Вопросы, страница 5 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.1. Разнообразный мир линий. Глава 1. Линии - страница 5.

Название каких линий на рисунке 1.1 вы знаете?

Как бы вы назвали линию $\textcircled{4}$? линию $\textcircled{5}$?

Убедитесь, что узор под номером $\textcircled{6}$ образован одной линией.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Найдите на рисунке 1.2 замкнутые и незамкнутые линии.

Какая из линий $\textcircled{2}$ и $\textcircled{4}$ самопересекающаяся?

Убедитесь, что линия $\textcircled{9}$ замкнутая и самопересекающаяся (для этого проведите по ней кончиком карандаша). Сколько у неё точек самопересечения?

Чем схожи и чем различаются линии $\textcircled{6}$ и $\textcircled{7}$?

Опишите линии $\textcircled{1}$ – $\textcircled{5}$, используя термины, с которыми вы познакомились.

На сколько областей делит плоскость линия $\textcircled{3}$ (см. рис. 1.2)? линия $\textcircled{5}$? линия $\textcircled{8}$?

Что представляет собой с точки зрения геометрии граница Австралии? Знаете ли вы ещё подобные государства?

Вопросы к Рис. 1.1

Название каких линий на рисунке 1.1 вы знаете?

На рисунке представлены различные виды линий, среди которых можно выделить следующие:
1. Прямая линия (или отрезок прямой).
2. Окружность – замкнутая кривая линия.
3. Волнистая линия (напоминает график синусоиды).
4. Спираль.
5. Лемниската Бернулли, или «восьмёрка».
6. Фрактальная кривая – узор, состоящий из повторяющихся элементов.

Ответ: Прямая линия, окружность, волнистая линия, спираль, лемниската, фрактальная кривая.

Как бы вы назвали линию ④? линию ⑤?

Линию под номером ④ называют спиралью. Линию под номером ⑤ называют лемнискатой или, в более простом варианте, восьмёркой.

Ответ: Линия ④ – спираль, линия ⑤ – лемниската (восьмёрка).

Убедитесь, что узор под номером ⑥ образован одной линией.

Для того чтобы убедиться, что узор ⑥ образован одной линией, можно проследить её путь от одного конца до другого, не отрывая карандаш от бумаги. Если начать с любой крайней точки узора, можно обвести всю фигуру целиком, ни разу не прервав движение и не пройдя по одному и тому же участку дважды. Это доказывает, что весь сложный узор является одной непрерывной линией.

Ответ: Узор ⑥ образован одной непрерывной линией, что можно проверить, проследив её от начала до конца.

---

Вопросы к Рис. 1.2

Найдите на рисунке 1.2 замкнутые и незамкнутые линии.

Замкнутые линии (линии, у которых начало и конец совпадают): ① (овал), ③ (пятиугольник), ⑤ (лемниската), ⑦, ⑧, ⑨ (звезда).
Незамкнутые линии (линии, у которых начало и конец не совпадают): ② (ломаная), ④ (спираль), ⑥.

Ответ: Замкнутые линии: ①, ③, ⑤, ⑦, ⑧, ⑨. Незамкнутые линии: ②, ④, ⑥.

Какая из линий ② и ④ самопересекающаяся?

Самопересекающаяся линия — это линия, которая пересекает саму себя. Линия ② является ломаной, отрезки которой пересекаются в одной точке. Эта точка — точка самопересечения. Линия ④ — это спираль, витки которой не пересекаются друг с другом. Следовательно, линия ② является самопересекающейся.

Ответ: Самопересекающейся является линия ②.

Убедитесь, что линия ⑨ замкнутая и самопересекающаяся (для этого проведите по ней кончиком карандаша). Сколько у неё точек самопересечения?

Если проследить линию ⑨, можно заметить, что она возвращается в свою начальную точку, следовательно, она замкнутая. В процессе её начертания линия пересекает саму себя несколько раз. Посчитав количество таких пересечений, можно установить, что у линии ⑨ 8 точек самопересечения.

Ответ: Линия ⑨ является замкнутой и самопересекающейся, у неё 8 точек самопересечения.

Чем схожи и чем различаются линии ⑥ и ⑦?

Сходства: Обе линии являются кривыми, имеют петлеобразную структуру и точки самопересечения.
Различия: Главное различие заключается в том, что линия ⑥ — незамкнутая (имеет два конца), а линия ⑦ — замкнутая. Кроме того, у них разное количество точек самопересечения: у линии ⑥ их три, а у линии ⑦ — четыре.

Ответ: Сходства: обе линии кривые, имеют петли и самопересечения. Различия: линия ⑥ незамкнутая, а ⑦ – замкнутая; у них разное количество точек самопересечения (3 у ⑥ и 4 у ⑦).

Опишите линии ①–⑤, используя термины, с которыми вы познакомились.

① – простая (без самопересечений) замкнутая кривая линия (овал).
② – незамкнутая самопересекающаяся ломаная линия.
③ – простая (без самопересечений) замкнутая ломаная линия (пятиугольник).
④ – простая (без самопересечений) незамкнутая кривая линия (спираль).
⑤ – замкнутая кривая линия с одной точкой самопересечения (лемниската).

Ответ: ① – простая замкнутая кривая; ② – незамкнутая самопересекающаяся ломаная; ③ – простая замкнутая ломаная; ④ – простая незамкнутая кривая; ⑤ – замкнутая самопересекающаяся кривая.

На сколько областей делит плоскость линия ③ (см. рис. 1.2)? линия ⑤? линия ⑧?

Линия ③ (пятиугольник) является простой замкнутой линией и делит плоскость на 2 области: внутреннюю и внешнюю.
Линия ⑤ (лемниската) имеет одну точку самопересечения и две петли. Она делит плоскость на 3 области: две внутренние, ограниченные петлями, и одну внешнюю.
Линия ⑧ (пятилистник) образует пять «лепестков». Она делит плоскость на 6 областей: пять областей внутри лепестков и одна внешняя область.

Ответ: Линия ③ делит плоскость на 2 области, линия ⑤ – на 3 области, линия ⑧ – на 6 областей.

Что представляет собой с точки зрения геометрии граница Австралии? Знаете ли вы ещё подобные государства?

Австралия — это государство-материк, полностью окруженное водой. С точки зрения геометрии, её граница (береговая линия) является простой замкнутой кривой линией, то есть замкнутой линией без самопересечений.
Другими подобными государствами являются все островные государства, например: Исландия, Великобритания, Ирландия, Япония, Куба, Мадагаскар, Новая Зеландия, Шри-Ланка.

Ответ: Граница Австралии – это простая замкнутая кривая линия. Другие подобные государства: Исландия, Япония, Куба, Мадагаскар.