4}{8}, \frac{2}{4}, \frac{1}{2} $) на числовом луче соответствуют одной и той же точке.

Почему эти дроби называют равными?

Эти дроби называют равными, потому что они выражают одно и то же число или одну и ту же часть целого. Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (не равное нулю), то значение дроби не изменится. Например:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $, а также $ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 2}{8 \div 2} = \frac{2}{4} $.

Ответ: Все три дроби отмечаются в одной точке на числовом луче, потому что они равны между собой: $ \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Дроби называют равными, так как они имеют одинаковое значение.

Числовой луч на рисунке от 0 до 1 разделен на 12 равных частей. Чтобы отметить на нем заданные дроби, приведем их к общему знаменателю 12:

• $ \frac{1}{12} $
• $ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $
• $ \frac{3}{6} = \frac{3 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} $
• $ \frac{2}{12} $
• $ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} $
• $ \frac{9}{12} $
• $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $

Найди среди них равные дроби. Сделай записи.

Сравнив дроби после приведения к общему знаменателю, можно сделать следующие записи:

$ \frac{1}{6} = \frac{2}{12} $

$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $ (поскольку обе равны $ \frac{6}{12} $)

$ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $ (поскольку обе равны $ \frac{9}{12} $)

Ответ: Равные дроби: $ \frac{1}{6} = \frac{2}{12} $; $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $; $ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $.

7 В магазине цены увеличены на 1 %.

Сколько надо теперь платить за товар, который стоил раньше 500 р., 2000 р., 40 000 р.?

$100 \% - 500 \text{ р.}$

$1 \% - ? \text{ р.}$

$? \text{ р.}$

Чтобы найти новую цену товара после увеличения на $1\%$, нужно сначала вычислить, сколько составляет $1\%$ от первоначальной стоимости, а затем прибавить эту величину к исходной цене.

500 р.

1. Сначала найдем $1\%$ от $500$ рублей. Для этого разделим $500$ на $100$.
$500 : 100 = 5$ р.
Это сумма, на которую увеличилась цена.

2. Теперь прибавим эту сумму к первоначальной стоимости:
$500 + 5 = 505$ р.

Ответ: 505 р.

2000 р.

1. Найдем $1\%$ от $2000$ рублей:
$2000 : 100 = 20$ р.

2. Прибавим полученную сумму к исходной цене:
$2000 + 20 = 2020$ р.

Ответ: 2020 р.

40 000 р.

1. Найдем $1\%$ от $40\ 000$ рублей:
$40\ 000 : 100 = 400$ р.

2. Вычислим новую цену:
$40\ 000 + 400 = 40\ 400$ р.

Ответ: 40 400 р.

3 Велосипедист и всадник движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 км/ч и 16 км/ч. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними?

$V_{\text{сбл.}} =$

Как изменяется расстояние между ними?

Так как велосипедист и всадник движутся навстречу друг другу, они сближаются. Это означает, что расстояние между ними постоянно уменьшается.

Ответ: Расстояние уменьшается.

С какой скоростью изменяется расстояние между ними?

Скорость, с которой изменяется расстояние между объектами при движении навстречу, называется скоростью сближения. Она равна сумме их скоростей.

Обозначим скорость велосипедиста как $v_1$, а скорость всадника как $v_2$.

$v_1 = 20$ км/ч

$v_2 = 16$ км/ч

Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{сбл} = 20 \text{ км/ч} + 16 \text{ км/ч} = 36 \text{ км/ч}$

Ответ: Расстояние между ними изменяется (уменьшается) со скоростью 36 км/ч.

4 Прохожий гонится за своей шляпой, которую ветер несёт со скоростью 4 м/с. Как изменяется расстояние между ним и его шляпой, если он бежит со скоростью 5 м/с?

Для решения этой задачи необходимо найти относительную скорость прохожего и шляпы. Поскольку прохожий гонится за шляпой, которую несет ветер, они движутся в одном направлении.

Обозначим скорость шляпы как $v_{ш}$ и скорость прохожего как $v_{п}$.

