Страница 84, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

8 В магазине цены снижены на 1 %.

Сколько надо теперь платить за товар, который стоил раньше 500 р., 2000 р., 40 000 р.?

$100 \% - 500 \text{ р.}$

$? \text{ р.}$

$1 \% - ? \text{ р.}$

Цены снижены

1 %

Чтобы найти новую цену товара после снижения на 1%, нужно сначала вычислить размер скидки (1% от первоначальной цены), а затем вычесть эту сумму из первоначальной цены. 1% — это одна сотая часть числа.

500 р.
1. Найдем 1% от 500 рублей. Для этого разделим 500 на 100.
$500 \div 100 = 5$ р. — это размер скидки.
2. Теперь вычтем размер скидки из первоначальной цены.
$500 - 5 = 495$ р. — это новая цена товара.
Ответ: 495 р.

2000 р.
1. Найдем 1% от 2000 рублей.
$2000 \div 100 = 20$ р. — это размер скидки.
2. Вычтем скидку из первоначальной цены.
$2000 - 20 = 1980$ р. — это новая цена товара.
Ответ: 1980 р.

40 000 р.
1. Найдем 1% от 40 000 рублей.
$40000 \div 100 = 400$ р. — это размер скидки.
2. Вычтем скидку из первоначальной цены.
$40000 - 400 = 39600$ р. — это новая цена товара.
Ответ: 39 600 р.

9 Запиши формулу стоимости и заполни таблицу:

$C = a \cdot n$

Формула стоимости

Для того чтобы найти стоимость $C$, необходимо цену товара $a$ умножить на его количество $n$. Формула выглядит следующим образом: $C = a \cdot n$.

Из этой основной формулы можно выразить цену и количество:

• Формула для нахождения цены: $a = C : n$
• Формула для нахождения количества: $n = C : a$

Заполнение таблицы

1. Первая строка таблицы (найти стоимость C):
Известны цена $a = 70$ р./кг и количество $n = 4$ кг. Чтобы найти стоимость, воспользуемся основной формулой:
$C = 70 \cdot 4 = 280$ (р.)
Ответ: 280 р.

2. Вторая строка таблицы (найти количество n):
Известны стоимость $C = 1600$ р. и цена $a = 200$ р./м. Чтобы найти количество, разделим стоимость на цену:
$n = 1600 : 200 = 8$ (м)
Ответ: 8 м.

3. Третья строка таблицы (найти цену a):
Известны стоимость $C = 960$ р. и количество $n = 8$ книг. Чтобы найти цену, разделим стоимость на количество:
$a = 960 : 8 = 120$ (р./кн.)
Ответ: 120 р./кн.

Итоговая заполненная таблица:

10 Укажи наибольшее натуральное решение неравенства:

а) $x < 767520 : 4 : 15 : 123;$

б) $y \le 319488 : 96 : 16 \cdot 505.$

а) $x < 767520 : 4 : 15 : 123$

Для решения этого неравенства необходимо сначала вычислить значение выражения в правой части. Выполним действия по порядку слева направо:

1) $767520 : 4 = 191880$

2) $191880 : 15 = 12792$

3) $12792 : 123 = 104$

Теперь неравенство имеет вид: $x < 104$.

Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти наибольшее натуральное число $x$, которое строго меньше 104. Таким числом является 103.

Ответ: 103.

б) $y \le 319488 : 96 : 16 \cdot 505$

Сначала вычислим значение выражения в правой части неравенства. Порядок действий — слева направо, так как деление и умножение имеют одинаковый приоритет.

1) $319488 : 96 = 3328$

2) $3328 : 16 = 208$

3) $208 \cdot 505 = 105040$

Неравенство принимает вид: $y \le 105040$.

Мы ищем наибольшее натуральное число $y$, которое меньше или равно 105040. Таким числом является само число 105040, так как знак неравенства нестрогий ($\le$).

Ответ: 105040.

11 У Алёши было 540 р. Он купил машинку, книгу и 3 компьютерные игры. Машинка стоила 90 р., книга на 20 р. дороже машинки, а каждая игра в 2 раза дешевле, чем книга и машинка вместе. На оставшиеся деньги Алёша решил купить мороженое по цене 20 р. Сколько порций мороженого он может купить?

М. книга игры осталось

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления по шагам:

1. Найдём стоимость книги.
Известно, что машинка стоит 90 рублей, а книга на 20 рублей дороже.
$90 + 20 = 110$ (р.) – стоимость книги.

2. Найдём общую стоимость машинки и книги.
Сложим их стоимости.
$90 + 110 = 200$ (р.) – стоят машинка и книга вместе.

3. Найдём стоимость одной компьютерной игры.
По условию, каждая игра в 2 раза дешевле, чем машинка и книга вместе.
$200 / 2 = 100$ (р.) – стоимость одной игры.

