Страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.64. a) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму окружности.

б) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму круга.

а) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму окружности.
Окружность — это замкнутая кривая линия, все точки которой равноудалены от центра. Предметы, имеющие форму окружности, представляют собой только обод или контур. Примерами могут служить: гимнастический обруч, кольцо, браслет, обод колеса.
Ответ: обруч.

б) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму круга.
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть "заполненная" фигура. Предметы, имеющие форму круга, являются плоскими и сплошными. Примерами могут служить: монета, тарелка, блин, крышка люка.
Ответ: монета.

2.65. Назовите центр, радиус, диаметр окружности, изображённой на рисунке 63.

Так как изображение (рисунок 63) не предоставлено, невозможно дать точный ответ для конкретной окружности. Ниже представлено общее решение с определениями и примером, которое поможет вам определить элементы на вашем рисунке.

Предположим, на рисунке изображена окружность, где точка О — её центр, а точки A, B, C лежат на окружности. При этом отрезок BC проходит через центр O.

Центр

Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех точек, лежащих на окружности. В нашем примере это точка О.

Ответ: точка О.

Радиус

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на этой окружности. На основе нашего примера, радиусами являются отрезки ОА, ОВ и ОС.

Ответ: отрезок ОА (или ОВ, или ОС).

Диаметр

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса, что выражается формулой $d = 2r$. В нашем примере диаметром является отрезок BC.

Ответ: отрезок BC.

2.66. а) Представление о сфере дает теннисный мяч. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму сферы.

б) Представление о шаре дает арбуз. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму шара.

а) Представление о сфере даёт теннисный мяч. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму сферы.

Сфера — это геометрическая поверхность, все точки которой равноудалены от одной центральной точки. Важно понимать, что сфера — это именно поверхность, оболочка, а не объёмное тело. Теннисный мяч является хорошим примером, так как он полый внутри, и мы в первую очередь воспринимаем его внешнюю оболочку. Другим предметом, имеющим форму сферы, является, например, надутый воздушный шарик, ёлочная игрушка (шар) или мыльный пузырь. Поверхность глобуса также является сферой.

Ответ: мыльный пузырь.

б) Представление о шаре даёт арбуз. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму шара.

Шар — это геометрическое тело, которое включает в себя сферу и всё пространство внутри неё. В отличие от сферы, шар является объёмным, заполненным объектом. Арбуз — удачный пример, поскольку он сплошной внутри (состоит из мякоти). Другими предметами, имеющими форму шара, могут быть бильярдный шар, шар для боулинга, металлический шарик из подшипника или пушечное ядро.

Ответ: бильярдный шар.

2.67. Задача-шутка. На рисунке 68 изображён воздушный шарик. Как его было бы правильнее назвать — «шариком» или «сфериком»?

Рис. 68

Этот вопрос, хоть и шуточный, затрагивает важное различие между двумя геометрическими понятиями: сферой и шаром.

Сфера — это замкнутая поверхность, все точки которой равноудалены от центра. Можно сказать, что это пустая оболочка.

Шар — это геометрическое тело, которое включает в себя сферу и всё пространство, находящееся внутри этой сферы.

Воздушный шарик представляет собой тонкую резиновую оболочку (которая является физической моделью сферы), заполненную воздухом. Весь объект целиком, то есть оболочка вместе с её содержимым, является физической моделью шара. Поскольку мы обычно имеем в виду весь надутый объект, а не только его резиновую поверхность, правильнее называть его «шариком» — уменьшительной формой от слова «шар».

Ответ: Правильнее было бы назвать его «шариком».

2.68. Какая из фигур, изображённых на рисунке 69, Рис. 68 является окружностью? Какая — кругом?

4) Рис. 69

Какая из фигур является окружностью?

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности. Давайте проанализируем каждую фигуру:

• Фигура 1: Это замкнутая кривая произвольной, неправильной формы. Она не является окружностью.
• Фигура 2: Эта фигура представляет собой замкнутую кривую, у которой все точки равноудалены от центра. Это точное определение окружности.
• Фигура 3: Это эллипс (овал). Расстояние от его центра до точек на линии не является постоянным. Следовательно, это не окружность.
• Фигура 4: Это не просто линия, а закрашенная область внутри неё. Это круг, а не окружность.

Таким образом, фигура, являющаяся окружностью, изображена под номером 2.

Ответ: 2.

Какая из фигур является кругом?

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая в себя все точки внутри этой окружности. Визуально круг представляет собой закрашенную фигуру.