Дано:

$v_{ш} = 4$ м/с

$v_{п} = 5$ м/с

Чтобы определить, как изменяется расстояние между ними, нужно найти скорость их сближения. Когда объекты движутся в одном направлении, и один догоняет другой, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{п} - v_{ш}$

Подставим в формулу известные значения:

$v_{сбл} = 5 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с} = 1 \text{ м/с}$

Поскольку скорость прохожего больше скорости шляпы ($v_{п} > v_{ш}$), он догоняет её. Положительный результат $1$ м/с означает, что расстояние между прохожим и шляпой сокращается (уменьшается) на 1 метр каждую секунду.

Ответ: Расстояние между прохожим и его шляпой уменьшается со скоростью 1 м/с.

5 Два катера плывут в противоположных направлениях со скоростями $25 \text{ км/ч}$ и $32 \text{ км/ч}$. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними?

Поскольку катера движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Это означает, что расстояние между ними увеличивается.

Скорость, с которой они удаляются друг от друга (так называемая скорость удаления), равна сумме их индивидуальных скоростей.

Обозначим скорость первого катера как $v_1 = 25$ км/ч, а скорость второго — $v_2 = 32$ км/ч.

Скорость удаления ($v_{уд}$) вычисляется по формуле: $v_{уд} = v_1 + v_2$

Подставим значения и произведем расчет: $v_{уд} = 25 + 32 = 57$ (км/ч)

Ответ: Расстояние между катерами увеличивается со скоростью 57 км/ч.

6 Со станции вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Через некоторое время с той же станции в том же направлении вышел второй поезд. С какой скоростью он должен ехать, чтобы расстояние между этими поездами не менялось?

Для того чтобы расстояние между двумя объектами, движущимися в одном направлении, не изменялось, их скорости должны быть одинаковыми.

Обозначим скорость первого поезда как $v_1$ и скорость второго поезда как $v_2$. По условию, $v_1 = 60 \text{ км/ч}$.

Рассмотрим относительную скорость поездов. Скорость, с которой изменяется расстояние между ними, равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_2 - v_1$.

• Если $v_2 > v_1$, то второй поезд будет догонять первый, и расстояние будет уменьшаться.
• Если $v_2 < v_1$, то первый поезд будет удаляться от второго, и расстояние будет увеличиваться.
• Если расстояние не меняется, значит, их относительная скорость равна нулю: $v_{отн} = 0$.

Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $v_2 - v_1 = 0$, что означает $v_2 = v_1$.

Поскольку скорость первого поезда равна 60 км/ч, скорость второго поезда также должна быть 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

7 Автомобиль должен проехать за 3 дня 1430 км. В первый день он ехал 6 ч со скоростью 82 км/ч, во второй день он увеличил скорость на 4 км/ч и ехал с этой скоростью 7 ч. С какой скоростью надо ехать автомобилю в третий день, чтобы проехать оставшееся расстояние за 4 ч?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем расстояние, которое автомобиль проехал в первый день.

Для этого умножим скорость автомобиля на время в пути. Формула расстояния: $S = v \cdot t$.

$82 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 492 \text{ км}$.

2. Найдем скорость и расстояние, которое автомобиль проехал во второй день.

Сначала определим скорость во второй день. По условию, она увеличилась на 4 км/ч:

$82 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 86 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная скорость и время (7 часов), рассчитаем расстояние за второй день:

$86 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 602 \text{ км}$.

3. Вычислим общее расстояние, пройденное за первые два дня.

Сложим расстояния, пройденные в первый и второй дни:

$492 \text{ км} + 602 \text{ км} = 1094 \text{ км}$.

4. Определим оставшееся расстояние.

Вычтем из общего запланированного расстояния (1430 км) то расстояние, которое автомобиль уже проехал за два дня:

$1430 \text{ км} - 1094 \text{ км} = 336 \text{ км}$.

5. Найдем, с какой скоростью надо ехать автомобилю в третий день.

Чтобы найти скорость, нужно оставшееся расстояние (336 км) разделить на время, которое на это отведено (4 ч). Формула скорости: $v = S / t$.