4. Найдём стоимость трёх компьютерных игр.
Алёша купил 3 игры.
$100 * 3 = 300$ (р.) – стоимость трёх игр.

5. Найдём общую сумму потраченных денег.
Сложим стоимость всех покупок: машинки, книги и трёх игр.
$90 + 110 + 300 = 500$ (р.) – всего потрачено.

6. Найдём, сколько денег осталось у Алёши.
Изначально у него было 540 рублей.
$540 - 500 = 40$ (р.) – осталось у Алёши.

7. Найдём, сколько порций мороженого он может купить.
Разделим оставшуюся сумму на цену одной порции мороженого (20 рублей).
$40 / 20 = 2$ (порции).

Ответ: Алёша может купить 2 порции мороженого.

12. Верно ли, что является натуральным числом:

а) сумма любых двух натуральных чисел;

б) разность любых двух натуральных чисел;

в) произведение любых двух натуральных чисел;

г) частное любых двух натуральных чисел?

а) сумма любых двух натуральных чисел;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов, то есть $1, 2, 3, \dots$. Пусть у нас есть два любых натуральных числа, назовем их $a$ и $b$. Так как они натуральные, они оба являются целыми и положительными ($a \ge 1$, $b \ge 1$). Их сумма $c = a + b$. Поскольку наименьшее натуральное число — это 1, то наименьшая возможная сумма двух натуральных чисел будет $1 + 1 = 2$. Результат всегда будет целым числом, большим или равным 2. Следовательно, сумма любых двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Например, $7 + 15 = 22$.

Ответ: да, верно.

б) разность любых двух натуральных чисел;

Рассмотрим разность двух натуральных чисел $a$ и $b$, то есть $a - b$. Это утверждение не всегда верно. Для опровержения достаточно привести один пример (контрпример), в котором результат не является натуральным числом.

Например, возьмем натуральные числа 5 и 8. Их разность $5 - 8 = -3$. Число $-3$ является целым, но отрицательным, поэтому оно не натуральное.

Другой пример: возьмем одинаковые натуральные числа, например 4 и 4. Их разность $4 - 4 = 0$. Число 0 не является натуральным числом.

Таким образом, разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом.

Ответ: нет, неверно.

в) произведение любых двух натуральных чисел;

Пусть $a$ и $b$ — два любых натуральных числа. Их произведение $c = a \cdot b$. Так как $a$ и $b$ являются целыми числами и $a \ge 1$, $b \ge 1$, их произведение также будет целым числом, и оно будет не меньше, чем $1 \cdot 1 = 1$. Любое целое число, которое больше или равно 1, является натуральным. Следовательно, произведение любых двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Например, $3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: да, верно.

г) частное любых двух натуральных чисел?

Рассмотрим частное двух натуральных чисел $a$ и $b$, то есть $a / b$. Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример.

Возьмем натуральные числа 2 и 3. Их частное равно $2 / 3$. Это дробное число, которое не является натуральным.

Другой пример: $5 / 2 = 2.5$. Это число также не является натуральным. Частное двух натуральных чисел будет натуральным числом только в том случае, если делимое делится на делитель без остатка (например, $12 / 4 = 3$). Поскольку это условие выполняется не для любых двух натуральных чисел, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

13 Составь слова и исключи лишнее слово:

РАЧУК, ЕЛМ, ОВГУРКИЗ, ШААНДАКР.

Составь слова

Если переставить буквы в предложенных наборах, получатся следующие осмысленные слова:

Из набора РАЧУК получается слово РУЧКА.

Из набора ЕЛМ получается слово МЕЛ.

Из набора ОВГУРКИЗ получается слово ГРУЗОВИК.

Из набора ШААНДАКР получается слово КАРАНДАШ. (Примечание: в исходном наборе букв, вероятно, допущена опечатка, так как для составления слова "карандаш" не хватает одной буквы "а").

Ответ: Ручка, мел, грузовик, карандаш.

Исключи лишнее слово

Теперь из полученного списка слов (ручка, мел, грузовик, карандаш) необходимо найти лишнее. Для этого определим общий признак, по которому можно сгруппировать большинство слов.

Слова "ручка", "мел" и "карандаш" относятся к одной тематической группе – это "школьные/канцелярские принадлежности".

Слово "грузовик" в эту группу не входит, так как оно обозначает вид транспорта.

Следовательно, "грузовик" является лишним словом.

Ответ: ГРУЗОВИК.

8 С товарной станции надо вывезти в магазины 700 ящиков с товаром. Для вывоза послано две машины. На одну машину можно уложить 48 ящиков, а на другую — 36 ящиков. Сколько ящиков останется на станции, если каждая машина сделает по 5 рейсов с полной загрузкой?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Рассчитаем, сколько ящиков вывезет первая машина.
Вместимость первой машины — 48 ящиков. Она сделает 5 рейсов. Чтобы найти общее количество вывезенных ею ящиков, нужно вместимость умножить на количество рейсов.
$48 \times 5 = 240$ (ящиков).

