Страница 76, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

5 Мотоциклист проехал 3 км по проселочной дороге, что составило 1% всего его дневного пути. Остаток пути он ехал по шоссе. Сколько километров ехал мотоциклист по шоссе?

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1:

1. Найдем общую длину всего дневного пути. Из условия известно, что 3 км, которые мотоциклист проехал по проселочной дороге, составляют 1% всего пути. Чтобы найти весь путь, то есть 100%, нужно расстояние, соответствующее одному проценту, умножить на 100.

$3 \text{ км} \cdot 100 = 300 \text{ км}$

Итак, общая протяженность всего дневного пути составляет 300 км.

2. Теперь определим, какое расстояние мотоциклист проехал по шоссе. Для этого вычтем из общей длины пути ту часть, которую он проехал по проселочной дороге.

$300 \text{ км} - 3 \text{ км} = 297 \text{ км}$

Способ 2:

1. Определим, какую часть пути в процентах мотоциклист ехал по шоссе. Весь путь составляет 100%. По проселочной дороге он проехал 1%. Следовательно, по шоссе он ехал:

$100\% - 1\% = 99\%$

2. Мы знаем, что 1% пути равен 3 км. Чтобы найти расстояние, которое соответствует 99%, нужно умножить расстояние для одного процента на 99.

$3 \text{ км} \cdot 99 = 297 \text{ км}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 297 км.

6 Единица разделена на 24 равные части. Сколько таких частей содержит $\frac{1}{24}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ доля? Отметь эти числа на числовом луче.

Поскольку единица разделена на 24 равные части, то каждая такая часть составляет $ \frac{1}{24} $ от единицы. Чтобы найти, сколько таких частей содержит каждая из указанных долей (дробей), необходимо привести каждую дробь к знаменателю 24. Числитель полученной дроби и будет искомым количеством частей.

$ \frac{1}{24} $
Эта дробь уже имеет знаменатель 24. Числитель равен 1.
Ответ: 1 часть.

$ \frac{1}{12} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 2: $ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2}{24} $.
Ответ: 2 части.

$ \frac{1}{8} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24} $.
Ответ: 3 части.

$ \frac{1}{6} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24} $.
Ответ: 4 части.

$ \frac{1}{4} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 6: $ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24} $.
Ответ: 6 частей.

$ \frac{1}{3} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 8: $ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24} $.
Ответ: 8 частей.

$ \frac{1}{2} $
Приведем дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на 12: $ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24} $.
Ответ: 12 частей.

Отметим эти числа на числовом луче:

Числовой луч от 0 до 1 разделен на 24 равных деления. Каждое деление соответствует $ \frac{1}{24} $. Отметим дроби в соответствии с вычисленным количеством частей:

• $ \frac{1}{24} $ — на 1-м делении.
• $ \frac{1}{12} $ — на 2-м делении.
• $ \frac{1}{8} $ — на 3-м делении.
• $ \frac{1}{6} $ — на 4-м делении.
• $ \frac{1}{4} $ — на 6-м делении.
• $ \frac{1}{3} $ — на 8-м делении.
• $ \frac{1}{2} $ — на 12-м делении.

Ответ: на числовом луче отмечены точки, соответствующие долям $ \frac{1}{24}, \frac{1}{12}, \frac{1}{8}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} $.

7 Расположи доли по возрастанию: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{75}$, $1\%$, $\frac{1}{120}$.

Для того чтобы расположить данные доли в порядке возрастания, необходимо привести их все к одному виду. Удобнее всего представить их в виде обыкновенных дробей. В заданном ряду есть значение, выраженное в процентах: $1\%$.

По определению, один процент – это одна сотая часть. Следовательно, мы можем записать $1\%$ в виде дроби: $1\% = \frac{1}{100}$.

Теперь наш ряд долей выглядит следующим образом: $\frac{1}{9}, \frac{1}{5}, \frac{1}{75}, \frac{1}{100}, \frac{1}{120}$.

Все эти дроби имеют одинаковый числитель, равный 1. При сравнении дробей с одинаковыми числителями, меньшей будет та дробь, у которой знаменатель больше. И наоборот, чем меньше знаменатель, тем больше сама дробь.

Сравним знаменатели наших дробей: 9, 5, 75, 100, 120. Расположим их в порядке возрастания: $5 < 9 < 75 < 100 < 120$.

Так как чем больше знаменатель, тем меньше дробь, то для того, чтобы расположить дроби по возрастанию (от наименьшей к наибольшей), мы должны расположить их в порядке возрастания их знаменателей, но в обратном порядке. То есть, от дроби с самым большим знаменателем к дроби с самым маленьким знаменателем: $\frac{1}{120} < \frac{1}{100} < \frac{1}{75} < \frac{1}{9} < \frac{1}{5}$.