$336 \text{ км} \div 4 \text{ ч} = 84 \text{ км/ч}$.

Ответ: в третий день автомобилю надо ехать со скоростью 84 км/ч.

Ученики 4 класса составляли графики движения. Вставь в один из рассказов ребят по графикам пропущенные числа.

«Приключения бегемотика» (Швецова Света).

Есть на свете бегемот, $s$ км

Бегемот — Тимошка.

На болоте он живёт,

Ловит мух да мошек.

Но однажды

вместо мушек

Съел Тимошка

двух лягушек

И отправился к врачу

Михаил Потапычу.

Тимошка отправился в путь в _______ ч утра. Первые _______ ч он шёл со скоростью _______ км/ч, но так устал, что пришлось ему отдохнуть в течение _______ мин. Затем он с трудом продолжил свой путь со скоростью _______ км/ч и в _______ ч _______ мин добрался до врача. Михаил Потапыч лечил бедняжку в течение _______ ч _______ мин, и Тимошка выздоровел. Весёлый и радостный пошёл он домой со скоростью _______ км/ч и вернулся к маме в _______ ч. На всё путешествие он затратил _______ ч.

$t$ ч

Для того чтобы вставить пропущенные числа в рассказ, необходимо проанализировать график движения бегемотика Тимошки. График показывает зависимость расстояния (s, в км) от времени (t, в часах).

Найдём на графике точку, с которой начинается движение. Это точка с координатами (11:00; 0 км). Это означает, что Тимошка отправился в путь в 11 часов утра.

Ответ: Тимошка отправился в путь в 11 ч утра.

Первый участок пути представляет собой прямую линию, поднимающуюся из точки (11:00; 0 км) в точку (13:00; 6 км).
1. Определим время, затраченное на этот участок:$t_1 = 13:00 - 11:00 = 2$ часа.
2. Определим расстояние, которое прошёл Тимошка:$s_1 = 6 \text{ км} - 0 \text{ км} = 6$ км.
3. Рассчитаем скорость по формуле $v = s / t$:$v_1 = s_1 / t_1 = 6 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 3$ км/ч.

Ответ: Первые 2 ч он шёл со скоростью 3 км/ч.

На графике есть горизонтальный участок от 13:00 до 13:30. На этом участке расстояние от дома не меняется (остаётся равным 6 км), что означает, что Тимошка отдыхал.
Продолжительность отдыха:$t_{отдыха} = 13:30 - 13:00 = 30$ минут.

Ответ: пришлось ему отдохнуть в течение 30 мин.

После отдыха Тимошка продолжил путь. Этот участок на графике идёт от точки (13:30; 6 км) до точки (15:00; 8 км), где находится врач.
1. Время прибытия к врачу соответствует концу этого участка: 15:00, то есть 15 часов 00 минут.
2. Определим время в пути на этом участке:$t_2 = 15:00 - 13:30 = 1$ час 30 минут = $1.5$ часа.
3. Определим пройденное расстояние:$s_2 = 8 \text{ км} - 6 \text{ км} = 2$ км.
4. Рассчитаем скорость движения:$v_2 = s_2 / t_2 = 2 \text{ км} / 1.5 \text{ ч} = 2 / (3/2) \text{ км/ч} = 4/3 \text{ км/ч} = 1 \frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: Затем он с трудом продолжил свой путь со скоростью $1 \frac{1}{3}$ км/ч и в 15 ч 00 мин добрался до врача.

Пока Тимошка был у врача, он не двигался. На графике этому соответствует горизонтальный участок на расстоянии 8 км от дома, который длится с 15:00 до 16:00.
Продолжительность лечения:$t_{лечения} = 16:00 - 15:00 = 1$ час = 1 час 00 минут.

Ответ: Михаил Потапыч лечил бедняжку в течение 1 ч 00 мин.

