Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.57. Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Обозначьте точки с координатами 7, 5, 3, 1 соответственно буквами $A, B, C$ и $D$.

Для решения задачи выполним пошаговое построение координатного луча.

1. Построение луча.

   Начертим горизонтальный луч, начинающийся в точке, которую примем за начало отсчета (координата 0). Луч направим вправо, обозначив направление стрелкой.

2. Выбор единичного отрезка.

   Согласно условию, единичный отрезок равен 1 см (что соответствует двум клеткам стандартной тетради). Это расстояние между двумя соседними целыми числами на луче.

3. Разметка луча.

   Отложим от начала отсчета (точки 0) последовательно семь единичных отрезков по 1 см. Каждую отметку подпишем соответствующим числом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

4. Обозначение точек.

   Найдем на луче точки с заданными координатами и обозначим их соответствующими буквами:

   • Точку с координатой 7 обозначим буквой A.
   • Точку с координатой 5 обозначим буквой B.
   • Точку с координатой 3 обозначим буквой C.
   • Точку с координатой 1 обозначим буквой D.

В результате мы получим следующий координатный луч:

Таким образом, на координатном луче отмечены точки $A(7)$, $B(5)$, $C(3)$ и $D(1)$.

Ответ:

Координатный луч построен согласно условию. На нем отмечены точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Точка с координатой 7 обозначена буквой $A$, точка с координатой 5 — буквой $B$, точка с координатой 3 — буквой $C$, и точка с координатой 1 — буквой $D$. Визуальное решение представлено на схеме выше.

2.58. Какая из точек $A(5)$, $B(100)$ и $C(56)$ расположена на координатном луче:

а) правее других;

б) левее других?

а) правее других

На координатном луче точка с большей координатой расположена правее точки с меньшей координатой. Чтобы определить, какая из точек A(5), B(100) и C(56) расположена правее других, необходимо сравнить их координаты: 5, 100 и 56.
Сравниваем числа:
$100 > 56$
$100 > 5$
Наибольшей координатой является 100, которая соответствует точке B. Следовательно, точка B(100) расположена правее точек A и C.
Ответ: B(100).

б) левее других

На координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой. Чтобы определить, какая из точек A(5), B(100) и C(56) расположена левее других, необходимо найти наименьшую координату.
Сравниваем числа:
$5 < 100$
$5 < 56$
Наименьшей координатой является 5, которая соответствует точке A. Следовательно, точка A(5) расположена левее точек B и C.
Ответ: A(5).

2.59. Назовите три точки, расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами, и три точки, расположенные левее их:

а) 7;

б) 13;

в) 100;

г) 998.

а) 7;

На координатном луче точки, расположенные правее заданной точки, имеют координаты, которые больше координаты этой точки. Для точки с координатой 7 три точки правее могут иметь координаты, например, 8, 9 и 10, так как $8 > 7$, $9 > 7$ и $10 > 7$.

Точки, расположенные левее, имеют меньшие координаты. Так как координатный луч начинается от 0, координаты точек на нем не могут быть отрицательными. Три точки левее точки с координатой 7 могут иметь координаты, например, 6, 5 и 4, так как $6 < 7$, $5 < 7$ и $4 < 7$.

Ответ: правее – точки с координатами 8, 9, 10; левее – точки с координатами 6, 5, 4.

б) 13;

Три точки, расположенные правее точки с координатой 13, должны иметь координаты больше 13. Например, можно взять точки с координатами 14, 15 и 16.

Три точки, расположенные левее точки с координатой 13, должны иметь координаты меньше 13. Например, это могут быть точки с координатами 12, 11 и 10.

Ответ: правее – точки с координатами 14, 15, 16; левее – точки с координатами 12, 11, 10.

в) 100;

Точки, расположенные правее точки с координатой 100, имеют координаты, которые больше 100. В качестве примера можно привести точки с координатами 101, 102 и 103.

Точки, расположенные левее точки с координатой 100, имеют координаты, которые меньше 100. Например, это могут быть точки с координатами 99, 98 и 97.

Ответ: правее – точки с координатами 101, 102, 103; левее – точки с координатами 99, 98, 97.

г) 998.

Три точки правее точки с координатой 998 имеют координаты, большие 998. Например, 999, 1000 и 1001.