2. Рассчитаем, сколько ящиков вывезет вторая машина.
Вместимость второй машины — 36 ящиков. Она также сделает 5 рейсов.
$36 \times 5 = 180$ (ящиков).

3. Найдем общее количество ящиков, вывезенных обеими машинами.
Для этого сложим количество ящиков, которые вывезла первая и вторая машины.
$240 + 180 = 420$ (ящиков).

4. Определим, сколько ящиков останется на станции.
Изначально на станции было 700 ящиков. Машины вывезли 420 ящиков. Чтобы найти остаток, нужно из начального количества вычесть вывезенное.
$700 - 420 = 280$ (ящиков).

Альтернативный способ решения (выражением):

Можно объединить все действия в одно выражение. Сначала находим, сколько ящиков обе машины вывозят за один рейс, умножаем это на количество рейсов и вычитаем из общего числа ящиков.
1. Совместная вместимость за один рейс: $48 + 36 = 84$ ящика.
2. Общее количество вывезенных ящиков за 5 рейсов: $84 \times 5 = 420$ ящиков.
3. Остаток на станции: $700 - 420 = 280$ ящиков.
Запись одним выражением:
$700 - (48 + 36) \times 5 = 700 - 84 \times 5 = 700 - 420 = 280$ (ящиков).

Ответ: 280 ящиков.

9 Как найти, какую часть одно число составляет от другого?Вырази величины в одинаковых мерках и узнай:

а) Какую часть недели составляют: 4 суток, 10 ч, 35 мин?

б) Какую часть от 3 м составляют: 2 м, 7 дм, 48 см?

в) Какую часть от 8 кг составляют: 5 кг, 27 г, 360 г?

Чтобы найти, какую часть одно число (или величина) составляет от другого, необходимо первое число разделить на второе. Важно, чтобы обе величины были выражены в одинаковых единицах измерения. Для этого их следует привести к наименьшей общей единице.

а) Какую часть недели составляют: 4 суток, 10 ч, 35 мин?

Для решения этой задачи приведем обе величины (заданный промежуток времени и неделю) к наименьшей единице измерения — минутам.
1. Сначала вычислим, сколько минут в 4 сутках, 10 часах и 35 минутах.
В одних сутках 24 часа, а в одном часе 60 минут.
$4 \text{ суток } 10 \text{ ч } 35 \text{ мин} = (4 \times 24 + 10) \text{ часов} + 35 \text{ минут} = (96 + 10) \text{ часов} + 35 \text{ минут} = 106 \text{ часов} + 35 \text{ минут}$.
Теперь переведем часы в минуты: $106 \times 60 \text{ мин} = 6360 \text{ мин}$.
Итого: $6360 + 35 = 6395 \text{ минут}$.
2. Теперь вычислим, сколько минут в одной неделе.
В неделе 7 суток.
$7 \text{ суток} = 7 \times 24 \text{ часа} = 168 \text{ часов}$.
$168 \text{ часов} = 168 \times 60 \text{ минут} = 10080 \text{ минут}$.
3. Составим дробь, где в числителе — искомая часть, а в знаменателе — целое, и сократим ее.
$\frac{6395}{10080}$. Оба числа делятся на 5.
$\frac{6395 \div 5}{10080 \div 5} = \frac{1279}{2016}$.
Проверим, можно ли сократить дальше. Знаменатель $2016$ делится на 2, 3, 7. Числитель 1279 не делится ни на одно из этих чисел, следовательно, дробь несократимая.
Ответ: $\frac{1279}{2016}$.

б) Какую часть от 3 м составляют: 2 м, 7 дм, 48 см?

Приведем обе величины к сантиметрам.
1. Выразим 2 м, 7 дм, 48 см в сантиметрах.
В 1 метре 100 см, в 1 дециметре 10 см.
$2 \text{ м } 7 \text{ дм } 48 \text{ см} = 2 \times 100 \text{ см} + 7 \times 10 \text{ см} + 48 \text{ см} = 200 + 70 + 48 = 318 \text{ см}$.
2. Выразим 3 метра в сантиметрах.
$3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
3. Составим и сократим дробь.
$\frac{318}{300}$. Сократим дробь на 2: $\frac{159}{150}$. Сократим на 3: $\frac{53}{50}$.
53 — простое число, поэтому дробь больше не сокращается.
Ответ: $\frac{53}{50}$.

в) Какую часть от 8 кг составляют: 5 кг, 27 г, 360 г?