Домой Тимошка пошёл в 16:00 с расстояния 8 км. График заканчивается в точке (18:00; 0 км), что означает, что он вернулся домой в 18:00.
1. Определим время в пути на обратном участке:$t_3 = 18:00 - 16:00 = 2$ часа.
2. Расстояние, которое он прошёл:$s_3 = 8$ км.
3. Рассчитаем скорость на обратном пути:$v_3 = s_3 / t_3 = 8 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 4$ км/ч.

Ответ: пошёл он домой со скоростью 4 км/ч и вернулся к маме в 18 ч.

Путешествие началось в 11:00 и закончилось в 18:00.
Общее время в пути:$t_{общее} = 18:00 - 11:00 = 7$ часов.

Ответ: На всё путешествие он затратил 7 ч.

5 Построй графики движения по рассказам учеников.

а) «Случай на границе» (Соколовский Илья).

В 2 ч ночи нарушитель перешёл нашу границу и пошёл со скоростью 6 км/ч. Через 2 ч на его пути встретилось болото, и скорость снизилась до 1 км/ч. Через 2 ч рассвело, и нарушитель решил затаиться до темноты, так как идти стало опасно.

В 4 ч утра пограничники установили нарушение границы и пошли по следу со скоростью 9 км/ч. В 5 ч 20 мин они дошли до болота и стали пробираться со скоростью 2 км/ч. Через час они настигли нарушителя, завязалась перестрел-ка, которая длилась 40 мин. В 7 ч пограничники схватили нарушителя и повезли на заставу со скоростью 42 км/ч. ($1 \text{ км.} \text{--} 1 \text{ км}, 1 \text{ км.} \text{--} 20 \text{ мин.})$

б) «Экскурсия» (Зеничева Ира).

В 4 «А» классе провели зимнюю экскурсию. В 10 ч утра ребята вышли из школы со скоростью 4 км/ч. За полчаса они дошли до леса и остановились, чтобы узнать глубину снега. Через полчаса они пошли дальше со скоростью 2 км/ч. Пройдя час, они остановились, чтобы повесить кормушки и поиграть. Они отдыхали полтора часа, а затем отправились обратно со скоростью 4 км/ч. Ещё через час они вернулись в школу уставшие, но доволь-ные ($1 \text{ км.} \text{--} 30 \text{ мин}, 1 \text{ км.} \text{--} 1 \text{ км}$).

а) «Случай на границе» (Соколовский Илья).

Для построения графиков движения нарушителя и пограничников необходимо рассчитать координаты (время, расстояние от границы) для ключевых моментов их маршрутов. За точку отсчета (0 км) примем место пересечения границы.

Движение нарушителя:

1. Начало движения: 2:00 ночи. Точка (2:00; 0 км).

2. Движение со скоростью 6 км/ч в течение 2 часов.
   Пройденное расстояние: $s_1 = v \cdot t = 6 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 12 \text{ км}$.
   Время окончания участка: 2:00 + 2 ч = 4:00.
   Конечная точка участка: (4:00; 12 км). Именно здесь начинается болото.

3. Движение по болоту со скоростью 1 км/ч в течение 2 часов.
   Пройденное расстояние: $s_2 = 1 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.
   Общее расстояние от границы: $12 \text{ км} + 2 \text{ км} = 14 \text{ км}$.
   Время окончания участка: 4:00 + 2 ч = 6:00.
   Конечная точка участка: (6:00; 14 км).

4. С 6:00 нарушитель останавливается и прячется. Его расстояние от границы не меняется до момента поимки. График становится горизонтальной линией на отметке 14 км.

Движение пограничников:

1. Начало движения: 4:00 утра. Точка (4:00; 0 км).

2. Движение по следу со скоростью 9 км/ч до болота. Болото находится на расстоянии 12 км от границы.
   Время на этом участке: $t_1 = s / v = 12 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 4/3 \text{ ч} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут}$.
   Время прибытия к болоту: 4:00 + 1 ч 20 мин = 5:20.
   Конечная точка участка: (5:20; 12 км).

