Страница 86, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Урок длится 45 минут. $\frac{3}{5}$ урока ученики писали диктант.

Сколько времени длился диктант?

Чтобы найти, сколько времени длился диктант, нужно вычислить, чему равны $\frac{3}{5}$ от общего времени урока, которое составляет 45 минут. Для этого есть два способа.

Способ 1. Пошаговое решение:

1. Сначала найдем, сколько минут составляет одна пятая ($\frac{1}{5}$) урока. Для этого общую продолжительность урока разделим на знаменатель дроби (5):

$45 \div 5 = 9$ (минут)

2. Теперь, зная, что $\frac{1}{5}$ урока — это 9 минут, найдем, сколько длятся три таких части ($\frac{3}{5}$). Для этого умножим полученное значение на числитель дроби (3):

$9 \times 3 = 27$ (минут)

Способ 2. Решение одним действием:

Чтобы найти часть от целого, нужно целое число (45 минут) умножить на дробь ($\frac{3}{5}$):

$45 \times \frac{3}{5} = \frac{45 \times 3}{5} = \frac{135}{5} = 27$ (минут)

Можно упростить вычисление, сократив 45 и 5:

$\frac{45 \times 3}{5} = \frac{9 \times 5 \times 3}{5} = 9 \times 3 = 27$ (минут)

Ответ: диктант длился 27 минут.

4 Найди:

a) $\frac{2}{9}$ от 18 кг;

б) $\frac{3}{5}$ от 300 р.;

в) $4 \%$ от 400 м.

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь. В этом случае, мы находим $\frac{2}{9}$ от 18 кг.

Выполним вычисление:

$18 \cdot \frac{2}{9} = \frac{18 \cdot 2}{9}$

Можно сократить числитель и знаменатель на 9, так как $18 = 2 \cdot 9$:

$\frac{18 \cdot 2}{9} = \frac{(2 \cdot 9) \cdot 2}{9} = 2 \cdot 2 = 4$

Следовательно, $\frac{2}{9}$ от 18 кг составляют 4 кг.

Ответ: 4 кг.

б) Для того чтобы найти $\frac{3}{5}$ от 300 р., необходимо умножить число 300 на дробь $\frac{3}{5}$.

Запишем и решим выражение:

$300 \cdot \frac{3}{5} = \frac{300 \cdot 3}{5}$

Сократим 300 и 5 (разделим оба на 5):

$\frac{300 \cdot 3}{5} = 60 \cdot 3 = 180$

Таким образом, $\frac{3}{5}$ от 300 р. равны 180 р.

Ответ: 180 р.

в) Чтобы найти процент от числа, сначала нужно представить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби. Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть, поэтому $4\%$ можно записать как $\frac{4}{100}$ или $0.04$.

Теперь умножим исходное число на полученную дробь:

$400 \cdot 0.04 = 16$

Либо, используя обыкновенную дробь:

$400 \cdot \frac{4}{100} = \frac{400 \cdot 4}{100} = \frac{1600}{100} = 16$

Итак, 4% от 400 м равны 16 м.

Ответ: 16 м.

5 У Лены было 56 р. За завтрак она заплатила $\frac{3}{7}$ имеющихся у неё денег. Сколько стоил завтрак? Сколько денег у неё осталось?

завтрак

осталось

Сколько стоил завтрак?

Чтобы найти стоимость завтрака, необходимо вычислить $\frac{3}{7}$ от общей суммы денег, которая была у Лены (56 рублей).

1. Сначала найдём, сколько рублей составляет одна седьмая ($\frac{1}{7}$) часть от 56 рублей. Для этого общую сумму разделим на знаменатель дроби:

$56 \div 7 = 8$ (рублей)

2. Теперь, зная, что $\frac{1}{7}$ равна 8 рублям, найдём, чему равны три таких части ($\frac{3}{7}$). Для этого умножим полученное значение на числитель дроби:

$8 \times 3 = 24$ (рубля)

Ответ: 24 рубля.

Сколько денег у неё осталось?

Чтобы узнать, сколько денег осталось у Лены, нужно вычесть стоимость завтрака из первоначальной суммы.

$56 - 24 = 32$ (рубля)

Другой способ:
Если Лена потратила $\frac{3}{7}$ своих денег, то у неё осталась следующая часть:

$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$

Теперь найдём, сколько составляют $\frac{4}{7}$ от 56 рублей:

$(56 \div 7) \times 4 = 8 \times 4 = 32$ (рубля)

Ответ: 32 рубля.

6 На строительство было отправлено 24 000 целых кирпичей. По дороге разбилось 3% отправленных кирпичей. Сколько кирпичей разбилось по дороге? Сколько целых кирпичей было доставлено?

бой

целые кирпичи

Сколько кирпичей разбилось по дороге?

Для того чтобы найти количество разбитых кирпичей, нужно вычислить 3% от общего числа отправленных кирпичей, которое составляет 24 000.

Сначала найдем 1% от общего количества. Для этого разделим общее число кирпичей на 100:
$24000 \div 100 = 240$ кирпичей.