Теперь вернемся к исходной записи, заменив $\frac{1}{100}$ обратно на $1\%$.

Ответ: $\frac{1}{120}, 1\%, \frac{1}{75}, \frac{1}{9}, \frac{1}{5}$.

8 Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:

a) $ \frac{1}{8} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{4} $

б) $ \frac{1}{12} < \frac{1}{y} \le \frac{1}{7} $

9 Составь программу действий и вычисли:

а)

Данное двойное неравенство $ \frac{1}{8} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{4} $ читается так: «дробь одна икс-ая больше или равна одной восьмой и меньше одной четвертой». Чтобы найти множество натуральных решений для $x$, нужно учесть, что $x$ является натуральным числом, то есть $x > 0$.

Для положительных чисел существует правило: чем больше знаменатель дроби (при одинаковом числителе, равном 1), тем меньше сама дробь. Следовательно, если мы «перевернем» все дроби в неравенстве, знаки неравенства изменятся на противоположные:

Из $ \frac{1}{8} \le \frac{1}{x} $ следует, что $ 8 \ge x $ (или $ x \le 8 $).

Из $ \frac{1}{x} < \frac{1}{4} $ следует, что $ x > 4 $.

Объединив эти два условия, получаем новое двойное неравенство для $x$: $ 4 < x \le 8 $.

Теперь найдем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые строго больше 4, но не больше 8. К ним относятся: 5, 6, 7, 8.

Ответ: {5, 6, 7, 8}

б)

Данное двойное неравенство $ \frac{1}{12} < \frac{1}{y} \le \frac{1}{7} $ читается как: «дробь одна игрековая больше одной двенадцатой и меньше или равна одной седьмой». Нам нужно найти все натуральные числа $y$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Поскольку $y$ – натуральное число, оно положительное. Применяя то же свойство, что и в предыдущем пункте, «переворачиваем» дроби и меняем знаки неравенства на противоположные:

Из $ \frac{1}{12} < \frac{1}{y} $ следует, что $ 12 > y $ (или $ y < 12 $).

Из $ \frac{1}{y} \le \frac{1}{7} $ следует, что $ y \ge 7 $.

Объединяем полученные условия в одно двойное неравенство для $y$: $ 7 \le y < 12 $.

Найдем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые не меньше 7, но строго меньше 12. К ним относятся: 7, 8, 9, 10, 11.

Ответ: {7, 8, 9, 10, 11}

Составь программу действий и вычисли:

a) $ (492345 - 264174) \div 57 + 26 \cdot 693 - 88592 \div 98; $

б) $ 307 \cdot (30405 - 29596) + 765000 \div (317 + 533) - 226896 \div 87. $

а) $(492345 - 264174) : 57 + 26 \cdot 693 - 88592 : 98$

Составим программу действий в соответствии с правилами порядка выполнения арифметических операций:

1. Выполняем действие в скобках (вычитание): $492345 - 264174$.
2. Выполняем деление и умножение слева направо: сначала результат действия 1 делим на $57$.
3. Затем умножаем $26$ на $693$.
4. И делим $88592$ на $98$.
5. Выполняем сложение и вычитание слева направо: к результату действия 2 прибавляем результат действия 3.
6. Из результата действия 5 вычитаем результат действия 4.

Выполним вычисления по действиям:

1. $492345 - 264174 = 228171$
2. $228171 : 57 = 4003$
3. $26 \cdot 693 = 18018$
4. $88592 : 98 = 904$
5. $4003 + 18018 = 22021$
6. $22021 - 904 = 21117$

Таким образом, $(492345 - 264174) : 57 + 26 \cdot 693 - 88592 : 98 = 228171 : 57 + 18018 - 904 = 4003 + 18018 - 904 = 22021 - 904 = 21117$.

Ответ: $21117$

б) $307 \cdot (30405 - 29596) + 765000 : (317 + 533) - 226896 : 87$

Составим программу действий в соответствии с правилами порядка выполнения арифметических операций:

1. Выполняем действие в первых скобках (вычитание): $30405 - 29596$.
2. Выполняем действие во вторых скобках (сложение): $317 + 533$.
3. Выполняем умножение и деление слева направо: $307$ умножаем на результат действия 1.
4. Затем $765000$ делим на результат действия 2.
5. И делим $226896$ на $87$.
6. Выполняем сложение и вычитание слева направо: к результату действия 3 прибавляем результат действия 4.
7. Из результата действия 6 вычитаем результат действия 5.

