Страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.71. На окружности с центром $O$ и радиусом 2 см отметьте точку $A$. Постройте окружность с центром $A$ и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой $B$ (рис. 71).

С помощью циркуля от точки $B$ отметьте дуги, равные дуге $AB$. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$.

Рис. 71

Для решения задачи выполним предложенные построения и дадим им математическое обоснование.

1. Построение и анализ начальных данных

Сначала строится окружность с центром $O$ и радиусом $R = 2$ см. На ней отмечается точка $A$. Затем строится вторая окружность с центром в точке $A$ и таким же радиусом $R = 2$ см. Точка $B$ — одна из точек их пересечения.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный центром первой окружности $O$, точкой $A$ на ней и точкой пересечения $B$.

• Отрезок $OA$ — это радиус первой окружности, его длина $OA = 2$ см.
• Отрезок $OB$ — это также радиус первой окружности, его длина $OB = 2$ см.
• Отрезок $AB$ — это радиус второй окружности, его длина $AB = 2$ см.

Поскольку все три стороны треугольника равны ($OA = OB = AB = 2$ см), треугольник $\triangle AOB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на дугу $AB$, равен $60^\circ$.

2. Откладывание дуг, равных дуге AB

Далее, согласно заданию, необходимо с помощью циркуля от точки $B$ отложить дуги, равные дуге $AB$. На практике это означает, что мы устанавливаем раствор циркуля равным длине хорды $AB$ (которая, как мы выяснили, равна радиусу окружности — 2 см) и последовательно делаем засечки на окружности.
Пусть точки, которые мы получаем, это $C, D, E, F$. Мы получим последовательность дуг, начиная от точки $A$: $AB, BC, CD, DE, EF, FA$.
Каждая из этих дуг будет соответствовать центральному углу в $60^\circ$, так как длина соответствующей хорды ($BC$, $CD$ и т.д.) равна радиусу окружности.

3. Проверка того, что конец шестой дуги совпадает с точкой A

Чтобы убедиться, что конец шестой дуги, считая от точки $A$, совпадает с точкой $A$, нужно сложить градусные меры всех шести дуг.
Сумма центральных углов, соответствующих этим шести дугам, будет равна:
$ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF + \angle FOA = 6 \times 60^\circ = 360^\circ $
Сумма в $360^\circ$ означает полный оборот по окружности. Это доказывает, что, начав с точки $A$ и отложив шесть равных дуг, мы вернемся в ту же самую точку $A$. Таким образом, конец шестой дуги ($FA$) действительно совпадает с точкой $A$.

Ответ: В результате построений выясняется, что хорда $AB$, соединяющая точки на первой окружности, равна ее радиусу ($2$ см). Это означает, что дуга $AB$ стягивает центральный угол в $60^\circ$. Полная окружность составляет $360^\circ$. Поэтому, чтобы совершить полный оборот, необходимо отложить $360^\circ / 60^\circ = 6$ таких дуг. Следовательно, конец шестой дуги, отсчитываемой от точки $A$, неизбежно совпадет с точкой $A$.

2.72. С помощью циркуля выполните рисунок 72 на альбомном листе, раскрасьте его цветными карандашами или фломастерами.

Рис. 72

Чтобы выполнить рисунок 72 с помощью циркуля, следуйте пошаговой инструкции. Вам понадобятся альбомный лист, циркуль, карандаш и цветные карандаши или фломастеры.

Шаг 1: Построение центральной окружности

Выберите точку примерно в центре вашего листа — это будет центр первой окружности (назовем ее точка $O$). Установите на циркуле произвольный, но удобный для работы радиус (например, $3-4$ см). Обозначим этот радиус как $r$. Поставив иглу циркуля в точку $O$, начертите полную окружность.

Шаг 2: Построение второй окружности

Не меняя установленный радиус $r$ на циркуле, выберите любую точку на линии первой окружности. Поставьте в эту точку иглу циркуля и начертите вторую окружность. Вы заметите, что она пройдет точно через центр первой окружности (точку $O$).

Шаг 3: Построение остальных окружностей

Новая окружность пересекла центральную в двух точках. Выберите любую из этих двух точек пересечения в качестве центра для следующей, третьей окружности. Поставьте иглу циркуля в эту точку и, сохраняя тот же радиус $r$, начертите еще одну окружность.

Шаг 4: Завершение узора

Продолжайте этот процесс. Каждый раз ставьте иглу циркуля в новую точку пересечения, образованную последней нарисованной окружностью и самой первой, центральной окружностью. Двигайтесь по кругу, пока не начертите шесть окружностей вокруг центральной. Всего у вас получится семь одинаковых, пересекающихся окружностей, которые и образуют нужный узор.