Теперь, чтобы найти 3%, умножим полученное значение на 3:
$240 \times 3 = 720$ кирпичей.

Ответ: по дороге разбилось 720 кирпичей.

Сколько целых кирпичей было доставлено?

Чтобы узнать, сколько целых кирпичей было доставлено, необходимо из общего количества отправленных кирпичей вычесть количество разбившихся по дороге кирпичей.
$24000 - 720 = 23280$ кирпичей.

Ответ: было доставлено 23 280 целых кирпичей.

7 Сравни дроби $(a, b \ne 0)$:

а) $\frac{7}{8}$ $\frac{4}{8}$; $\frac{5}{19}$ $\frac{12}{19}$; $\frac{8}{36}$ $\frac{24}{36}$; $\frac{a+3}{57}$ $\frac{a}{57}$.

б) $\frac{2}{9}$ $\frac{2}{3}$; $\frac{6}{11}$ $\frac{6}{15}$; $\frac{17}{28}$ $\frac{17}{21}$; $\frac{42}{b+5}$ $\frac{42}{b}$.

а)

Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.

Сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{4}{8}$.
Знаменатели дробей одинаковы. Сравниваем числители: $7 > 4$.
Следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{4}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{4}{8}$.

Сравним дроби $\frac{5}{19}$ и $\frac{12}{19}$.
Знаменатели дробей одинаковы. Сравниваем числители: $5 < 12$.
Следовательно, $\frac{5}{19} < \frac{12}{19}$.
Ответ: $\frac{5}{19} < \frac{12}{19}$.

Сравним дроби $\frac{8}{36}$ и $\frac{24}{36}$.
Знаменатели дробей одинаковы. Сравниваем числители: $8 < 24$.
Следовательно, $\frac{8}{36} < \frac{24}{36}$.
Ответ: $\frac{8}{36} < \frac{24}{36}$.

Сравним дроби $\frac{a+3}{57}$ и $\frac{a}{57}$.
Знаменатели дробей одинаковы. Сравниваем числители: $a+3$ и $a$.
Поскольку $3$ — положительное число, то $a+3$ всегда больше, чем $a$.
Следовательно, $\frac{a+3}{57} > \frac{a}{57}$.
Ответ: $\frac{a+3}{57} > \frac{a}{57}$.

б)

Для сравнения дробей с одинаковыми положительными числителями необходимо сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Сравним дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{3}$.
Числители дробей одинаковы. Сравниваем знаменатели: $9 > 3$.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{9} < \frac{2}{3}$.

Сравним дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{6}{15}$.
Числители дробей одинаковы. Сравниваем знаменатели: $11 < 15$.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $\frac{6}{11} > \frac{6}{15}$.
Ответ: $\frac{6}{11} > \frac{6}{15}$.

Сравним дроби $\frac{17}{28}$ и $\frac{17}{21}$.
Числители дробей одинаковы. Сравниваем знаменатели: $28 > 21$.
Дробь с большим знаменателем будет меньше.
Следовательно, $\frac{17}{28} < \frac{17}{21}$.
Ответ: $\frac{17}{28} < \frac{17}{21}$.

Сравним дроби $\frac{42}{b+5}$ и $\frac{42}{b}$.
Числители дробей одинаковы. Сравним их знаменатели: $b+5$ и $b$.
Так как в подобных задачах обычно предполагаются натуральные или положительные значения переменных, будем считать, что $b>0$.
Поскольку $5$ — положительное число, то знаменатель $b+5$ больше знаменателя $b$.
Дробь с большим знаменателем будет меньше.
Следовательно, $\frac{42}{b+5} < \frac{42}{b}$.
Ответ: $\frac{42}{b+5} < \frac{42}{b}$ (при $b>0$).

8 Выбери удобный единичный отрезок и отметь на числовом луче дроби $ \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{4}{10}, \frac{8}{10}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{2} $. Найди среди них равные дроби. Придумай свои примеры равных дробей.

0

Выбор единичного отрезка и отметка дробей на числовом луче

Чтобы отметить все дроби на одном числовом луче, нужно выбрать удобный единичный отрезок. Знаменатели данных дробей: 10, 5 и 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 10. Поэтому удобно взять единичный отрезок, разделенный на 10 равных частей. Каждая такая часть будет равна $ \frac{1}{10} $ единичного отрезка.

На изображении уже есть числовой луч, разделенный на равные отрезки. Примем расстояние от 0 до десятого деления за единичный отрезок (равный 1). Тогда каждое маленькое деление будет соответствовать $ \frac{1}{10} $.

Теперь отметим дроби на луче. Дроби со знаменателем 10 отмечаются легко:

• $ \frac{1}{10} $ — на первом делении после нуля.
• $ \frac{2}{10} $ — на втором делении.
• $ \frac{4}{10} $ — на четвертом делении.
• $ \frac{8}{10} $ — на восьмом делении.

Для остальных дробей приведем их к знаменателю 10, чтобы найти их место на луче:

• $ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} $ (совпадает со вторым делением).
• $ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} $ (совпадает с четвертым делением).
• $ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} $ (совпадает с восьмым делением).
• $ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} $ (находится на пятом делении).