Приведем обе величины к граммам.
1. Выразим 5 кг, 27 г, 360 г в граммах.
В 1 килограмме 1000 граммов.
$5 \text{ кг } 27 \text{ г } 360 \text{ г} = 5 \times 1000 \text{ г} + 27 \text{ г} + 360 \text{ г} = 5000 + 387 = 5387 \text{ г}$.
2. Выразим 8 килограммов в граммах.
$8 \text{ кг} = 8 \times 1000 \text{ г} = 8000 \text{ г}$.
3. Составим дробь.
$\frac{5387}{8000}$.
Знаменатель $8000$ имеет только простые множители 2 и 5. Числитель 5387 нечетный и не оканчивается на 0 или 5, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{5387}{8000}$.

10 Реши уравнение:

а) $(x - 1 \frac{15}{16}) + 7 \frac{3}{16} = 12 \frac{10}{16};$

б) $15 \frac{3}{28} - (4 \frac{11}{28} + y) = 5 \frac{19}{28}.$

а)

Дано уравнение: $(x - 1\frac{15}{16}) + 7\frac{3}{16} = 12\frac{10}{16}$.

В этом уравнении выражение в скобках $(x - 1\frac{15}{16})$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x - 1\frac{15}{16} = 12\frac{10}{16} - 7\frac{3}{16}$

Выполним вычитание смешанных чисел. Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем отдельно целые части и дробные части:

$12 - 7 = 5$

$\frac{10}{16} - \frac{3}{16} = \frac{10 - 3}{16} = \frac{7}{16}$

В результате получаем:

$x - 1\frac{15}{16} = 5\frac{7}{16}$

Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 5\frac{7}{16} + 1\frac{15}{16}$

Сложим смешанные числа:

$5 + 1 = 6$

$\frac{7}{16} + \frac{15}{16} = \frac{7 + 15}{16} = \frac{22}{16}$

Получаем $x = 6\frac{22}{16}$.

Дробь $\frac{22}{16}$ является неправильной. Выделим из неё целую часть:

$\frac{22}{16} = 1\frac{6}{16}$

Теперь прибавим целую часть к имеющейся:

$x = 6 + 1\frac{6}{16} = 7\frac{6}{16}$

Сократим дробную часть $\frac{6}{16}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$

Таким образом, $x = 7\frac{3}{8}$.

Ответ: $7\frac{3}{8}$

б)

Дано уравнение: $15\frac{3}{28} - (4\frac{11}{28} + y) = 5\frac{19}{28}$.

В данном уравнении выражение в скобках $(4\frac{11}{28} + y)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$4\frac{11}{28} + y = 15\frac{3}{28} - 5\frac{19}{28}$

Выполним вычитание в правой части. Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{28}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{19}{28}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

$15\frac{3}{28} = 14 + 1 + \frac{3}{28} = 14 + \frac{28}{28} + \frac{3}{28} = 14\frac{31}{28}$

Теперь выполним вычитание:

$14\frac{31}{28} - 5\frac{19}{28} = (14-5) + (\frac{31-19}{28}) = 9 + \frac{12}{28} = 9\frac{12}{28}$

Уравнение теперь выглядит так:

$4\frac{11}{28} + y = 9\frac{12}{28}$

Здесь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y = 9\frac{12}{28} - 4\frac{11}{28}$

Выполним вычитание:

$y = (9-4) + (\frac{12-11}{28}) = 5 + \frac{1}{28} = 5\frac{1}{28}$

Ответ: $5\frac{1}{28}$

11 В один день летних каникул Дима с Сашей гуляли 5 ч. Сначала $1\frac{7}{12}$ ч они играли с ребятами в футбол. Затем они пробыли в зоопарке на $\frac{10}{12}$ ч больше, чем играли в футбол. Остальное время они катались на лодке. Сколько времени в этот день Дима с Сашей катались на лодке?

Для того чтобы узнать, сколько времени Дима с Сашей катались на лодке, необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Найти, сколько времени они провели в зоопарке. По условию, это на $\frac{10}{12}$ часа больше, чем время игры в футбол:

$1 \frac{7}{12} + \frac{10}{12} = 1 \frac{17}{12} = 2 \frac{5}{12}$ часа.

2. Рассчитать общее время, потраченное на футбол и зоопарк. Для этого нужно сложить время, затраченное на каждое из этих занятий:

$1 \frac{7}{12} + 2 \frac{5}{12} = 3 \frac{12}{12} = 4$ часа.

3. Вычислить оставшееся время, которое Дима и Саша катались на лодке. Для этого из общего времени прогулки (5 часов) вычтем время, которое они потратили на футбол и зоопарк:

$5 - 4 = 1$ час.

Ответ: Дима с Сашей катались на лодке 1 час.

12 Верно ли высказывание:

a) $42702720 \div (98000 - 3263040 \div 36) \ge 5820;$

б) $38030000 - 9083 \cdot (250600 \div 70 + 497696 \div 824) < 30000?`$

а) Чтобы проверить верность высказывания $42 702 720 : (98 000 - 3 263 040 : 36) \ge 5820$, необходимо вычислить значение левой части неравенства, соблюдая порядок действий.