Выполним вычисления по действиям:

1. $30405 - 29596 = 809$
2. $317 + 533 = 850$
3. $307 \cdot 809 = 248363$
4. $765000 : 850 = 900$
5. $226896 : 87 = 2608$
6. $248363 + 900 = 249263$
7. $249263 - 2608 = 246655$

Таким образом, $307 \cdot (30405 - 29596) + 765000 : (317 + 533) - 226896 : 87 = 307 \cdot 809 + 765000 : 850 - 2608 = 248363 + 900 - 2608 = 249263 - 2608 = 246655$.

Ответ: $246655$

10 На одной планете живут 40 колиордов. 12 из них вечером пьют чай, 28 — смотрят телевизор, а 5 не делают ни того ни другого, так как рано ложатся спать. Сколько колиордов пьют по вечерам чай, смотря телевизор?

К

Ч

Т

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть общее число колиордов — это универсальное множество $K$.

Введем обозначения для подмножеств:

• $K$ — общее число колиордов, $|K| = 40$.
• $Ч$ — множество колиордов, которые пьют чай, $|Ч| = 12$.
• $Т$ — множество колиордов, которые смотрят телевизор, $|Т| = 28$.
• $Н$ — множество колиордов, которые не делают ни того, ни другого, $|Н| = 5$.

Нам нужно найти, сколько колиордов делают и то, и другое, то есть найти размер пересечения множеств $Ч$ и $Т$, который обозначается как $|Ч \cap Т|$.

1. Найдём количество колиордов, которые занимаются хотя бы одним из дел (пьют чай или смотрят телевизор).

Для этого нужно из общего числа колиордов вычесть тех, кто не делает ничего. Это число будет соответствовать размеру объединения множеств $Ч$ и $Т$, то есть $|Ч \cup Т|$.

$|Ч \cup Т| = |K| - |Н| = 40 - 5 = 35$

Итак, 35 колиордов либо пьют чай, либо смотрят телевизор, либо делают и то, и другое.

2. Применим формулу включений-исключений.

Формула для двух множеств гласит: количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом множестве минус количество элементов в их пересечении.

$|Ч \cup Т| = |Ч| + |Т| - |Ч \cap Т|$

3. Выразим из формулы искомую величину и произведём расчёт.

Нам нужно найти $|Ч \cap Т|$. Преобразуем формулу:

$|Ч \cap Т| = |Ч| + |Т| - |Ч \cup Т|$

Теперь подставим известные значения:

$|Ч \cap Т| = 12 + 28 - 35$

$|Ч \cap Т| = 40 - 35$

$|Ч \cap Т| = 5$

Таким образом, 5 колиордов пьют по вечерам чай и одновременно смотрят телевизор.

Ответ: 5

10 Прочитай двойное неравенство: $45 < x \le 72$. Найди множество A решений этого неравенства, кратных 8, и множество B его решений, кратных 9. Затем найди объединение и пересечение множеств A и B и построй для них диаграмму Эйлера–Венна.

Двойное неравенство $45 < x \le 72$ читается так: «икс больше сорока пяти и меньше либо равен семидесяти двум».

Найдем множество А решений этого неравенства, кратных 8, и множество В его решений, кратных 9

Сначала найдем все целые числа, которые удовлетворяют неравенству $45 < x \le 72$. Это числа от 46 до 72 включительно.

1. Множество A состоит из чисел на этом промежутке, которые делятся на 8 без остатка.
$8 \times 6 = 48$
$8 \times 7 = 56$
$8 \times 8 = 64$
$8 \times 9 = 72$
Таким образом, множество A = {48, 56, 64, 72}.

2. Множество B состоит из чисел на этом промежутке, которые делятся на 9 без остатка.
$9 \times 5 = 45$ (не удовлетворяет условию $x > 45$)
$9 \times 6 = 54$
$9 \times 7 = 63$
$9 \times 8 = 72$
Таким образом, множество B = {54, 63, 72}.

Ответ: $A = \{48, 56, 64, 72\}$, $B = \{54, 63, 72\}$.

Найдем объединение и пересечение множеств А и В

1. Объединение множеств ($A \cup B$) включает в себя все элементы, которые содержатся хотя бы в одном из множеств A или B.
$A \cup B = \{48, 56, 64, 72\} \cup \{54, 63, 72\} = \{48, 54, 56, 63, 64, 72\}$

2. Пересечение множеств ($A \cap B$) включает в себя только те элементы, которые являются общими для обоих множеств A и B.
$A \cap B = \{48, 56, 64, 72\} \cap \{54, 63, 72\} = \{72\}$

Ответ: Объединение $A \cup B = \{48, 54, 56, 63, 64, 72\}$, пересечение $A \cap B = \{72\}$.

Построим для них диаграмму Эйлера-Венна

Диаграмма состоит из двух пересекающихся кругов, представляющих множества A и B. В общей области (пересечении) находится элемент {72}. В части круга A, не входящей в пересечение, находятся элементы {48, 56, 64}. В части круга B, не входящей в пересечение, находятся элементы {54, 63}.