Теперь нанесем все дроби на числовой луч. Если несколько дробей соответствуют одной и той же точке, мы расположим их друг над другом.

Ответ: Дроби отмечены на числовом луче выше.

Найди среди них равные дроби

Равные дроби — это дроби, которые обозначают одно и то же число и занимают одну и ту же точку на числовом луче. Из проделанных выше вычислений и глядя на числовой луч, мы можем найти следующие пары равных дробей:

• $ \frac{2}{10} $ и $ \frac{1}{5} $, так как $ \frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5} $.
• $ \frac{4}{10} $ и $ \frac{2}{5} $, так как $ \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5} $.
• $ \frac{8}{10} $ и $ \frac{4}{5} $, так как $ \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $.

Ответ: Равными являются дроби: $ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $; $ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $; $ \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $.

Придумай свои примеры равных дробей

Чтобы получить дробь, равную данной, можно умножить или разделить её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (это основное свойство дроби). Вот несколько примеров:

1. Возьмем дробь $ \frac{1}{3} $ и умножим числитель и знаменатель на 2:
   $ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} $
2. Возьмем дробь $ \frac{3}{4} $ и умножим числитель и знаменатель на 5:
   $ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $
3. Возьмем дробь $ \frac{12}{18} $ и разделим числитель и знаменатель на 6:
   $ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $

Ответ: Примеры равных дробей: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} $; $ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} $; $ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $.

3 Навстречу друг другу едут 2 автобуса. Скорость одного из них 40 $км/ч$, а скорость другого 50 $км/ч$. На сколько километров сблизятся автобусы за 1 $ч$ езды, 2 $ч$, 4 $ч$, 7 $ч$, если в течение указанного времени встречи не произойдёт?

Для того чтобы определить, на сколько километров сблизятся автобусы, необходимо найти их общую скорость сближения. Поскольку автобусы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдём скорость сближения ($v_{сбл}$):
Скорость сближения равна сумме скорости первого автобуса ($v_1 = 40$ км/ч) и скорости второго автобуса ($v_2 = 50$ км/ч).

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 40 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между автобусами сокращается на 90 километров.

2. Теперь, зная скорость сближения, можно рассчитать расстояние ($S$), на которое автобусы сблизятся за каждый промежуток времени ($t$) по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$.

за 1 ч езды
За 1 час автобусы сблизятся на расстояние: $90 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 90 \text{ км}$.
Ответ: на 90 км.

2 ч
За 2 часа автобусы сблизятся на расстояние: $90 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 180 \text{ км}$.
Ответ: на 180 км.

4 ч
За 4 часа автобусы сблизятся на расстояние: $90 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 360 \text{ км}$.
Ответ: на 360 км.

7 ч
За 7 часов автобусы сблизятся на расстояние: $90 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 630 \text{ км}$.
Ответ: на 630 км.

4 Пошёл дождь. Под водосточную трубу поставили пустую бочку. В неё вливается каждую минуту 8 л воды. Через щель в бочке вытекает 3 л в минуту. Сколько воды будет в бочке через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 5 мин, 9 мин, если дождь в течение указанного времени не закончится?

Для решения задачи сначала нужно определить, с какой скоростью бочка наполняется водой. Каждую минуту в неё вливается 8 литров, а вытекает 3 литра. Значит, чистая скорость наполнения бочки составляет:

$8 \text{ л/мин} - 3 \text{ л/мин} = 5 \text{ л/мин}$

Это означает, что каждую минуту количество воды в бочке увеличивается на 5 литров. Теперь мы можем рассчитать, сколько воды будет в бочке через указанные промежутки времени.

через 1 мин

Чтобы найти количество воды через 1 минуту, умножим скорость наполнения на время:

$5 \text{ л/мин} \times 1 \text{ мин} = 5 \text{ л}$

Ответ: 5 л.

через 2 мин

Чтобы найти количество воды через 2 минуты, умножим скорость наполнения на время:

$5 \text{ л/мин} \times 2 \text{ мин} = 10 \text{ л}$

Ответ: 10 л.

через 3 мин

Чтобы найти количество воды через 3 минуты, умножим скорость наполнения на время:

$5 \text{ л/мин} \times 3 \text{ мин} = 15 \text{ л}$

Ответ: 15 л.

через 5 мин

Чтобы найти количество воды через 5 минут, умножим скорость наполнения на время:

$5 \text{ л/мин} \times 5 \text{ мин} = 25 \text{ л}$

Ответ: 25 л.

через 9 мин

Чтобы найти количество воды через 9 минут, умножим скорость наполнения на время:

$5 \text{ л/мин} \times 9 \text{ мин} = 45 \text{ л}$

Ответ: 45 л.

5 За один час через верхний кран в бак вливается 20 вёдер воды, а через нижний кран за это же время вытекает 13 вёдер воды. Сколько вёдер воды нальётся в бак за 2 ч, если открыть оба крана одновременно?

Для того чтобы узнать, сколько вёдер воды нальётся в бак за 2 часа при одновременно открытых кранах, нужно сначала определить, на сколько вёдер увеличивается количество воды в баке за один час.