Три точки левее точки с координатой 998 имеют координаты, меньшие 998. Например, 997, 996 и 995.

Ответ: правее – точки с координатами 999, 1000, 1001; левее – точки с координатами 997, 996, 995.

2.60. Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

а) 0 и 9;

б) 4 и 14;

в) 90 и 120?

а) 0 и 9

Чтобы найти количество натуральных чисел между двумя точками на координатном луче, нужно определить, какие числа больше меньшей координаты и меньше большей. Натуральные числа — это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, и так далее. Число 0 не является натуральным.

Искомые числа $x$ должны удовлетворять строгому неравенству $0 < x < 9$.

Этому условию соответствуют следующие натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Всего таких чисел 8.

Также можно воспользоваться общей формулой для нахождения количества целых чисел между $a$ и $b$ ($a < b$), не включая сами эти числа: $k = b - a - 1$. В данном случае $a=0$ и $b=9$. $k = 9 - 0 - 1 = 8$.

Ответ: 8

б) 4 и 14

Требуется найти количество натуральных чисел $x$, которые удовлетворяют условию $4 < x < 14$.

Перечислим эти числа: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Прямым подсчетом получаем 9 чисел.

Проверим по формуле $k = b - a - 1$: $k = 14 - 4 - 1 = 9$.

Ответ: 9

в) 90 и 120

Нужно найти количество натуральных чисел $x$, для которых выполняется неравенство $90 < x < 120$. Это все натуральные числа от 91 до 119 включительно.

Чтобы найти их количество, воспользуемся формулой $k = b - a - 1$, где $a=90$ и $b=120$. $k = 120 - 90 - 1 = 30 - 1 = 29$.

Таким образом, между 90 и 120 находится 29 натуральных чисел.

Ответ: 29

2.61. На рисунке 60 изображён координатный луч. Назовите отмеченные на нём точки.

а) $A(17)$, $B(18)$

б) $C(179)$, $D(180)$

в) $K(1999)$, $L(2000)$

г) $M(a)$, $N(a+1)$

Рис. 60

а) На координатном луче точка $A$ соответствует числу 17, а точка $B$ соответствует числу 18. Координаты точек записываются в виде "Имя_точки(координата)". Таким образом, точка $A$ имеет координату 17, а точка $B$ — координату 18.
Ответ: $A(17)$, $B(18)$.

б) На координатном луче точка $C$ расположена на отметке 179, а точка $D$ — на отметке 180. Следовательно, координаты этих точек $C(179)$ и $D(180)$.
Ответ: $C(179)$, $D(180)$.

в) На данном луче точка $K$ соответствует числу 1999, а точка $L$ — следующему за ним числу 2000. Координаты этих точек: $K(1999)$ и $L(2000)$.
Ответ: $K(1999)$, $L(2000)$.

г) В этом случае координаты точек заданы с помощью переменной. Точка $M$ имеет координату $a$, а точка $N$ имеет координату $a+1$, что означает, что она находится на одну единицу правее точки $M$. Запись координат выглядит так: $M(a)$ и $N(a+1)$.
Ответ: $M(a)$, $N(a+1)$.

2.62. По рисунку 61 определите координату точки $A$ приближённо с точностью до 1:

а) с недостатком;

б) с избытком.

а)

$A$

5

9

б)

$A$

5

7

Рис. 61

а) с недостатком

Чтобы найти приближенное значение координаты точки A с недостатком с точностью до 1, нужно определить наибольшее целое число, которое не превосходит координату этой точки.

Для рисунка а):
На координатной прямой отмечены точки 5 и 9. Расстояние между ними равно $9 - 5 = 4$. Этот отрезок разделен на 4 равных деления, значит, цена одного деления составляет $4 : 4 = 1$. Таким образом, на прямой отмечены целые числа. Точка А находится между числами 7 и 8. Если ее координату обозначить $x_A$, то $7 < x_A < 8$. Наибольшее целое число, которое не превосходит $x_A$, это 7.

Для рисунка б):
На координатной прямой отмечены точки 5 и 7. Расстояние между ними равно $7 - 5 = 2$. Этот отрезок разделен на 4 равных деления, значит, цена одного деления составляет $2 : 4 = 0.5$. Точка А находится между числами 6,5 и 7. Если ее координату обозначить $x_A$, то $6.5 < x_A < 7$. Наибольшее целое число, которое не превосходит $x_A$, это 6.

