Номер 13, страница 84, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Петерсон

Урок 24. Скорость сближения и скорость удаления. Часть 2 - номер 13, страница 84.

Условие.

13 Старинная задача.

Дано 15 спичек. Каждый из двух игроков по очереди берёт либо одну, либо две, либо три спички. Проигрывает тот, кому досталась последняя спичка. Как играть, чтобы не проиграть, если у тебя первый ход?

Решение.

Решение 2.

Это задача на выигрышную стратегию в теории игр. Цель — не взять последнюю спичку, то есть заставить соперника сделать последний ход. Стратегия строится на поиске "проигрышных" позиций, то есть такого количества спичек, которое невыгодно иметь к началу своего хода.

Анализ проигрышных позиций

Рассмотрим игру с конца. Проигрышная позиция — это та, с которой любой ход ведет к выигрышной позиции для соперника.

Если на столе 1 спичка, игрок, чей ход, должен ее взять и проигрывает. Значит, 1 — это проигрышная позиция.

Если на столе 2, 3 или 4 спички, игрок может взять 1, 2 или 3 спички соответственно, чтобы оставить сопернику 1 спичку. Таким образом, 2, 3 и 4 — это выигрышные позиции, так как с них можно попасть в проигрышную для оппонента.

Если на столе 5 спичек, игрок может взять 1, 2 или 3 спички, оставив 4, 3 или 2 спички. Все эти позиции, как мы выяснили, выигрышные для следующего игрока (нашего соперника). Значит, 5 — это проигрышная позиция.

Продолжая эту логику, мы можем найти следующую проигрышную позицию. Это будет 9 спичек. Если игрок сталкивается с 9 спичками, то, взяв 1, 2 или 3, он оставит 8, 7 или 6. Из любого этого количества второй игрок может оставить 5 спичек, снова ставя первого в проигрышное положение.

Формулировка выигрышной стратегии

Проигрышные позиции образуют последовательность: 1, 5, 9, 13, 17... Это числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Их можно описать формулой $4k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы после каждого своего хода оставлять на столе количество спичек, соответствующее этой формуле.

Применение стратегии для первого игрока

Изначально на столе 15 спичек. Мы ходим первыми. Нам нужно своим ходом оставить на столе "проигрышное" число спичек. Ближайшее такое число, меньшее 15, — это 13 ($13 = 4 \times 3 + 1$).

Первый ход: Чтобы из 15 спичек осталось 13, мы должны взять $15 - 13 = 2$ спички.

Последующие ходы: После того как мы оставили 13 спичек, мы должны поддерживать эту стратегию. Заметим, что в сумме за один круг (ход соперника + наш ход) мы можем забирать 4 спички. Если соперник берет $k$ спичек (где $k$ может быть 1, 2 или 3), мы должны взять $4-k$ спичек. Например, если он взял 1, мы берем 3; если он взял 2, мы берем 2; если он взял 3, мы берем 1. Таким образом, мы каждый раз будем уменьшать количество спичек на 4, сохраняя "проигрышную" позицию для соперника:

1. Мы оставляем 13 спичек.

2. Соперник берет $k_1$ спичек, мы берем $4-k_1$. На столе остается $13 - 4 = 9$ спичек.

3. Соперник берет $k_2$ спичек, мы берем $4-k_2$. На столе остается $9 - 4 = 5$ спичек.

4. Соперник берет $k_3$ спичек, мы берем $4-k_3$. На столе остается $5 - 4 = 1$ спичка.

В конце концов, соперник окажется в ситуации, когда на столе 1 спичка, которую он будет вынужден забрать, что приведет к его проигрышу.

Ответ: Чтобы не проиграть (то есть выиграть), игрок, который ходит первым, должен взять 2 спички. На каждый последующий ход соперника, если тот берет $k$ спичек (1, 2 или 3), первый игрок должен брать $4-k$ спичек (3, 2 или 1 соответственно). Придерживаясь этой стратегии, он гарантированно победит.