1. Найдём разницу между количеством воды, которое вливается, и количеством, которое вытекает за один час. Это будет скорость наполнения бака.

$20 - 13 = 7$ (вёдер/час)

Таким образом, при одновременно открытых кранах бак наполняется со скоростью 7 вёдер в час.

2. Теперь рассчитаем, сколько вёдер воды нальётся за 2 часа. Для этого умножим скорость наполнения на время.

$7 \times 2 = 14$ (вёдер)

Ответ: за 2 часа в бак нальётся 14 вёдер воды.

6. В комнате несколько человек. Каждую минуту в неё входят $5$ человек, а выходят из неё $3$. Как изменится число людей в комнате за $1$ мин, $4$ мин? Сколько людей станет в комнате через $4$ мин, если вначале в ней было $9$ человек?

Как изменится число людей в комнате за 1 мин, 4 мин?

1. Сначала найдем, на сколько человек изменяется количество людей в комнате за одну минуту. Для этого вычтем из числа вошедших число вышедших:

$5 - 3 = 2$ (человека)

Таким образом, за 1 минуту количество людей в комнате увеличится на 2 человека.

2. Теперь найдем, как изменится количество людей за 4 минуты. Для этого изменение за одну минуту умножим на 4:

$2 \times 4 = 8$ (человек)

За 4 минуты количество людей в комнате увеличится на 8 человек.

Ответ: За 1 минуту число людей в комнате увеличится на 2, а за 4 минуты — увеличится на 8.

Сколько людей станет в комнате через 4 мин, если вначале в ней было 9 человек?

Мы уже вычислили, что за 4 минуты общее число людей в комнате увеличится на 8. Чтобы найти, сколько всего людей станет в комнате, нужно к начальному количеству людей прибавить это изменение.

$9 + 8 = 17$ (человек)

Ответ: Через 4 минуты в комнате станет 17 человек.

7 На складе имеется запас угля. Ежедневно на склад привозят 42 т угля, а со склада увозят 50 т. Как изменяется за день количество угля на складе? Как оно изменится за 5 дней? Каким оно станет через 5 дней, если сейчас на складе 140 т угля?

Как изменяется за день количество угля на складе?

Каждый день на склад привозят 42 т угля (это приход) и увозят 50 т (это расход). Чтобы найти, как изменяется количество угля за день, нужно из прихода вычесть расход.

$42\text{ т} - 50\text{ т} = -8\text{ т}$

Так как результат отрицательный, это означает, что количество угля на складе уменьшается. За один день количество угля на складе уменьшается на 8 тонн.

Ответ: за день количество угля на складе уменьшается на 8 т.

Как оно изменится за 5 дней?

Мы знаем, что за один день количество угля уменьшается на 8 т. Чтобы узнать, как оно изменится за 5 дней, нужно ежедневное изменение умножить на количество дней.

$8\text{ т/день} \times 5\text{ дней} = 40\text{ т}$

За 5 дней количество угля на складе уменьшится на 40 тонн.

Ответ: за 5 дней количество угля уменьшится на 40 т.

Каким оно станет через 5 дней, если сейчас на складе 140 т угля?

Изначально на складе было 140 т угля. Мы рассчитали, что за 5 дней количество угля уменьшится на 40 т. Чтобы найти, сколько угля останется на складе, нужно из начального количества вычесть общее уменьшение.

$140\text{ т} - 40\text{ т} = 100\text{ т}$

Через 5 дней на складе будет 100 тонн угля.

Ответ: через 5 дней на складе станет 100 т угля.

8 Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта со скоростями соответственно $x$ км/ч и $y$ км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после выхода, если они движутся: а) в противоположных направлениях; б) в одном направлении? Составь выражения и найди их значения при $x = 4$ км/ч, $y = 6$ км/ч.

а) $x$ км/ч $y$ км/ч

? км

б) $y$ км/ч

$x$ км/ч

? км

а)

Если пешеходы движутся в противоположных направлениях, то расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления и вычисляется по формуле $v_{уд} = v_1 + v_2$.

В нашем случае $v_1 = x$ км/ч, а $v_2 = y$ км/ч.

Скорость удаления: $v_{уд} = x + y$ (км/ч).

Чтобы найти расстояние $S$ между ними через время $t=3$ ч, нужно скорость удаления умножить на время:

Выражение для нахождения расстояния: $S = (x + y) \cdot 3$ (км).

Теперь найдем значение этого выражения при $x = 4$ км/ч и $y = 6$ км/ч:

$S = (4 + 6) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30$ (км).

Ответ: $3 \cdot (x+y)$; 30 км.

б)

Если пешеходы движутся в одном направлении, то расстояние между ними равно разности расстояний, пройденных каждым из них. Скорость, с которой один пешеход удаляется от другого, равна разности их скоростей (при условии, что скорости не равны).

В нашем случае $x = 4$ км/ч и $y = 6$ км/ч, то есть $y > x$. Пешеход со скоростью $y$ будет обгонять пешехода со скоростью $x$. Скорость их удаления друг от друга равна $v_{уд} = y - x$.

Скорость удаления: $v_{уд} = y - x$ (км/ч).