Шаг 5: Раскрашивание

Когда геометрическое построение завершено, возьмите цветные карандаши или фломастеры и раскрасьте получившийся рисунок. Вы можете раскрасить "лепестки" цветка в центре, пересекающиеся области или любые другие элементы узора, проявив свою фантазию.

Ответ: Для выполнения рисунка 72 необходимо с помощью циркуля начертить семь окружностей одинакового радиуса $r$. Первая окружность является центральной. Центры следующих шести окружностей последовательно располагаются в точках пересечения предыдущих построенных окружностей с центральной. После завершения построения рисунок необходимо раскрасить.

2.73. На рисунке 73 показан цветок, построенный с помощью циркуля.

а) Объясните, как этот рисунок получен из рисунка 72.

б) Придумайте свой рисунок цветка. Выполните его на альбомном листе и раскрасьте цветными карандашами или фломастерами.

Рис. 72

Рис. 73

а) Рисунок 73 (цветок) получен из рисунка 72 путем удаления (стирания) части линий. Рисунок 72 состоит из семи пересекающихся окружностей одинакового радиуса $R$. Одна из окружностей является центральной, а центры шести других равномерно расположены на ней.

Чтобы получить цветок, изображенный на рисунке 73, необходимо:

1. Начать с фигуры, показанной на рисунке 72.
2. Стереть центральную окружность.
3. От каждой из шести внешних окружностей оставить только те дуги, которые формируют внутренние "лепестки" фигуры. Каждый лепесток образован двумя дугами от соседних внешних окружностей.

Таким образом, цветок на рисунке 73 — это фигура, состоящая из внутренних дуг шести внешних окружностей рисунка 72.

Ответ: Рисунок 73 получен из рисунка 72 путем стирания центральной окружности и всех частей внешних окружностей, которые не участвуют в формировании шести внутренних лепестков.

б) Для создания собственного рисунка цветка можно усложнить исходную конструкцию, например, увеличив количество лепестков. Ниже приведена инструкция по созданию цветка с двенадцатью лепестками с помощью циркуля.

Порядок построения:

1. Начертите вспомогательную окружность с центром в точке $O$ и произвольным радиусом $R$.
2. Разделите окружность на 12 равных частей, чтобы отметить 12 равноудаленных точек. Для этого:
   • Сначала, не меняя раствора циркуля ($R$), последовательными засечками разделите окружность на 6 равных дуг (точки $A_1, A_2, \dots, A_6$).
   • Затем постройте биссектрисы центральных углов, чтобы разделить каждую из шести дуг пополам. Это можно сделать, проведя из каждой пары соседних точек (например, $A_1$ и $A_2$) по две пересекающиеся дуги одинакового радиуса. Прямая, соединяющая точку их пересечения с центром $O$, укажет середину дуги на окружности. Таким образом вы найдете еще 6 точек.
3. Используя каждую из 12 полученных точек на окружности как центр, начертите 12 дуг радиусом $R$ так, чтобы они все прошли через центральную точку $O$.
4. Сотрите вспомогательную окружность и все лишние линии, оставив только контур цветка из 12 лепестков.

Раскрашивание:

Получившийся цветок можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Например, можно чередовать два цвета (скажем, синий и голубой) для лепестков или использовать плавный переход цвета от центра к краям лепестков.

Ответ: Предложен алгоритм построения и раскрашивания цветка с двенадцатью лепестками. Он создается путем деления окружности на 12 равных частей и проведения из полученных точек дуг, которые формируют лепестки.

2.74. Внутри или вне окружности расположены точки, удалённые от её центра на расстояние:

а) большее её радиуса;

б) меньшее её радиуса?

По определению, окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до точки $O$ равно $R$.
Все точки, расстояние от которых до центра меньше радиуса, находятся внутри окружности.
Все точки, расстояние от которых до центра больше радиуса, находятся вне окружности.
Пусть $d$ — это расстояние от некоторой точки до центра окружности, а $R$ — её радиус.

а) В условии сказано, что расстояние от точки до центра больше её радиуса. Математически это можно записать как $d > R$. Исходя из определения, если расстояние от точки до центра больше радиуса, то точка расположена вне окружности.
Ответ: вне окружности.

б) В условии сказано, что расстояние от точки до центра меньше её радиуса. Математически это можно записать как $d < R$. Исходя из определения, если расстояние от точки до центра меньше радиуса, то точка расположена внутри окружности.
Ответ: внутри окружности.

2.75. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5 см. Постройте точку, удалённую от точки $A$ на расстояние 4 см, а от точки $B$ — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить?

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек. Искомая точка должна одновременно находиться на заданном расстоянии от точки $A$ и на заданном расстоянии от точки $B$.