11 Сделай оценку выражений:

$217 + 345$; $936 - 549$; $853 \cdot 47$; $2952 : 36$;

$3564 + 5207$; $8718 - 4352$; $5394 \cdot 736$; $36924 : 68$.

217 + 345

Для оценки этого выражения округлим слагаемые до ближайших десятков. Число 217 округлим до 220, а число 345 — до 350. Теперь сложим полученные значения:

$220 + 350 = 570$

Приблизительный результат (оценка) равен 570. Теперь найдем точное значение:

$217 + 345 = 562$

Ответ: 562

936 – 549

Для оценки разности округлим уменьшаемое и вычитаемое до ближайших десятков. 936 округляется до 940, а 549 — до 550. Выполним вычитание с округленными числами:

$940 - 550 = 390$

Приблизительный результат равен 390. Точное значение выражения:

$936 - 549 = 387$

Ответ: 387

853 ⋅ 47

Чтобы оценить произведение, округлим множители до круглых чисел для упрощения вычисления. Округлим 853 до 800, а 47 до 50.

$800 \cdot 50 = 40000$

Приблизительное значение произведения — 40 000. Найдем точное значение:

$853 \cdot 47 = 40191$

Ответ: 40191

2952 : 36

Для оценки частного округлим делимое и делитель до удобных для деления чисел. Округлим 2952 до 3000, а 36 до 40.

$3000 : 40 = 300 : 4 = 75$

Наша оценка — примерно 75. Теперь найдем точное частное:

$2952 : 36 = 82$

Ответ: 82

3564 + 5207

Для оценки суммы округлим слагаемые до ближайших сотен. 3564 округляем до 3600, а 5207 — до 5200.

$3600 + 5200 = 8800$

Приблизительное значение суммы — 8800. Точное значение:

$3564 + 5207 = 8771$

Ответ: 8771

8718 – 4352

Для оценки разности округлим числа до ближайших сотен. 8718 округляем до 8700, а 4352 — до 4400.

$8700 - 4400 = 4300$

Оценка разности составляет 4300. Точное значение:

$8718 - 4352 = 4366$

Ответ: 4366

5394 ⋅ 736

Для оценки этого произведения округлим множители до ближайших сотен. 5394 округлим до 5400, а 736 — до 700.

$5400 \cdot 700 = 3780000$

Приблизительное значение — 3 780 000. Теперь найдем точное произведение:

$5394 \cdot 736 = 3970064$

Ответ: 3970064

36924 : 68

Для оценки частного используем округление до "удобных" чисел. Округлим 68 до 70. Делимое 36924 близко к 35000, которое легко делится на 70.

$35000 : 70 = 3500 : 7 = 500$

Приблизительное значение частного — 500. Точное значение:

$36924 : 68 = 543$

Ответ: 543

12 Составь программу действий и вычисли:

а) $64 \cdot 0 : 4 - (28 - 28) \cdot 1 + 36 : 36 \cdot 15 =$

б) $56 \cdot 1 - (8 \cdot 2 - 16 : 1) \cdot (593216 - 7564) =$

а) $64 \cdot 0 : 4 - (28 - 28) \cdot 1 + 36 : 36 \cdot 15$

Для решения этого примера необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь – сложение и вычитание (слева направо).

Программа действий:

1. Выполним действие в скобках:
$28 - 28 = 0$

2. Подставим результат в выражение: $64 \cdot 0 : 4 - 0 \cdot 1 + 36 : 36 \cdot 15$.

3. Выполним все действия умножения и деления по порядку, слева направо:
$64 \cdot 0 = 0$
$0 : 4 = 0$
$0 \cdot 1 = 0$
$36 : 36 = 1$
$1 \cdot 15 = 15$

4. Подставим полученные значения в выражение. Теперь оно состоит только из сложения и вычитания:
$0 - 0 + 15$

5. Выполним оставшиеся действия слева направо:
$0 - 0 = 0$
$0 + 15 = 15$

Ответ: 15

б) $56 \cdot 1 - (8 \cdot 2 - 16 : 1) \cdot (593 216 - 7564)$

Соблюдаем правильный порядок действий: сначала вычисления в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

Программа действий:

1. Выполним действия в первых скобках $(8 \cdot 2 - 16 : 1)$. Внутри них сначала выполняем умножение и деление:
$8 \cdot 2 = 16$
$16 : 1 = 16$
Затем выполняем вычитание:
$16 - 16 = 0$

2. Выполним действие во вторых скобках:
$593 216 - 7564 = 585 652$

3. Подставим результаты вычислений в скобках в исходное выражение:
$56 \cdot 1 - 0 \cdot 585 652$

4. Выполним умножение:
$56 \cdot 1 = 56$
$0 \cdot 585 652 = 0$

5. Выполним вычитание:
$56 - 0 = 56$

Ответ: 56

13 Числовой кроссворд.