Ответ: для рисунка а) – 7; для рисунка б) – 6.

б) с избытком

Чтобы найти приближенное значение координаты точки A с избытком с точностью до 1, нужно определить наименьшее целое число, которое больше или равно координате этой точки.

Для рисунка а):
Координата точки А ($x_A$) находится в промежутке $7 < x_A < 8$. Наименьшее целое число, которое больше $x_A$, это 8.

Для рисунка б):
Координата точки А ($x_A$) находится в промежутке $6.5 < x_A < 7$. Наименьшее целое число, которое больше $x_A$, это 7.

Ответ: для рисунка а) – 8; для рисунка б) – 7.

2.63. Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно: на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево.

Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть:

а) в точку 6;

б) в точку 7?

Обозначим прыжок вправо на 5 единичных отрезков как +5, а прыжок влево на 3 единичных отрезка как -3. Кузнечик начинает движение из точки 0. Поскольку движение происходит вдоль координатного луча (который начинается в точке 0 и простирается в положительном направлении), первый прыжок обязательно должен быть вправо (+5), иначе кузнечик окажется в области отрицательных чисел. Так как прыжки чередуются, последовательность перемещений будет выглядеть так: +5, -3, +5, -3, и так далее.

Проследим за положением кузнечика после нескольких первых прыжков:

• После 1-го прыжка (вправо): $0 + 5 = 5$
• После 2-го прыжка (влево): $5 - 3 = 2$
• После 3-го прыжка (вправо): $2 + 5 = 7$
• После 4-го прыжка (влево): $7 - 3 = 4$
• После 5-го прыжка (вправо): $4 + 5 = 9$
• После 6-го прыжка (влево): $9 - 3 = 6$

Из этой последовательности уже можно сделать выводы. Рассмотрим каждый подпункт отдельно.

а) в точку 6

Как видно из расчетов выше, после 6-го прыжка кузнечик окажется в точке с координатой 6. Последовательность его положений будет: 0 → 5 → 2 → 7 → 4 → 9 → 6.

Также можно решить эту задачу алгебраически. Пусть $n$ — это количество прыжков вправо (+5), а $m$ — количество прыжков влево (-3). Итоговое положение кузнечика $P$ можно выразить формулой: $P = 5n - 3m$.

Так как прыжки чередуются, начиная с прыжка вправо, возможны два варианта:

1. Общее число прыжков чётно. Тогда число прыжков вправо равно числу прыжков влево: $n = m$. Положение кузнечика: $P = 5m - 3m = 2m$.
2. Общее число прыжков нечётно. Тогда число прыжков вправо на один больше, чем число прыжков влево: $n = m+1$. Положение кузнечика: $P = 5(m+1) - 3m = 2m + 5$.

Проверим, может ли $P$ быть равно 6.

В первом случае: $2m = 6$, отсюда $m=3$. Это целое число. Значит, кузнечик может попасть в точку 6, совершив $m=3$ прыжка влево и $n=3$ прыжка вправо. Всего $3+3=6$ прыжков.

Во втором случае: $2m+5 = 6$, отсюда $2m=1$, $m=0.5$. Это не целое число, поэтому такой вариант невозможен.

Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку 6.

Ответ: да, сможет.

б) в точку 7

Из первоначальной последовательности положений видно, что после 3-го прыжка кузнечик попадает в точку 7. Последовательность положений: 0 → 5 → 2 → 7.

Проверим это алгебраически. Мы ищем, может ли $P$ быть равно 7.

Используем те же два случая, что и в пункте а).

В первом случае (чётное число прыжков): $2m = 7$, отсюда $m=3.5$. Это не целое число, значит такой вариант невозможен.

Во втором случае (нечётное число прыжков): $2m+5 = 7$, отсюда $2m=2$, $m=1$. Это целое число. Это означает, что кузнечик окажется в точке 7, совершив $m=1$ прыжок влево и $n = m+1 = 2$ прыжка вправо. Общее число прыжков равно $1+2=3$.

Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку 7.

Ответ: да, сможет.