1. Первым действием выполняется операция в скобках. Внутри скобок сначала выполняется деление:

$3 263 040 : 36 = 90 640$

2. Затем выполняется вычитание в скобках:

$98 000 - 90 640 = 7 360$

3. Теперь выполним основное деление:

$42 702 720 : 7 360 = 5802$

4. Сравним полученный результат с числом 5820:

$5802 \ge 5820$

Данное неравенство является ложным, так как $5802$ меньше, а не больше или равно $5820$. Следовательно, исходное высказывание неверно.

Ответ: неверно.

б) Чтобы проверить верность высказывания $38 030 000 - 9083 \cdot (250 600 : 70 + 497 696 : 824) < 30 000$, вычислим значение левой части, соблюдая порядок действий.

1. Начнем с действий в скобках. Сначала выполним деление:

$250 600 : 70 = 3580$

2. Выполним второе деление в скобках:

$497 696 : 824 = 604$

3. Теперь выполним сложение в скобках:

$3580 + 604 = 4184$

4. Следующим шагом выполним умножение:

$9083 \cdot 4184 = 38 003 272$

5. Последним действием выполним вычитание:

$38 030 000 - 38 003 272 = 26 728$

6. Сравним полученный результат с числом 30 000:

$26 728 < 30 000$

Данное неравенство является истинным, так как $26 728$ действительно меньше $30 000$. Следовательно, исходное высказывание верно.

Ответ: верно.

13 Старинная задача.

Дано 15 спичек. Каждый из двух игроков по очереди берёт либо одну, либо две, либо три спички. Проигрывает тот, кому досталась последняя спичка. Как играть, чтобы не проиграть, если у тебя первый ход?

Это задача на выигрышную стратегию в теории игр. Цель — не взять последнюю спичку, то есть заставить соперника сделать последний ход. Стратегия строится на поиске "проигрышных" позиций, то есть такого количества спичек, которое невыгодно иметь к началу своего хода.

Анализ проигрышных позиций

Рассмотрим игру с конца. Проигрышная позиция — это та, с которой любой ход ведет к выигрышной позиции для соперника.

Если на столе 1 спичка, игрок, чей ход, должен ее взять и проигрывает. Значит, 1 — это проигрышная позиция.

Если на столе 2, 3 или 4 спички, игрок может взять 1, 2 или 3 спички соответственно, чтобы оставить сопернику 1 спичку. Таким образом, 2, 3 и 4 — это выигрышные позиции, так как с них можно попасть в проигрышную для оппонента.

Если на столе 5 спичек, игрок может взять 1, 2 или 3 спички, оставив 4, 3 или 2 спички. Все эти позиции, как мы выяснили, выигрышные для следующего игрока (нашего соперника). Значит, 5 — это проигрышная позиция.

Продолжая эту логику, мы можем найти следующую проигрышную позицию. Это будет 9 спичек. Если игрок сталкивается с 9 спичками, то, взяв 1, 2 или 3, он оставит 8, 7 или 6. Из любого этого количества второй игрок может оставить 5 спичек, снова ставя первого в проигрышное положение.

Формулировка выигрышной стратегии

Проигрышные позиции образуют последовательность: 1, 5, 9, 13, 17... Это числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Их можно описать формулой $4k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы после каждого своего хода оставлять на столе количество спичек, соответствующее этой формуле.

Применение стратегии для первого игрока

Изначально на столе 15 спичек. Мы ходим первыми. Нам нужно своим ходом оставить на столе "проигрышное" число спичек. Ближайшее такое число, меньшее 15, — это 13 ($13 = 4 \times 3 + 1$).

Первый ход: Чтобы из 15 спичек осталось 13, мы должны взять $15 - 13 = 2$ спички.

Последующие ходы: После того как мы оставили 13 спичек, мы должны поддерживать эту стратегию. Заметим, что в сумме за один круг (ход соперника + наш ход) мы можем забирать 4 спички. Если соперник берет $k$ спичек (где $k$ может быть 1, 2 или 3), мы должны взять $4-k$ спичек. Например, если он взял 1, мы берем 3; если он взял 2, мы берем 2; если он взял 3, мы берем 1. Таким образом, мы каждый раз будем уменьшать количество спичек на 4, сохраняя "проигрышную" позицию для соперника:

1. Мы оставляем 13 спичек.

2. Соперник берет $k_1$ спичек, мы берем $4-k_1$. На столе остается $13 - 4 = 9$ спичек.

3. Соперник берет $k_2$ спичек, мы берем $4-k_2$. На столе остается $9 - 4 = 5$ спичек.