По вертикали:

a) $46\,760 : 56$

b) $10\,500\,000 - 6\,374\,264$

c) $230\,291\,465 + 95\,723\,915$

d) $52\,282\,200 - 46\,254\,895$

e) $5\,411\,840 : 8960$

По горизонтали:

f) $296\,380 : 406$

g) $520 \cdot 6090$

h) $37080 \cdot 8509$

k) $732 \cdot 7300$

m) $496\,296 : 549$

МУХА

X A

a) Решим пример: $46 760 : 56$.
$46 760 : 56 = 835$.
Ответ: 835

b) Решим пример: $10 500 000 - 6 374 264$.
$10 500 000 - 6 374 264 = 4 125 736$.
Ответ: 4125736

c) Решим пример: $230 291 465 + 95 723 915$.
$230 291 465 + 95 723 915 = 326 015 380$.
Ответ: 326015380

d) Решим пример: $52 282 200 - 46 254 895$.
$52 282 200 - 46 254 895 = 6 027 305$.
Ответ: 6027305

e) Решим пример: $5 411 840 : 8960$.
$5 411 840 : 8960 = 604$.
Ответ: 604

f) Решим пример: $296 380 : 406$.
$296 380 : 406 = 730$.
Ответ: 730

g) Решим пример: $520 \cdot 6090$.
$520 \cdot 6090 = 3 166 800$.
Ответ: 3166800

h) Решим пример: $37080 \cdot 8509$.
$37080 \cdot 8509 = 315 513 720$.
Ответ: 315513720

k) Решим пример: $732 \cdot 7300$.
$732 \cdot 7300 = 5 343 600$.
Ответ: 5343600

m) Решим пример: $496 296 : 549$.
$496 296 : 549 = 904$.
Ответ: 904

14* Вместо букв вставь цифры от 1 до 8, если $A = 2$. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

В условии задачи содержится противоречие: необходимо заменить 9 различных букв (А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И) цифрами, однако для замены предложено только 8 цифр (от 1 до 8). При этом разным буквам должны соответствовать разные цифры, что невозможно, так как количество букв превышает количество доступных цифр. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи.

Наиболее логичным предположением является то, что одна из букв повторяется. Если предположить, что буква 'З' является опечаткой и на её месте должна быть буква 'А', то количество уникальных букв становится равным 8, что соответствует количеству доступных цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и позволяет найти решение. При таком условии, а также с учётом того, что по заданию $А = 2$, ребус можно представить в виде системы уравнений:

$А + Г = Ж \Rightarrow 2 + Г = Ж$

$Б - Д = А \Rightarrow Б - Д = 2$

$В + Е = И$

Для решения необходимо присвоить оставшимся семи буквам (Б, В, Г, Д, Е, Ж, И) уникальные цифры из набора {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Из первых двух уравнений следует, что нам нужно найти две непересекающиеся пары цифр с разницей 2. Из доступного набора цифр можно составить следующие пары: (1, 3), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8). Выберем, к примеру, комбинацию из двух непересекающихся пар: (4, 6) и (3, 5).

Пусть пара (Г, Ж) соответствует цифрам (4, 6), тогда $Г=4$ и $Ж=6$ (удовлетворяет уравнению $2+4=6$).

Пусть пара (Д, Б) соответствует цифрам (3, 5), тогда $Д=3$ и $Б=5$ (удовлетворяет уравнению $5-3=2$).

На данный момент использованы цифры: $А=2, Г=4, Ж=6, Д=3, Б=5$. Оставшиеся неиспользованные цифры {1, 7, 8} должны соответствовать буквам В, Е, И в третьем уравнении $В + Е = И$. Единственная комбинация, которая удовлетворяет этому равенству, это $1 + 7 = 8$.

Таким образом, мы нашли полное решение, в котором все условия выполнены. Одно из возможных решений представлено ниже.

Ответ: А = 2, Б = 5, В = 1, Г = 4, Д = 3, Е = 7, Ж = 6, З = 2, И = 8. (Также возможен вариант, где В = 7, а Е = 1).

6 Выполни действия и сравни результаты. Что ты замечаешь?

a) $1011 \cdot 26;$

$1011 \cdot 206;$

$1011 \cdot 2006;$

б) $1134 : 21;$

$10584 : 21;$

$105084 : 21;$

в) $9500 : 19;$

$9500 : 190;$

$9500 : 1900.$

7 а) Как изменится сумма, если первое слагаемое увеличить на 12, а второе уменьшить на 8?

б) Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на 3, а вычитаемое увеличить на 5?