• Фигуры 1 и 3 не являются кругами, так как их граница не является окружностью.
• Фигура 2 — это только линия (окружность), она не включает внутреннюю область, поэтому это не круг.
• Фигура 4: Эта фигура представляет собой область, ограниченную окружностью, и она закрашена. Это полностью соответствует определению круга.

Следовательно, фигура, являющаяся кругом, изображена под номером 4.

Ответ: 4.

2.69. а) На какую поверхность наклеивают бумажную этикетку с наименованием продукта и содержанием в нём различных веществ — на основание цилиндра или на боковую поверхность цилиндра (см. рис. 67)?

б) Из какого геометрического факта следует, что радиусы оснований цилиндра, полученного вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, равны?

а) Бумажную этикетку с наименованием продукта и прочей информацией наклеивают на боковую поверхность цилиндра. Это делается по нескольким причинам: во-первых, площадь боковой поверхности, как правило, значительно больше площади основания, что позволяет разместить всю необходимую информацию. Во-вторых, когда цилиндрическая упаковка (например, консервная банка или бутылка) стоит на полке в магазине, покупатель видит именно её боковую сторону, а не основания.
Ответ: на боковую поверхность цилиндра.

б) Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Пусть дан прямоугольник $ABCD$, который вращается вокруг стороны $AD$.
В процессе вращения сторона $AD$ становится осью цилиндра.
Стороны $AB$ и $CD$ перпендикулярны оси вращения $AD$. При вращении точки $B$ и $C$ описывают окружности, которые образуют основания цилиндра.
Радиус верхнего основания равен длине отрезка $AB$, а радиус нижнего основания равен длине отрезка $CD$.
Основным свойством прямоугольника является то, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $AB = CD$.
Таким образом, равенство радиусов оснований цилиндра следует из геометрического факта о равенстве противолежащих сторон прямоугольника.
Ответ: из свойства прямоугольника, согласно которому его противолежащие стороны равны.

2.70. Начертите окружность, радиус которой равен:

а) 2 см;

б) 5 см;

в) 7 см;

г) 3 см 5 мм;

д) отрезку $AB$ (рис. 70).

Рис. 70

а) Для того чтобы начертить окружность с радиусом 2 см, необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки установить раствор циркуля равным 2 см. Для этого нужно поместить иглу циркуля на нулевую отметку линейки, а грифель — на отметку 2 см.
2. Отметить на бумаге точку О — центр будущей окружности.
3. Установить иглу циркуля в точку О и, не меняя раствора циркуля, плавно повернуть его, чтобы начертить замкнутую линию.

Ответ: Построена окружность с радиусом $R = 2$ см.

б) Построение окружности с радиусом 5 см выполняется аналогично:

1. С помощью линейки выставить на циркуле расстояние в 5 см.
2. Выбрать на листе бумаги точку O, которая будет центром окружности.
3. Поставить в точку O иглу циркуля и начертить окружность.

Ответ: Построена окружность с радиусом $R = 5$ см.

в) Построение окружности с радиусом 7 см:

1. Используя линейку, установить раствор циркуля на 7 см.
2. Отметить на бумаге центр окружности, точку O.
3. Установить иглу циркуля в центр O и провести окружность.

Ответ: Построена окружность с радиусом $R = 7$ см.

г) Для построения окружности с радиусом 3 см 5 мм:

1. Сначала необходимо выразить радиус в одной единице измерения. Так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $5 \text{ мм} = 0.5 \text{ см}$. Радиус окружности составляет $3 \text{ см} + 0.5 \text{ см} = 3.5 \text{ см}$.
2. С помощью линейки установить раствор циркуля равным 3,5 см. Игла циркуля ставится на отметку "0", а грифель — на отметку 3,5 см.
3. Выбрать на бумаге точку O (центр) и, установив в нее иглу циркуля, начертить окружность.

Ответ: Построена окружность с радиусом $R = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.

д) Для построения окружности, радиус которой равен длине отрезка AB:

1. Взять циркуль и совместить его ножки с концами отрезка AB, изображенного на рисунке. Иглу циркуля установить в точку A, а грифель — в точку B. Таким образом, раствор циркуля станет равным длине отрезка AB.
2. Выбрать на листе бумаги произвольную точку O — центр будущей окружности.
3. Не меняя полученный раствор циркуля, установить его иглу в точку O.
4. Начертить окружность.

Ответ: Построена окружность, радиус $R$ которой равен длине отрезка $AB$.