Построение

1. Множество всех точек, удалённых от точки $A$ на 4 см, представляет собой окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 4$ см.
2. Множество всех точек, удалённых от точки $B$ на 3 см, представляет собой окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 3$ см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух окружностей. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью циркуля строим окружность (или её дугу) с центром в точке $A$ и радиусом 4 см.
3. С помощью циркуля строим окружность (или её дугу) с центром в точке $B$ и радиусом 3 см.
4. Точки пересечения построенных окружностей и есть искомые точки.

Ответ: Искомые точки строятся как точки пересечения двух окружностей: первой с центром в точке $A$ и радиусом 4 см, и второй с центром в точке $B$ и радиусом 3 см.

Сколько таких точек можно построить?

Количество искомых точек равно количеству точек пересечения двух окружностей. Две окружности пересекаются в двух различных точках, если расстояние между их центрами ($d$) больше модуля разности их радиусов и меньше их суммы. Это выражается неравенством: $|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$.

В условиях нашей задачи:

• Расстояние между центрами: $d = AB = 5$ см.
• Радиусы окружностей: $R_A = 4$ см и $R_B = 3$ см.

Проверим выполнение неравенства:
$|4 - 3| < 5 < 4 + 3$
$1 < 5 < 7$

Поскольку неравенство верно, окружности пересекаются в двух точках. Это также означает, что существует треугольник со сторонами 5 см, 4 см и 3 см. Заметим, что $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Можно построить две такие точки, симметричные относительно прямой $AB$.

Ответ: Можно построить две такие точки.

2.76. Внутри или вне сферы расположены точки, удалённые от её центра на расстояние:

а) большее её радиуса;

б) меньшее её радиуса?

Сферой называется множество всех точек пространства, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром сферы, равно положительному числу, называемому радиусом сферы.

Пространство делится сферой на две части: внутреннюю и внешнюю.

• Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше радиуса, называются точками, расположенными внутри сферы.
• Точки, расстояние от которых до центра сферы больше радиуса, называются точками, расположенными вне сферы.

Пусть $R$ — это радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра до точки.

а) большее её радиуса
По условию, расстояние от центра до точки больше радиуса, то есть $d > R$. Следовательно, точка расположена вне сферы.
Ответ: вне сферы.

б) меньшее её радиуса
По условию, расстояние от центра до точки меньше радиуса, то есть $d < R$. Следовательно, точка расположена внутри сферы.
Ответ: внутри сферы.

2.77. Дан отрезок $AB$. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусом $AB$. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами $M$ и $N$. Постройте отрезки $AM$, $AN$, $BM$, $BN$. Равны ли отрезки $AB$, $AM$, $AN$, $BM$ и $BN$? Убедитесь, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Задача состоит из двух частей: доказательство равенства отрезков и доказательство того, что прямая делит отрезок пополам. Выполним последовательно оба шага.

Равны ли отрезки AB, AM, AN, BM и BN?

Построим две окружности согласно условию:

1. Окружность с центром в точке A и радиусом $R_1 = AB$.
2. Окружность с центром в точке B и радиусом $R_2 = AB$.

Точки M и N являются точками пересечения этих двух окружностей.

1. Рассмотрим окружность с центром в A. Поскольку точки M и N лежат на этой окружности, расстояния от центра A до этих точек равны радиусу этой окружности. Таким образом, $AM = R_1$ и $AN = R_1$. Так как по построению $R_1 = AB$, то получаем: $AM = AB$ и $AN = AB$.

2. Рассмотрим окружность с центром в B. Поскольку точки M и N лежат и на этой окружности, расстояния от центра B до этих точек равны радиусу этой окружности. Таким образом, $BM = R_2$ и $BN = R_2$. Так как по построению $R_2 = AB$, то получаем: $BM = AB$ и $BN = AB$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $AB = AM = AN = BM = BN$.

Ответ: Да, все отрезки AB, AM, AN, BM и BN равны между собой.

Убедитесь, что прямая MN делит отрезок AB пополам.

Рассмотрим четырехугольник AMBN, который образован соединением точек A, M, B и N.

Из предыдущего пункта мы знаем, что все стороны этого четырехугольника равны: $AM = MB = BN = NA = AB$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, AMBN — это ромб.

Отрезки AB и MN являются диагоналями этого ромба. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делят друг друга пополам.

Пусть O — точка пересечения отрезков AB и MN. Согласно свойству диагоналей ромба, точка O является серединой как для диагонали MN, так и для диагонали AB. Следовательно, $AO = OB$.

Таким образом, прямая MN проходит через середину отрезка AB, то есть делит его пополам.

Ответ: Прямая MN делит отрезок AB пополам, так как AB и MN являются диагоналями ромба AMBN, которые по свойству ромба делят друг друга пополам в точке пересечения.