в) Как изменится произведение, если первый множитель увеличить в 6 раз, а второй уменьшить в 3 раза?

г) Как изменится частное, если делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 4 раза?

а) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$, где $a$ – первое слагаемое, а $b$ – второе слагаемое. После изменений первое слагаемое станет $a' = a + 12$, а второе слагаемое станет $b' = b - 8$. Новая сумма $S'$ будет равна: $S' = a' + b' = (a + 12) + (b - 8) = a + b + 12 - 8 = (a + b) + 4 = S + 4$. Таким образом, сумма увеличится на 4.
Ответ: Сумма увеличится на 4.

б) Пусть первоначальная разность равна $D = a - b$, где $a$ – уменьшаемое, а $b$ – вычитаемое. После изменений уменьшаемое станет $a' = a - 3$, а вычитаемое станет $b' = b + 5$. Новая разность $D'$ будет равна: $D' = a' - b' = (a - 3) - (b + 5) = a - 3 - b - 5 = (a - b) - 8 = D - 8$. Таким образом, разность уменьшится на 8.
Ответ: Разность уменьшится на 8.

в) Пусть первоначальное произведение равно $P = a \cdot b$, где $a$ – первый множитель, а $b$ – второй множитель. После изменений первый множитель станет $a' = a \cdot 6$, а второй множитель станет $b' = b \div 3$. Новое произведение $P'$ будет равно: $P' = a' \cdot b' = (a \cdot 6) \cdot (b \div 3) = (a \cdot b) \cdot (6 \div 3) = P \cdot 2$. Таким образом, произведение увеличится в 2 раза.
Ответ: Произведение увеличится в 2 раза.

г) Пусть первоначальное частное равно $Q = a \div b$, где $a$ – делимое, а $b$ – делитель. После изменений делимое станет $a' = a \cdot 8$, а делитель станет $b' = b \div 4$. Новое частное $Q'$ будет равно: $Q' = a' \div b' = (a \cdot 8) \div (b \div 4) = (a \cdot 8) \cdot (4 \div b) = (a \div b) \cdot (8 \cdot 4) = Q \cdot 32$. Таким образом, частное увеличится в 32 раза.
Ответ: Частное увеличится в 32 раза.

8 Сравни выражения ($k \neq 0$):

$a + 45$ $98 + a$; $17 \cdot d$ $d \cdot 71$; $a - (b + c)$ $a - b + c$;

$b - 24$ $b - 59$; $144 : k$ $130 : k$; $(x + y) \cdot 3$ $x + y \cdot 3$;

$195 - c$ $207 - c$; $t : 32$ $t : 15$; $(m + n) : 5$ $m + n : 5$.

9. Найди значение выражения:

$375 \cdot 1040 - (475640 : 506) \cdot 409 + (730889 + 61795) : 873.$

Для нахождения значения выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце — сложение и вычитание слева направо.

Определим последовательность действий:

$375 \overset{3}{\cdot} 1040 \overset{6}{-} (475640 \overset{1}{:} 506) \overset{4}{\cdot} 409 \overset{7}{+} (730889 \overset{2}{+} 61795) \overset{5}{:} 873$

Теперь вычислим значение по шагам:

1) Выполним деление в первых скобках:

$475640 : 506 = 940$

2) Выполним сложение во вторых скобках:

$730889 + 61795 = 792684$

3) Выполним первое умножение:

$375 \cdot 1040 = 390000$

4) Выполним умножение результата первого действия на 409:

$940 \cdot 409 = 384460$

5) Выполним деление результата второго действия на 873:

$792684 : 873 = 908$

6) Подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание:

$390000 - 384460 = 5540$

7) Выполним последнее действие — сложение:

$5540 + 908 = 6448$

Таким образом, исходное выражение равно:

$390000 - 384460 + 908 = 5540 + 908 = 6448$

Ответ: 6448.

10 Отец Тани вышел из дома на работу пешком в 7 ч 40 мин. Он рассчитал, что при скорости $50 \text{ м/мин}$ он придёт вовремя — в 8 ч 30 мин. Но, проходя мимо киоска в 1 км 500 м от дома, папа затратил на покупку интересного журнала 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти на работу без опоздания? Построй график движения Таниного папы от дома до места работы (1 кл. — 5 мин, 1 кл. — 250 м).

С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти на работу без опоздания?

1. Сначала определим общее время, которое отец Тани планировал потратить на дорогу. Он вышел в 7 ч 40 мин и должен был прийти в 8 ч 30 мин.
$t_{общ} = 8 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 7 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 50 \text{ мин}$.