4. Соперник берет $k_3$ спичек, мы берем $4-k_3$. На столе остается $5 - 4 = 1$ спичка.

В конце концов, соперник окажется в ситуации, когда на столе 1 спичка, которую он будет вынужден забрать, что приведет к его проигрышу.

Ответ: Чтобы не проиграть (то есть выиграть), игрок, который ходит первым, должен взять 2 спички. На каждый последующий ход соперника, если тот берет $k$ спичек (1, 2 или 3), первый игрок должен брать $4-k$ спичек (3, 2 или 1 соответственно). Придерживаясь этой стратегии, он гарантированно победит.

14 Продолжи ряд на 4 числа, сохраняя закономерность:

а) 5, 15, 125, 1235

б) 1, 3, 9, 27

а) 5, 15, 125, 1235

Для нахождения закономерности в данном ряду чисел, рассмотрим, как образуется каждый следующий член последовательности.Первое число — 5.Второе число — 15. Можно заметить, что оно получено из первого путем добавления цифры 1 слева.Третье число — 125. Оно похоже на второе, но между цифрами 1 и 5 появилась цифра 2.Четвертое число — 1235. Здесь между цифрами 2 и 5 из предыдущего числа появилась цифра 3.Отсюда следует закономерность: каждое следующее число образуется из предыдущего путем вставки очередной цифры натурального ряда (1, 2, 3, 4, ...) перед последней цифрой, которая всегда равна 5.

Продолжим ряд на четыре числа, следуя этому правилу:
Пятый член ряда: берем число 1235 и вставляем цифру 4 перед 5, получаем 12345.
Шестой член ряда: берем число 12345 и вставляем цифру 5 перед последней 5, получаем 123455.
Седьмой член ряда: берем число 123455 и вставляем цифру 6 перед последней 5, получаем 1234565.
Восьмой член ряда: берем число 1234565 и вставляем цифру 7 перед последней 5, получаем 12345675.

Ответ: 12345, 123455, 1234565, 12345675.

б) 1, 3, 9, 27

Проанализируем данный числовой ряд. Сравним соседние числа.Отношение второго числа к первому: $3 / 1 = 3$.Отношение третьего числа ко второму: $9 / 3 = 3$.Отношение четвертого числа к третьему: $27 / 9 = 3$.Видно, что каждое следующее число в последовательности в 3 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой равен 3.Другой способ увидеть эту закономерность — представить числа как степени числа 3: $3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$.

Чтобы продолжить ряд, необходимо найти следующие четыре члена, умножая предыдущий на 3:
Пятый член ряда: $27 \cdot 3 = 81$ (или $3^4$).
Шестой член ряда: $81 \cdot 3 = 243$ (или $3^5$).
Седьмой член ряда: $243 \cdot 3 = 729$ (или $3^6$).
Восьмой член ряда: $729 \cdot 3 = 2187$ (или $3^7$).

Ответ: 81, 243, 729, 2187.

6 Построй график движения и сочини по этому графику рассказ.

Построй график движения

Для построения графика движения представим себе ситуацию: некий объект (например, велосипедист) выезжает из дома, доезжает до пункта назначения, проводит там некоторое время и возвращается обратно.

Обозначим оси графика:

• Ось абсцисс (горизонтальная ось) — это время движения, $t$, в минутах (мин).
• Ось ординат (вертикальная ось) — это расстояние от дома, $S$, в километрах (км).

График будет состоять из трех участков:

1. Участок 1 (движение от дома): Велосипедист выезжает из дома (точка (0, 0)) и едет с постоянной скоростью. За 30 минут он проезжает 8 км. Конечная точка этого участка — (30, 8). Скорость на этом участке:
   $v_1 = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{8 \text{ км}}{30 \text{ мин}} = \frac{8 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$
2. Участок 2 (остановка): Велосипедист делает остановку на 60 минут (с 30-й по 90-ю минуту). Расстояние от дома не меняется, оно по-прежнему составляет 8 км. Этот участок — горизонтальная линия от точки (30, 8) до точки (90, 8). Скорость на этом участке равна нулю:
   $v_2 = 0 \text{ км/ч}$
3. Участок 3 (возвращение домой): Велосипедист едет обратно домой. Обратный путь в 8 км он преодолевает за 40 минут (с 90-й по 130-ю минуту). График идет от точки (90, 8) к точке (130, 0). Скорость на обратном пути была ниже:
   $v_3 = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{8 \text{ км}}{40 \text{ мин}} = \frac{8 \text{ км}}{2/3 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$

Ниже представлен сам график движения.

Ответ: График движения построен и представлен выше, он описывает поездку с одной остановкой и возвращением в исходную точку.

сочини по этому графику рассказ

В одно прекрасное субботнее утро школьник по имени Саша решил навестить свою бабушку, которая жила в соседнем поселке на расстоянии 8 километров. Он проверил свой велосипед, взял с собой гостинцы и отправился в путь.

