Номер 2.63, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.63. Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево.

Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть:

а) в точку 6;

б) в точку 7?

Обозначим прыжок вправо на 5 единичных отрезков как +5, а прыжок влево на 3 единичных отрезка как -3. Кузнечик начинает движение из точки 0. Поскольку движение происходит вдоль координатного луча (который начинается в точке 0 и простирается в положительном направлении), первый прыжок обязательно должен быть вправо (+5), иначе кузнечик окажется в области отрицательных чисел. Так как прыжки чередуются, последовательность перемещений будет выглядеть так: +5, -3, +5, -3, и так далее.

Проследим за положением кузнечика после нескольких первых прыжков:

• После 1-го прыжка (вправо): $0 + 5 = 5$
• После 2-го прыжка (влево): $5 - 3 = 2$
• После 3-го прыжка (вправо): $2 + 5 = 7$
• После 4-го прыжка (влево): $7 - 3 = 4$
• После 5-го прыжка (вправо): $4 + 5 = 9$
• После 6-го прыжка (влево): $9 - 3 = 6$

Из этой последовательности уже можно сделать выводы. Рассмотрим каждый подпункт отдельно.

а) в точку 6

Как видно из расчетов выше, после 6-го прыжка кузнечик окажется в точке с координатой 6. Последовательность его положений будет: 0 → 5 → 2 → 7 → 4 → 9 → 6.

Также можно решить эту задачу алгебраически. Пусть $n$ — это количество прыжков вправо (+5), а $m$ — количество прыжков влево (-3). Итоговое положение кузнечика $P$ можно выразить формулой: $P = 5n - 3m$.

Так как прыжки чередуются, начиная с прыжка вправо, возможны два варианта:

1. Общее число прыжков чётно. Тогда число прыжков вправо равно числу прыжков влево: $n = m$. Положение кузнечика: $P = 5m - 3m = 2m$.
2. Общее число прыжков нечётно. Тогда число прыжков вправо на один больше, чем число прыжков влево: $n = m+1$. Положение кузнечика: $P = 5(m+1) - 3m = 2m + 5$.

Проверим, может ли $P$ быть равно 6.

В первом случае: $2m = 6$, отсюда $m=3$. Это целое число. Значит, кузнечик может попасть в точку 6, совершив $m=3$ прыжка влево и $n=3$ прыжка вправо. Всего $3+3=6$ прыжков.

Во втором случае: $2m+5 = 6$, отсюда $2m=1$, $m=0.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант невозможен.

Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку 6.

Ответ: да, сможет.

б) в точку 7

Из первоначальной последовательности положений видно, что после 3-го прыжка кузнечик попадает в точку 7. Последовательность положений: 0 → 5 → 2 → 7.

Проверим это алгебраически. Мы ищем, может ли $P$ быть равно 7.

Используем те же два случая, что и в пункте а).

В первом случае (чётное число прыжков): $2m = 7$, отсюда $m=3.5$. Это не целое число, значит такой вариант невозможен.

Во втором случае (нечётное число прыжков): $2m+5 = 7$, отсюда $2m=2$, $m=1$. Это целое число. Это означает, что кузнечик окажется в точке 7, совершив $m=1$ прыжок влево и $n = m+1 = 2$ прыжка вправо. Общее число прыжков равно $1+2=3$.

Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку 7.

Ответ: да, сможет.