2. Теперь рассчитаем общее расстояние от дома до работы, исходя из его плановой скорости 50 м/мин.
$S_{общ} = v_{план} \times t_{общ} = 50 \text{ м/мин} \times 50 \text{ мин} = 2500 \text{ м}$ (или 2 км 500 м).

3. Вычислим, сколько времени он потратил на путь до киоска. Расстояние до киоска — 1 км 500 м, что равно 1500 м.
$t_1 = S_1 / v_{план} = 1500 \text{ м} / 50 \text{ м/мин} = 30 \text{ мин}$.

4. Папа сделал остановку у киоска на 10 минут. Общее время, которое прошло с момента выхода из дома до момента, когда он продолжил путь после киоска, составляет:
$t_{затрач} = t_1 + t_{остановка} = 30 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 40 \text{ мин}$.

5. Найдем, сколько времени у него осталось, чтобы прийти на работу вовремя.
$t_{ост} = t_{общ} - t_{затрач} = 50 \text{ мин} - 40 \text{ мин} = 10 \text{ мин}$.

6. Определим оставшееся расстояние до работы.
$S_{ост} = S_{общ} - S_1 = 2500 \text{ м} - 1500 \text{ м} = 1000 \text{ м}$.

7. Теперь можно найти скорость, с которой он должен идти оставшийся путь, чтобы успеть.
$v_{новая} = S_{ост} / t_{ост} = 1000 \text{ м} / 10 \text{ мин} = 100 \text{ м/мин}$.

Ответ: Чтобы прийти на работу без опоздания, он должен продолжать путь со скоростью 100 м/мин.

Построй график движения Таниного папы от дома до места работы.

Для построения графика введем систему координат, где по горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывается время $t$ в минутах с момента выхода из дома, а по вертикальной оси (ось ординат) — расстояние $S$ в метрах от дома. Масштаб задан в условии: 1 клетка по горизонтали — 5 мин, 1 клетка по вертикали — 250 м.

График будет состоять из трех отрезков, соединяющих четыре ключевые точки:

1. Начало пути (выход из дома): Время $t=0$ мин, расстояние $S=0$ м. Координаты точки: $(0; 0)$.
2. Прибытие к киоску: Папа шел 30 минут и прошел 1500 м. Координаты точки: $(30; 1500)$. Соединяем эту точку с предыдущей.
3. Окончание остановки: Папа стоял у киоска 10 минут. За это время расстояние от дома не менялось. Время стало $30 + 10 = 40$ мин. Координаты точки: $(40; 1500)$. Соединяем эту точку с предыдущей, получится горизонтальный отрезок.
4. Прибытие на работу: Папа должен прийти на работу через 50 минут после выхода из дома, преодолев общее расстояние 2500 м. Координаты точки: $(50; 2500)$. Соединяем эту точку с предыдущей. Этот отрезок будет круче первого, так как скорость на этом участке выше.

Таким образом, график движения — это ломаная линия, проходящая через точки $(0; 0)$, $(30; 1500)$, $(40; 1500)$ и $(50; 2500)$.

Ответ: График движения представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами $(0; 0)$, $(30; 1500)$, $(40; 1500)$ и $(50; 2500)$ в системе координат "время (мин) — расстояние (м)".

11 Найди закономерность и продолжи ряд на три числа:

a) $8\frac{4}{9}; 9\frac{7}{9}; 11\frac{1}{9}; ...$

б) $18\frac{6}{7}; 16\frac{1}{7}; 13\frac{3}{7}; ...$

а)

Дан ряд чисел: $8\frac{4}{9}; 9\frac{7}{9}; 11\frac{1}{9}; \dots$

Чтобы найти закономерность, определим разность между соседними членами этого ряда.

1. Найдем разность между вторым и первым членами:
$9\frac{7}{9} - 8\frac{4}{9} = (9 - 8) + (\frac{7}{9} - \frac{4}{9}) = 1 + \frac{3}{9} = 1\frac{3}{9}$.

2. Найдем разность между третьим и вторым членами:
$11\frac{1}{9} - 9\frac{7}{9}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{9}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{9}$), займем единицу у целой части:
$11\frac{1}{9} = 10 + 1 + \frac{1}{9} = 10 + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 10\frac{10}{9}$.
$10\frac{10}{9} - 9\frac{7}{9} = (10 - 9) + (\frac{10}{9} - \frac{7}{9}) = 1 + \frac{3}{9} = 1\frac{3}{9}$.

Мы видим, что каждое следующее число получается путем прибавления $1\frac{3}{9}$ к предыдущему. Продолжим ряд на три числа, следуя этой закономерности.

3. Четвертое число:
$11\frac{1}{9} + 1\frac{3}{9} = (11 + 1) + (\frac{1}{9} + \frac{3}{9}) = 12 + \frac{4}{9} = 12\frac{4}{9}$.