Саша выехал ровно в 9:00. Дорога была ровная, светило солнце, и он бодро крутил педали. Он ехал с постоянной скоростью и уже через 30 минут был у калитки бабушкиного дома. Бабушка очень обрадовалась внуку. Она напоила его чаем с пирожками, и они долго разговаривали. Саша пробыл в гостях ровно час. Все это время он отдыхал и никуда не ехал, поэтому на графике его расстояние от дома не менялось.

В 10:30 (то есть через 90 минут после выезда) Саша попрощался с бабушкой и поехал домой. После сытного угощения и приятной беседы он чувствовал себя отдохнувшим, но решил не спешить. Он ехал немного медленнее, чем утром, любуясь природой. Поэтому обратная дорога заняла у него 40 минут.

Ровно в 11:10 (через 130 минут после начала путешествия) Саша вернулся домой, довольный своей поездкой и встречей с бабушкой.

Ответ: Рассказ о поездке Саши к бабушке на велосипеде, который в точности соответствует построенному графику движения.

7 БЛИЦтурнир.

a) Сад прямоугольной формы имеет ширину $x$ м, что составляет $\frac{2}{3}$ его длины. Найди длину изгороди вокруг сада.

б) Огород прямоугольной формы имеет длину $y$ м, а ширина составляет $45\%$ его длины. Чему равна площадь огорода?

в) Площадь прямоугольника равна $c$ м$^2$, а длина $-$ $d$ м. Найди его периметр.

а) Пусть ширина сада равна $W$, а длина — $L$. По условию, $W = x$ м. Также известно, что ширина составляет $\frac{2}{3}$ длины, то есть $W = \frac{2}{3}L$.
Подставим известное значение ширины: $x = \frac{2}{3}L$.
Выразим длину $L$ через $x$: $L = x \div \frac{2}{3} = x \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}x$ м.
Длина изгороди вокруг сада — это его периметр $P$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(W + L)$.
Подставим выражения для ширины и длины:
$P = 2(x + \frac{3}{2}x)$
Сложим значения в скобках: $x + \frac{3}{2}x = \frac{2}{2}x + \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}x$.
Теперь найдем периметр: $P = 2 \times (\frac{5}{2}x) = 5x$ м.

Ответ: $5x$ м.

б) Длина огорода равна $y$ м. Ширина составляет 45% от его длины.
Сначала найдем ширину. Для этого переведем проценты в десятичную дробь: $45\% = 0,45$.
Ширина огорода равна $0,45 \times y = 0,45y$ м.
Площадь огорода $S$ равна произведению его длины на ширину: $S = \text{длина} \times \text{ширина}$.
Подставим известные значения:
$S = y \times 0,45y = 0,45y^2$ м².

Ответ: $0,45y^2$ м².

в) Площадь прямоугольника $S$ равна $c$ м², а его длина $L$ равна $d$ м.
Формула площади прямоугольника: $S = L \times W$, где $W$ — ширина.
Подставим известные значения: $c = d \times W$.
Из этого уравнения выразим ширину $W$: $W = \frac{c}{d}$ м.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(L + W)$.
Подставим известные и найденные значения для длины и ширины:
$P = 2(d + \frac{c}{d})$ м.

Ответ: $2(d + \frac{c}{d})$ м.

8 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 5 дм, ширина на 8 см меньше, высота составляет $\frac{5}{7}$ ширины. Найди объем и площадь поверхности этого параллелепипеда.

Для решения задачи сначала необходимо найти все три измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего перевести всё в сантиметры (см).

1. Длина (a). По условию она равна 5 дм. Переведем в сантиметры, зная, что 1 дм = 10 см:
$a = 5 \text{ дм} = 5 \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$.

2. Ширина (b). Она на 8 см меньше длины:
$b = 50 \text{ см} - 8 \text{ см} = 42 \text{ см}$.

3. Высота (c). Она составляет $\frac{5}{7}$ от ширины:
$c = \frac{5}{7} \cdot 42 \text{ см} = \frac{5 \cdot 42}{7} \text{ см} = 5 \cdot 6 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Итак, мы имеем прямоугольный параллелепипед с размерами 50 см, 42 см и 30 см. Теперь можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трех его измерений по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$
Подставим наши значения:
$V = 50 \text{ см} \cdot 42 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 63000 \text{ см}^3$.

Так как $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$, объем также можно выразить в кубических дециметрах:
$63000 \text{ см}^3 = 63 \text{ дм}^3$.

Ответ: объем параллелепипеда равен $63000 \text{ см}^3$ (или $63 \text{ дм}^3$).