3. Движение по болоту со скоростью 2 км/ч. Они должны догнать нарушителя, который находится на отметке 14 км. Расстояние, которое нужно пройти по болоту: $14 \text{ км} - 12 \text{ км} = 2 \text{ км}$.
   Время на этом участке: $t_2 = s / v = 2 \text{ км} / 2 \text{ км/ч} = 1 \text{ час}$.
   Время, когда они настигли нарушителя: 5:20 + 1 ч = 6:20.
   Точка поимки (пересечение графиков): (6:20; 14 км).

4. Перестрелка длилась 40 минут. В это время группа не перемещалась.
   Время окончания перестрелки: 6:20 + 40 мин = 7:00.
   Точка на графике: (7:00; 14 км).

5. В 7:00 пограничники повезли нарушителя на заставу (к границе, т.е. на 0 км) со скоростью 42 км/ч.
   Расстояние: 14 км.
   Время в пути: $t_3 = s / v = 14 \text{ км} / 42 \text{ км/ч} = 1/3 \text{ ч} = 20 \text{ минут}$.
   Время прибытия на заставу: 7:00 + 20 мин = 7:20.
   Конечная точка: (7:20; 0 км).

Для построения графика используются оси: горизонтальная — время (t), вертикальная — расстояние от границы (S, км). Масштаб, указанный в задаче (1 кл. — 20 мин, 1 кл. — 1 км), идеально подходит для отображения этих данных. График будет состоять из двух ломаных линий: одна для нарушителя, другая для пограничников. Точка их пересечения (6:20; 14 км) — это момент, когда пограничники настигли нарушителя.

Ответ:
Ключевые точки для графика нарушителя: (2:00, 0) → (4:00, 12) → (6:00, 14) → (6:20, 14).
Ключевые точки для графика пограничников: (4:00, 0) → (5:20, 12) → (6:20, 14) → (7:00, 14) → (7:20, 0).

б) «Экскурсия» (Зеничева Ира).

Для построения графика движения учеников необходимо рассчитать координаты (время, расстояние от школы) для каждого этапа экскурсии. За точку отсчета (0 км) примем школу.

1. Начало экскурсии: 10:00 утра. Точка (10:00; 0 км).

2. Движение от школы до леса со скоростью 4 км/ч в течение получаса (0.5 часа).
   Пройденное расстояние: $s_1 = v \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.
   Время прибытия к лесу: 10:00 + 30 мин = 10:30.
   Конечная точка участка: (10:30; 2 км).

3. Остановка на полчаса (30 минут). Расстояние от школы не меняется.
   Время окончания остановки: 10:30 + 30 мин = 11:00.
   Конечная точка участка: (11:00; 2 км).

4. Движение дальше со скоростью 2 км/ч в течение часа.
   Пройденное расстояние: $s_2 = 2 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 2 \text{ км}$.
   Общее расстояние от школы: $2 \text{ км} + 2 \text{ км} = 4 \text{ км}$.
   Время окончания участка: 11:00 + 1 ч = 12:00.
   Конечная точка участка: (12:00; 4 км).

5. Остановка на полтора часа (1 час 30 минут) для отдыха. Расстояние от школы не меняется.
   Время окончания остановки: 12:00 + 1 ч 30 мин = 13:30.
   Конечная точка участка: (13:30; 4 км).

6. Возвращение в школу со скоростью 4 км/ч. Расстояние, которое нужно пройти: 4 км.
   Время в пути: $t = s / v = 4 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 1 \text{ час}$.
   Время прибытия в школу: 13:30 + 1 ч = 14:30.
   Конечная точка: (14:30; 0 км).

Для построения графика используются оси: горизонтальная — время (t), вертикальная — расстояние от школы (S, км). Масштаб, указанный в задаче (1 кл. — 30 мин, 1 кл. — 1 км), позволяет удобно разместить все точки. График будет представлять собой одну ломаную линию, которая сначала поднимается, затем идет горизонтально, снова поднимается, снова идет горизонтально и, наконец, опускается к начальной точке.

Ответ:
Ключевые точки для графика движения учеников: (10:00, 0) → (10:30, 2) → (11:00, 2) → (12:00, 4) → (13:30, 4) → (14:30, 0).