4. Пятое число:
$12\frac{4}{9} + 1\frac{3}{9} = (12 + 1) + (\frac{4}{9} + \frac{3}{9}) = 13 + \frac{7}{9} = 13\frac{7}{9}$.

5. Шестое число:
$13\frac{7}{9} + 1\frac{3}{9} = (13 + 1) + (\frac{7}{9} + \frac{3}{9}) = 14 + \frac{10}{9} = 14 + 1\frac{1}{9} = 15\frac{1}{9}$.

Ответ: $12\frac{4}{9}; 13\frac{7}{9}; 15\frac{1}{9}$.

б)

Дан ряд чисел: $18\frac{6}{7}; 16\frac{1}{7}; 13\frac{3}{7}; \dots$

Чтобы найти закономерность, определим разность между соседними членами этого ряда.

1. Найдем, на сколько первое число больше второго:
$18\frac{6}{7} - 16\frac{1}{7} = (18 - 16) + (\frac{6}{7} - \frac{1}{7}) = 2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7}$.

2. Найдем, на сколько второе число больше третьего:
$16\frac{1}{7} - 13\frac{3}{7}$. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{7}$), займем единицу у целой части:
$16\frac{1}{7} = 15 + 1 + \frac{1}{7} = 15 + \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = 15\frac{8}{7}$.
$15\frac{8}{7} - 13\frac{3}{7} = (15 - 13) + (\frac{8}{7} - \frac{3}{7}) = 2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7}$.

Мы видим, что каждое следующее число получается путем вычитания $2\frac{5}{7}$ из предыдущего. Продолжим ряд на три числа, следуя этой закономерности.

3. Четвертое число:
$13\frac{3}{7} - 2\frac{5}{7} = 12\frac{10}{7} - 2\frac{5}{7} = (12 - 2) + (\frac{10}{7} - \frac{5}{7}) = 10 + \frac{5}{7} = 10\frac{5}{7}$.

4. Пятое число:
$10\frac{5}{7} - 2\frac{5}{7} = (10 - 2) + (\frac{5}{7} - \frac{5}{7}) = 8 + 0 = 8$.

5. Шестое число:
$8 - 2\frac{5}{7} = 7\frac{7}{7} - 2\frac{5}{7} = (7 - 2) + (\frac{7}{7} - \frac{5}{7}) = 5 + \frac{2}{7} = 5\frac{2}{7}$.

Ответ: $10\frac{5}{7}; 8; 5\frac{2}{7}$.

12. Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух четырёхугольников?

При пересечении двух четырёхугольников могут получиться различные фигуры. Конкретный результат зависит от формы четырёхугольников (являются ли они выпуклыми или невыпуклыми) и их взаимного расположения на плоскости.

Возможные фигуры, получаемые в результате пересечения:

Пустое множество
Это самый простой случай, который возникает, когда четырёхугольники не имеют общих точек, то есть не пересекаются и не касаются друг друга.

Точка
Такая фигура получается, если четырёхугольники имеют только одну общую точку. Например, когда они касаются вершинами.

Отрезок
Пересечением является отрезок, если четырёхугольники касаются друг друга по стороне или части стороны.

Многоугольник
Это наиболее общий случай, когда площади четырёхугольников частично накладываются друг на друга.
1. Пересечение двух выпуклых четырёхугольников. В этом случае фигурой пересечения всегда будет выпуклый многоугольник. Число сторон у этого многоугольника может варьироваться от 3 (треугольник) до 8 (восьмиугольник). Максимальное число сторон, равное восьми, достигается, когда каждая из четырёх сторон одного четырёхугольника пересекает две стороны другого. Классический пример — пересечение двух одинаковых квадратов с общим центром, один из которых повёрнут относительно другого на угол $45^\circ$. Результатом будет правильный восьмиугольник.
2. Пересечение с участием невыпуклых четырёхугольников. Если хотя бы один из исходных четырёхугольников является невыпуклым (имеет внутренний угол больше $180^\circ$), то фигура пересечения также может быть невыпуклым многоугольником. В этом случае число сторон может быть и больше восьми, хотя такие конфигурации достаточно сложны.

Объединение нескольких многоугольников
Если один или оба четырёхугольника невыпуклые, их пересечение может состоять из двух или более отдельных (непересекающихся) многоугольников. Например, такая ситуация может возникнуть, если длинный и узкий прямоугольник пересекает невыпуклый четырёхугольник-"стрелу" в двух местах, не затрагивая его центральную часть.

Таким образом, при пересечении двух четырёхугольников можно получить широкий спектр фигур.

Ответ: Пустое множество, точка, отрезок, многоугольник (в частности, треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник и, в общем случае, многоугольник с большим числом сторон), а также объединение нескольких отдельных многоугольников.