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. Она вычисляется по формуле:
$S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$
Подставим наши значения:
$S = 2 \cdot (50 \cdot 42 + 42 \cdot 30 + 50 \cdot 30)$
$S = 2 \cdot (2100 + 1260 + 1500)$
$S = 2 \cdot (4860)$
$S = 9720 \text{ см}^2$.

Так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$, площадь также можно выразить в квадратных дециметрах:
$9720 \text{ см}^2 = 97,2 \text{ дм}^2$.

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда равна $9720 \text{ см}^2$ (или $97,2 \text{ дм}^2$).

9 a) $954 \cdot 36789 - 954 \cdot 28749 - 2877790 : (14038 : 1 + 0);$

б) $(360 \cdot 8670 - 8062 \cdot 360 - 100184) : 148 - 4373096 : 6007.$

а) $954 \cdot 36789 - 954 \cdot 28749 - 2877790 : (14038 : 1 + 0)$

Для решения этого примера будем следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполним действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь — вычитание.

1. Вычислим значение выражения в скобках:
$14038 : 1 = 14038$
$14038 + 0 = 14038$

2. Исходное выражение теперь выглядит так: $954 \cdot 36789 - 954 \cdot 28749 - 2877790 : 14038$.
В первых двух слагаемых есть общий множитель 954. Вынесем его за скобку, чтобы упростить вычисления:
$954 \cdot (36789 - 28749) = 954 \cdot 8040 = 7670160$

3. Теперь выполним деление:
$2877790 : 14038 = 205$

4. Подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание:
$7670160 - 205 = 7669955$

Ответ: 7669955

б) $(360 \cdot 8670 - 8062 \cdot 360 - 100184) : 148 - 4373096 : 6007$

Решим пример по действиям. Сначала выполним все операции в скобках, затем деление и в конце вычитание.

1. Вычислим значение выражения в скобках: $(360 \cdot 8670 - 8062 \cdot 360 - 100184)$.
Вынесем общий множитель 360 за скобки: $360 \cdot (8670 - 8062) - 100184$.
Вычислим разность в скобках: $8670 - 8062 = 608$.
Теперь умножим: $360 \cdot 608 = 218880$.
Завершим вычисление в скобках: $218880 - 100184 = 118696$.

2. Теперь выражение имеет вид: $118696 : 148 - 4373096 : 6007$.
Выполним деление слева направо.
Первое деление: $118696 : 148 = 802$.
Второе деление: $4373096 : 6007 = 728$.

3. Выполним последнее действие — вычитание:
$802 - 728 = 74$

Ответ: 74

10 Муравьишка был в гостях. Туда он шёл пешком, а обратно ехал. Первую половину пути он ехал на Гусенице в 2 раза медленнее, чем шёл, а вторую половину ехал на Кузнечике в 5 раз быстрее, чем шёл. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше: туда или обратно?

Чтобы определить, на какой путь Муравьишка затратил меньше времени, давайте сравним время, потраченное на дорогу "туда" и "обратно".

Введем обозначения:

• Пусть $S$ – это всё расстояние до гостей.
• Пусть $v$ – это скорость Муравьишки, когда он идёт пешком.

Время на путь "туда"

Весь путь $S$ Муравьишка прошел пешком со скоростью $v$. Время ($t_{туда}$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Следовательно, время на путь "туда" равно:

$t_{туда} = \frac{S}{v}$

Время на путь "обратно"

Обратный путь состоит из двух равных частей по $\frac{S}{2}$ каждая.

1. Первую половину пути он ехал на Гусенице в 2 раза медленнее, чем шёл. Значит, скорость на этом участке была $v_1 = \frac{v}{2}$.

Время, затраченное на первую половину пути:

$t_1 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S/2}{v/2} = \frac{S}{v}$

2. Вторую половину пути он ехал на Кузнечике в 5 раз быстрее, чем шёл. Значит, скорость на этом участке была $v_2 = 5v$.

Время, затраченное на вторую половину пути:

$t_2 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{S/2}{5v} = \frac{S}{10v}$

Общее время на обратный путь ($t_{обратно}$) равно сумме времени на каждом участке:

$t_{обратно} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{10v}$

Приведя к общему знаменателю, получаем:

$t_{обратно} = \frac{10S}{10v} + \frac{S}{10v} = \frac{11S}{10v} = 1,1 \cdot \frac{S}{v}$

Сравнение времени

Теперь сравним время, затраченное на путь "туда" и "обратно":

• Время "туда": $t_{туда} = \frac{S}{v}$
• Время "обратно": $t_{обратно} = 1,1 \cdot \frac{S}{v}$

Поскольку $1 < 1,1$, то $\frac{S}{v} < 1,1 \cdot \frac{S}{v}$.

Значит, $t_{туда} < t_{обратно}$.

Таким образом, Муравьишка затратил меньше времени на путь "туда", когда шёл пешком.

Ответ: Муравьишка затратил времени меньше на путь "туда".