Номер 2.71, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.71. На окружности с центром $O$ и радиусом 2 см отметьте точку $A$. Постройте окружность с центром $A$ и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой $B$ (рис. 71).

С помощью циркуля от точки $B$ отметьте дуги, равные дуге $AB$. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$.

Рис. 71

Для решения задачи выполним предложенные построения и дадим им математическое обоснование.

1. Построение и анализ начальных данных

Сначала строится окружность с центром $O$ и радиусом $R = 2$ см. На ней отмечается точка $A$. Затем строится вторая окружность с центром в точке $A$ и таким же радиусом $R = 2$ см. Точка $B$ — одна из точек их пересечения.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный центром первой окружности $O$, точкой $A$ на ней и точкой пересечения $B$.

• Отрезок $OA$ — это радиус первой окружности, его длина $OA = 2$ см.
• Отрезок $OB$ — это также радиус первой окружности, его длина $OB = 2$ см.
• Отрезок $AB$ — это радиус второй окружности, его длина $AB = 2$ см.

Поскольку все три стороны треугольника равны ($OA = OB = AB = 2$ см), треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на дугу $AB$, равен $60^\circ$.

2. Откладывание дуг, равных дуге AB

Далее, согласно заданию, необходимо с помощью циркуля от точки $B$ отложить дуги, равные дуге $AB$. На практике это означает, что мы устанавливаем раствор циркуля равным длине хорды $AB$ (которая, как мы выяснили, равна радиусу окружности — 2 см) и последовательно делаем засечки на окружности.
Пусть точки, которые мы получаем, это $C, D, E, F$. Мы получим последовательность дуг, начиная от точки $A$: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$.
Каждая из этих дуг будет соответствовать центральному углу в $60^\circ$, так как длина соответствующей хорды ($BC$, $CD$ и т.д.) равна радиусу окружности.

3. Проверка того, что конец шестой дуги совпадает с точкой A

Чтобы убедиться, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$, нужно сложить градусные меры всех шести дуг.
Сумма центральных углов, соответствующих этим шести дугам, будет равна:
$ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF + \angle FOA = 6 \times 60^\circ = 360^\circ $
Сумма в $360^\circ$ означает полный оборот по окружности. Это доказывает, что, начав с точки $A$ и отложив шесть равных дуг, мы вернемся в ту же самую точку $A$. Таким образом, конец шестой дуги ($FA$) действительно совпадает с точкой $A$.

Ответ: В результате построений выясняется, что хорда $AB$, соединяющая точки на первой окружности, равна ее радиусу ($2$ см). Это означает, что дуга $AB$ стягивает центральный угол в $60^\circ$. Полная окружность составляет $360^\circ$. Поэтому, чтобы совершить полный оборот, необходимо отложить $360^\circ / 60^\circ = 6$ таких дуг. Следовательно, конец шестой дуги, отсчитываемой от точки $A$, неизбежно совпадет с точкой $A$.