Чтобы найти расстояние $S$ между ними через время $t=3$ ч, нужно скорость удаления умножить на время:

Выражение для нахождения расстояния: $S = (y - x) \cdot 3$ (км).

Теперь найдем значение этого выражения при $x = 4$ км/ч и $y = 6$ км/ч:

$S = (6 - 4) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$ (км).

Ответ: $3 \cdot (y-x)$; 6 км.

Представь число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $428$;

б) $701$;

в) $950$;

г) $3075$;

д) $25002$;

е) $780430$;

ж) $6290056$.

Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно записать его как сумму чисел, каждое из которых соответствует значению цифры в определенном разряде (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.).

а) Число 428 состоит из 4 сотен, 2 десятков и 8 единиц.
$428 = 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8 \cdot 1 = 400 + 20 + 8$.
Ответ: $400 + 20 + 8$.

б) Число 701 состоит из 7 сотен и 1 единицы. В разряде десятков стоит 0, поэтому это слагаемое можно не записывать.
$701 = 7 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 700 + 1$.
Ответ: $700 + 1$.

в) Число 950 состоит из 9 сотен и 5 десятков. В разряде единиц стоит 0.
$950 = 9 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 0 \cdot 1 = 900 + 50$.
Ответ: $900 + 50$.

г) Число 3075 состоит из 3 тысяч, 7 десятков и 5 единиц. В разряде сотен стоит 0.
$3075 = 3 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 3000 + 70 + 5$.
Ответ: $3000 + 70 + 5$.

д) Число 25 002 состоит из 2 десятков тысяч, 5 тысяч и 2 единиц.
$25002 = 2 \cdot 10000 + 5 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 2 \cdot 1 = 20000 + 5000 + 2$.
Ответ: $20000 + 5000 + 2$.

е) Число 780 430 состоит из 7 сотен тысяч, 8 десятков тысяч, 4 сотен и 3 десятков.
$780430 = 7 \cdot 100000 + 8 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 0 \cdot 1 = 700000 + 80000 + 400 + 30$.
Ответ: $700000 + 80000 + 400 + 30$.

ж) Число 6 290 056 состоит из 6 миллионов, 2 сотен тысяч, 9 десятков тысяч, 5 десятков и 6 единиц.
$6290056 = 6 \cdot 1000000 + 2 \cdot 100000 + 9 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 1 = 6000000 + 200000 + 90000 + 50 + 6$.
Ответ: $6000000 + 200000 + 90000 + 50 + 6$.

8 а) Вырази число 5609 в десятках и единицах; в сотнях и единицах; в тысячах и единицах.

б) Вырази 5609 мм в сантиметрах и миллиметрах; в дециметрах и миллиметрах; в метрах и миллиметрах.

в) Вырази 5609 с в минутах и секундах; в часах, минутах и секундах.

а)

• Выразим число 5609 в десятках и единицах:

  Чтобы определить количество десятков в числе, нужно разделить это число на 10. Целая часть результата будет количеством десятков, а остаток — количеством единиц.

  $5609 \div 10 = 560$ (остаток $9$)

  Таким образом, число 5609 состоит из 560 десятков и 9 единиц.

• Выразим число 5609 в сотнях и единицах:

  Чтобы определить количество сотен в числе, нужно разделить это число на 100. Целая часть результата будет количеством сотен, а остаток — количеством единиц.

  $5609 \div 100 = 56$ (остаток $9$)

  Таким образом, число 5609 состоит из 56 сотен и 9 единиц.

• Выразим число 5609 в тысячах и единицах:

  Чтобы определить количество тысяч в числе, нужно разделить это число на 1000. Целая часть результата будет количеством тысяч, а остаток — количеством единиц.

  $5609 \div 1000 = 5$ (остаток $609$)

  Таким образом, число 5609 состоит из 5 тысяч и 609 единиц.

Ответ: 560 десятков и 9 единиц; 56 сотен и 9 единиц; 5 тысяч и 609 единиц.

б)

• Выразим 5609 мм в сантиметрах и миллиметрах:

  В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$). Чтобы перевести миллиметры в сантиметры, разделим данное число на 10.

  $5609 \div 10 = 560$ (остаток $9$)

  Это значит, что 5609 мм равны 560 см и 9 мм.

• Выразим 5609 мм в дециметрах и миллиметрах:

  В одном дециметре 100 миллиметров ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$). Чтобы перевести миллиметры в дециметры, разделим данное число на 100.

  $5609 \div 100 = 56$ (остаток $9$)

  Это значит, что 5609 мм равны 56 дм и 9 мм.

• Выразим 5609 мм в метрах и миллиметрах:

  В одном метре 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$). Чтобы перевести миллиметры в метры, разделим данное число на 1000.

  $5609 \div 1000 = 5$ (остаток $609$)

  Это значит, что 5609 мм равны 5 м и 609 мм.

Ответ: 560 см 9 мм; 56 дм 9 мм; 5 м 609 мм.

в)

• Выразим 5609 с в минутах и секундах:

  В одной минуте 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$). Чтобы перевести секунды в минуты, разделим данное число на 60.

  $5609 \div 60 = 93$ (остаток $29$)

  Следовательно, 5609 секунд — это 93 минуты и 29 секунд.

• Выразим 5609 с в часах, минутах и секундах:

  В одном часе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд. Значит, в одном часе $60 \times 60 = 3600$ секунд ($1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$).

  Сначала найдем количество полных часов, разделив 5609 на 3600.

  $5609 \div 3600 = 1$ (остаток $2009$)

  Мы получили 1 час и 2009 секунд. Теперь оставшиеся 2009 секунд нужно перевести в минуты и секунды. Для этого разделим 2009 на 60.

  $2009 \div 60 = 33$ (остаток $29$)

  Таким образом, 2009 секунд — это 33 минуты и 29 секунд.

  Объединив все результаты, получаем 1 час, 33 минуты и 29 секунд.

Ответ: 93 мин 29 с; 1 ч 33 мин 29 с.

9 а) Запиши числа в римской нумерации:

один

пять

десять

пятьдесят

сто

пятьсот

тысяча

б) Как записываются числа в римской нумерации? Запиши арабскими цифрами числа:

XIV, XXI, CXLVI, CCCLXIX, DCXII, MCDVIII.

в) Запиши римскими цифрами числа:

25, 74, 48, 83, 316, 532, 1249.

а) Запиши числа в римской нумерации:
В римской непозиционной системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы. Ключевые числа записываются следующим образом:
- один (1) - I
- пять (5) - V
- десять (10) - X
- пятьдесят (50) - L
- сто (100) - C
- пятьсот (500) - D
- тысяча (1000) - M
Ответ: I, V, X, L, C, D, M.

б) Как записываются числа в римской нумерации? Запиши арабскими цифрами числа:
Числа в римской нумерации формируются путем сложения или вычитания значений цифр. Если меньшая цифра стоит справа от большей, их значения складываются. Если меньшая цифра (I, X или C) стоит слева от большей, то ее значение вычитается из значения большей. Разберем предложенные числа:
- XIV: состоит из $X$ (10) и $IV$ (4). Правило вычитания: $I$ перед $V$ означает $5-1=4$. Итоговое число: $10 + 4 = 14$.
- XXI: состоит из $X$ (10), еще одного $X$ (10) и $I$ (1). Правило сложения: $10 + 10 + 1 = 21$.
- CXLVI: состоит из $C$ (100), $XL$ (40, так как $X$ перед $L$ означает $50-10$), $V$ (5) и $I$ (1). Итоговое число: $100 + 40 + 5 + 1 = 146$.
- CCCLXIX: состоит из $CCC$ (300), $LX$ (60, $50+10$) и $IX$ (9, так как $I$ перед $X$ означает $10-1$). Итоговое число: $300 + 60 + 9 = 369$.
- DCXII: состоит из $D$ (500), $C$ (100), $X$ (10) и $II$ (2). Все цифры стоят в порядке убывания, поэтому их значения складываются: $500 + 100 + 10 + 2 = 612$.
- MCDVIII: состоит из $M$ (1000), $CD$ (400, так как $C$ перед $D$ означает $500-100$) и $VIII$ (8). Итоговое число: $1000 + 400 + 8 = 1408$.
Ответ: 14, 21, 146, 369, 612, 1408.

в) Запиши римскими цифрами числа:
Для преобразования арабских чисел в римские необходимо разбить число на разряды (тысячи, сотни, десятки и единицы) и записать каждый разряд соответствующими римскими цифрами, двигаясь от старших разрядов к младшим.
- 25: разложим на $20 + 5$. $20$ записывается как $XX$, $5$ как $V$. Соединяем: $XXV$.
- 74: разложим на $70 + 4$. $70$ записывается как $LXX$ ($50+10+10$), $4$ как $IV$ ($5-1$). Соединяем: $LXXIV$.
- 48: разложим на $40 + 8$. $40$ записывается как $XL$ ($50-10$), $8$ как $VIII$ ($5+1+1+1$). Соединяем: $XLVIII$.
- 83: разложим на $80 + 3$. $80$ записывается как $LXXX$ ($50+10+10+10$), $3$ как $III$. Соединяем: $LXXXIII$.
- 316: разложим на $300 + 10 + 6$. $300$ - это $CCC$, $10$ - это $X$, $6$ - это $VI$. Соединяем: $CCCXVI$.
- 532: разложим на $500 + 30 + 2$. $500$ - это $D$, $30$ - это $XXX$, $2$ - это $II$. Соединяем: $DXXXII$.
- 1249: разложим на $1000 + 200 + 40 + 9$. $1000$ - это $M$, $200$ - это $CC$, $40$ - это $XL$, $9$ - это $IX$. Соединяем: $MCCXLIX$.
Ответ: XXV, LXXIV, XLVIII, LXXXIII, CCCXVI, DXXXII, MCCXLIX.

10 Египтяне в древности обозначали единицы знаком, похожим на l, десятки — $\cap$, сотни — $\rho$. Например, число 254 они записывали так: $\rho \rho \cap \cap \cap \cap \cap ||||$.

Запиши в египетской нумерации числа 25, 74, 316, 532.

Для записи чисел в египетской нумерации необходимо разложить их на разряды (сотни, десятки и единицы) и для каждого разряда использовать соответствующий символ нужное количество раз.

Символы:

• Единицы (1): |
• Десятки (10): ∩
• Сотни (100): ९

25
Чтобы записать число 25, представим его в виде суммы десятков и единиц: $25 = 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1$. Это соответствует двум знакам для десятков (∩) и пяти знакам для единиц (|).
Ответ: ∩∩|||||

74
Число 74 состоит из 7 десятков и 4 единиц: $74 = 7 \cdot 10 + 4 \cdot 1$. Запись будет содержать семь знаков для десятков (∩) и четыре знака для единиц (|).
Ответ: ∩∩∩∩∩∩∩||||

316
Число 316 раскладывается на сотни, десятки и единицы: $316 = 3 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 6 \cdot 1$. Для его записи потребуется три знака для сотен (९), один знак для десятков (∩) и шесть знаков для единиц (|).
Ответ: ९९९∩||||||

532
Число 532 представим в виде суммы разрядных слагаемых: $532 = 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 2 \cdot 1$. Это соответствует пяти знакам для сотен (९), трем знакам для десятков (∩) и двум знакам для единиц (|).
Ответ: ९९९९९∩∩∩||

11 В числах вместо некоторых цифр записаны звёздочки. Можно ли сравнить эти числа?

$3 * \square 1 * *;$

$8 * * \square 5 * *;$

$7 * * 8 * \square 7 * * 2 *.$

Да, эти числа можно сравнить. Правило сравнения чисел гласит: из двух чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше.
Число 3* является двузначным, так как в его записи две цифры. Его значение может быть от 30 до 39.
Число 1** является трёхзначным, так как в его записи три цифры. Его значение может быть от 100 до 199.
Поскольку любое трёхзначное число всегда больше любого двузначного, то можно однозначно утверждать, что $1** > 3*$.
Ответ: $3* < 1**$.

Да, эти числа можно сравнить. Оба числа, 8** и 5**, являются трёхзначными. При сравнении чисел с одинаковым количеством цифр их сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда.
В старшем разряде (сотен) у первого числа стоит цифра 8.
В старшем разряде (сотен) у второго числа стоит цифра 5.
Поскольку $8 > 5$, первое число всегда будет больше второго, независимо от того, какие цифры скрыты за звёздочками. Наименьшее возможное значение для 8** — это 800, а наибольшее возможное значение для 5** — это 599. Так как $800 > 599$, то и $8** > 5**$.
Ответ: $8** > 5**$.

Нет, однозначно сравнить эти числа нельзя. Оба числа, 7**8* и 7**2*, являются пятизначными. Начнём их поразрядное сравнение слева направо.
Первая цифра (в разряде десятков тысяч) у них одинаковая — 7.
Вторая и третья цифры (в разрядах тысяч и сотен) неизвестны, и от их соотношения зависит результат сравнения.
Рассмотрим возможные случаи:

• Если второе число будет 73020, а первое — 71080, то $71080 < 73020$.
• Если же второе число будет 71020, а первое — 73080, то $73080 > 71020$.

Так как в зависимости от неизвестных цифр результат сравнения может быть разным (как «больше», так и «меньше»), сделать однозначный вывод о том, какое из чисел больше, невозможно.
Ответ: Сравнить нельзя.

12 Запиши множество цифр, при подстановке которых вместо звёздочки получается верное высказывание:

1) $* 64 < 364;$

2) $52 * \geq 529;$

3) $46 * 1 > 4671;$

4) $5 * 68 \leq 5168;$

5) $340 < 3 * 4 \leq 372;$

6) $125 \leq * 25 < 400.$

1) В неравенстве $ *64 < 364 $ сравниваются два трехзначных числа. Чтобы первое число было меньше второго, его цифра в старшем разряде (сотнях) должна быть меньше, чем у второго числа. Цифра сотен второго числа равна 3. Значит, вместо звездочки можно подставить цифры, которые меньше 3. Так как звездочка стоит на первом месте в числе, она не может быть нулем. Следовательно, подходят цифры 1 и 2.
Ответ: {1, 2}.

2) В неравенстве $ 52* \ge 529 $ у сравниваемых чисел совпадают цифры в разрядах сотен и десятков. Чтобы первое число было больше или равно второму, его цифра в разряде единиц должна быть больше или равна цифре в разряде единиц второго числа, то есть 9. Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию, — это 9.
Ответ: {9}.

3) В неравенстве $ 46*1 > 4671 $ у чисел совпадают цифры в разрядах тысяч и сотен. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде десятков должна быть больше, чем у второго числа, то есть больше 7. Этому условию удовлетворяют цифры 8 и 9.
Ответ: {8, 9}.

4) В неравенстве $ 5*68 \le 5168 $ у чисел совпадают цифры в разряде тысяч. Чтобы первое число было меньше или равно второму, его цифра в разряде сотен должна быть меньше или равна цифре в разряде сотен второго числа, то есть меньше или равна 1. Этому условию удовлетворяют цифры 0 и 1.
Ответ: {0, 1}.

5) Рассмотрим двойное неравенство $ 340 < 3*4 \le 372 $. Оно состоит из двух условий, которые должны выполняться одновременно: $ 340 < 3*4 $ и $ 3*4 \le 372 $.
Из первого неравенства $ 340 < 3*4 $ следует, что цифра в разряде десятков $ * $ должна быть больше или равна 4. Возможные цифры: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Из второго неравенства $ 3*4 \le 372 $ следует, что цифра в разряде десятков $ * $ должна быть меньше 7 (так как при $ * = 7 $ получается $ 374 \le 372 $, что неверно). Возможные цифры: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Найдем пересечение множеств полученных цифр. Общими являются цифры 4, 5, 6.
Ответ: {4, 5, 6}.

6) Рассмотрим двойное неравенство $ 125 \le *25 < 400 $. Оно также состоит из двух условий: $ 125 \le *25 $ и $ *25 < 400 $.
Из первого неравенства $ 125 \le *25 $ следует, что цифра в разряде сотен $ * $ должна быть больше или равна 1. Поскольку $ * $ — первая цифра числа, она не может быть 0. Возможные цифры: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Из второго неравенства $ *25 < 400 $ следует, что цифра в разряде сотен $ * $ должна быть меньше 4. Возможные цифры: {1, 2, 3}.
Найдем пересечение множеств полученных цифр. Общими являются цифры 1, 2, 3.
Ответ: {1, 2, 3}.

13 Сравни числа:

$5630 \square 5603$; $7\,600\,000 \square 67\,000\,000$;

$24\,239 \square 24\,293$; $875\,316\,049 \square 875\,310\,699$;

$333\,333 \square 88\,888$; $1\,093\,284\,915 \square 10\,000\,000\,100$.

5630 ... 5603;

Для сравнения чисел 5630 и 5603, имеющих одинаковое количество разрядов (по 4), начнем сравнивать их цифры поразрядно, слева направо (от старших разрядов к младшим).

1. Цифры в разряде тысяч одинаковы: $5 = 5$.

2. Цифры в разряде сотен одинаковы: $6 = 6$.

3. Цифры в разряде десятков различны: $3 > 0$.

Поскольку цифра в разряде десятков у первого числа больше, чем у второго, то и само первое число больше второго. Дальнейшее сравнение не требуется.

Ответ: $5630 > 5603$

24 239 ... 24 293;

Сравниваем числа 24 239 и 24 293. Оба числа пятизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.

1. Цифры в разряде десятков тысяч одинаковы: $2 = 2$.

2. Цифры в разряде тысяч одинаковы: $4 = 4$.

3. Цифры в разряде сотен одинаковы: $2 = 2$.

4. Цифры в разряде десятков различны: $3 < 9$.

Так как цифра в разряде десятков у первого числа меньше, чем у второго, то первое число меньше второго.

Ответ: $24 239 < 24 293$

333 333 ... 88 888;

Для сравнения чисел 333 333 и 88 888 сначала посчитаем количество цифр (разрядов) в каждом числе.

Число 333 333 состоит из 6 цифр (шестизначное).

Число 88 888 состоит из 5 цифр (пятизначное).

Натуральное число, в котором больше разрядов, всегда больше числа, в котором разрядов меньше. Следовательно, 333 333 больше, чем 88 888.

Ответ: $333 333 > 88 888$

7 600 000 ... 67 000 000;

Сравним числа 7 600 000 и 67 000 000. Посчитаем количество разрядов в каждом числе.

Число 7 600 000 состоит из 7 цифр (семизначное).

Число 67 000 000 состоит из 8 цифр (восьмизначное).

Число с большим количеством разрядов является большим. Поэтому 7 600 000 меньше, чем 67 000 000.

Ответ: $7 600 000 < 67 000 000$

875 316 049 ... 875 310 699;

Сравниваем числа 875 316 049 и 875 310 699. Оба числа девятизначные. Начнем поразрядное сравнение слева направо.

1. Цифры в разряде сотен миллионов: $8 = 8$.

2. Цифры в разряде десятков миллионов: $7 = 7$.

3. Цифры в разряде миллионов: $5 = 5$.

4. Цифры в разряде сотен тысяч: $3 = 3$.

5. Цифры в разряде десятков тысяч: $1 = 1$.

6. Цифры в разряде тысяч: $6 > 0$.

Поскольку первая отличающаяся цифра (в разряде тысяч) у первого числа больше, то и само число 875 316 049 больше числа 875 310 699.

Ответ: $875 316 049 > 875 310 699$

1 093 284 915 ... 10 000 000 100.

Для сравнения чисел 1 093 284 915 и 10 000 000 100 определим количество разрядов в каждом.

Число 1 093 284 915 состоит из 10 цифр.

Число 10 000 000 100 состоит из 11 цифр.

Число, в котором больше цифр, является большим. Следовательно, 1 093 284 915 меньше, чем 10 000 000 100.

Ответ: $1 093 284 915 < 10 000 000 100$