Страница 101 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.89. а) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 5 ч?

б) На какой угол повернётся часовая стрелка за: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 4 ч?

в) На какой угол повернётся минутная стрелка за: 30 мин; 15 мин; 10 мин; 1 мин?

Для решения задачи необходимо знать, как движутся стрелки на циферблате часов. Циферблат представляет собой окружность, содержащую $360^\circ$.

• Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 12 часов. Следовательно, её скорость составляет $360^\circ / 12 = 30^\circ$ в час.
• Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Следовательно, её скорость составляет $360^\circ / 60 = 6^\circ$ в минуту.

а)

В указанное время (6 ч, 3 ч, 1 ч, 5 ч) минутная стрелка всегда указывает на 12. Будем считать это положение за $0^\circ$. Угол между стрелками будет равен углу, на который часовая стрелка отклонилась от 12.

• 6 ч: Часовая стрелка указывает на 6. Угол между 12 и 6 составляет половину циферблата. Расчет: $6 \text{ часов} \times 30^\circ/\text{час} = 180^\circ$.

• 3 ч: Часовая стрелка указывает на 3. Угол составляет четверть циферблата. Расчет: $3 \text{ часа} \times 30^\circ/\text{час} = 90^\circ$.

• 1 ч: Часовая стрелка указывает на 1. Расчет: $1 \text{ час} \times 30^\circ/\text{час} = 30^\circ$.

• 5 ч: Часовая стрелка указывает на 5. Расчет: $5 \text{ часов} \times 30^\circ/\text{час} = 150^\circ$.

Ответ: в 6 ч — $180^\circ$; в 3 ч — $90^\circ$; в 1 ч — $30^\circ$; в 5 ч — $150^\circ$.

б)

Скорость движения часовой стрелки составляет $30^\circ$ в час. Чтобы найти угол поворота, нужно умножить время на эту скорость.

• За 6 ч: Угол поворота равен $6 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 180^\circ$.

• За 3 ч: Угол поворота равен $3 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 90^\circ$.

• За 1 ч: Угол поворота равен $1 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 30^\circ$.

• За 4 ч: Угол поворота равен $4 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 120^\circ$.

Ответ: за 6 ч — на $180^\circ$; за 3 ч — на $90^\circ$; за 1 ч — на $30^\circ$; за 4 ч — на $120^\circ$.

в)

Скорость движения минутной стрелки составляет $6^\circ$ в минуту. Чтобы найти угол поворота, нужно умножить время в минутах на эту скорость.

• За 30 мин: Угол поворота равен $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.

• За 15 мин: Угол поворота равен $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.

• За 10 мин: Угол поворота равен $10 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 60^\circ$.

• За 1 мин: Угол поворота равен $1 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 6^\circ$.

Ответ: за 30 мин — на $180^\circ$; за 15 мин — на $90^\circ$; за 10 мин — на $60^\circ$; за 1 мин — на $6^\circ$.

2.90. Выразите в минутах: $1^\circ$; $7^\circ$; $10^\circ$; $30^\circ$; $90^\circ$; $180^\circ$.

Для перевода градусов в угловые минуты используется основное соотношение: в одном градусе содержится 60 минут. Математически это записывается как $1^\circ = 60'$. Чтобы выразить заданные углы в минутах, необходимо величину угла в градусах умножить на 60.

1°
Для перевода 1 градуса в минуты умножаем 1 на 60.
$1^\circ = 1 \times 60' = 60' $.
Ответ: $60'$

7°
Для перевода 7 градусов в минуты умножаем 7 на 60.
$7^\circ = 7 \times 60' = 420' $.
Ответ: $420'$

10°
Для перевода 10 градусов в минуты умножаем 10 на 60.
$10^\circ = 10 \times 60' = 600' $.
Ответ: $600'$

30°
Для перевода 30 градусов в минуты умножаем 30 на 60.
$30^\circ = 30 \times 60' = 1800' $.
Ответ: $1800'$

90°
Для перевода 90 градусов в минуты умножаем 90 на 60.
$90^\circ = 90 \times 60' = 5400' $.
Ответ: $5400'$

180°
Для перевода 180 градусов в минуты умножаем 180 на 60.
$180^\circ = 180 \times 60' = 10800' $.
Ответ: $10800'$

2.91. Выразите в секундах: $1'$; $1^\circ$; $1^\circ1'$; $4^\circ3'$; $10^\circ$; $10'$.

Для перевода угловых величин в секунды используются следующие соотношения: 1 градус ($1^\circ$) содержит 60 минут ($60'$), а 1 минута ($1'$) содержит 60 секунд ($60''$). Таким образом, в одном градусе $60 \times 60 = 3600$ секунд ($1^\circ = 3600''$).

1'
По определению, одна угловая минута равна 60 угловым секундам.
$1' = 60''$
Ответ: $60''$

1°
Один градус содержит 3600 секунд.
$1^\circ = 1 \times 60' = 1 \times 60 \times 60'' = 3600''$
Ответ: $3600''$

1°1'
Для нахождения общего количества секунд, сложим секунды из градусов и минут.
$1^\circ = 3600''$
$1' = 60''$
$1^\circ1' = 3600'' + 60'' = 3660''$
Ответ: $3660''$

4°3'
Переведем градусы и минуты в секунды по отдельности, а затем сложим.
$4^\circ = 4 \times 3600'' = 14400''$
$3' = 3 \times 60'' = 180''$
$4^\circ3' = 14400'' + 180'' = 14580''$
Ответ: $14580''$

10°
Умножим количество градусов на 3600.
$10^\circ = 10 \times 3600'' = 36000''$
Ответ: $36000''$

10'
Умножим количество минут на 60.
$10' = 10 \times 60'' = 600''$
Ответ: $600''$

2.92. Выполните сложение по образцу.

$4^\circ7'19'' + 1^\circ52'48'' = 5^\circ59'67'' = 5^\circ60'7'' = 6^\circ7''$.

а) $37^\circ12' + 5^\circ7'19''$;

б) $49'33'' + 24'28''$;

в) $5^\circ27' + 3^\circ56'$;

г) $4^\circ17'29'' + 1^\circ45'38''$;

д) $23'52'' + 8''$;

е) $89^\circ59'59'' + 1''$.

Для выполнения сложения необходимо отдельно сложить градусы, минуты и секунды. Если сумма секунд или минут оказывается равной или большей 60, нужно выполнить преобразование в более крупные единицы (60 секунд = 1 минута, 60 минут = 1 градус), как показано в образце.

а) $37°12' + 5°7'19''$

Складываем градусы с градусами, минуты с минутами и секунды с секундами. В первом слагаемом секунды отсутствуют, что эквивалентно $0''$.
Сложение секунд: $0'' + 19'' = 19''$.
Сложение минут: $12' + 7' = 19'$.
Сложение градусов: $37° + 5° = 42°$.
Объединяем результаты: $42°19'19''$.
Ответ: $42°19'19''$.

б) $49'33'' + 24'28''$

Складываем минуты и секунды по отдельности.
Сложение секунд: $33'' + 28'' = 61''$.
Сложение минут: $49' + 24' = 73'$.
Получаем $73'61''$.
Так как $61''$ больше $60''$, преобразуем секунды в минуты: $61'' = 1'1''$.
Добавляем полученную 1 минуту к $73'$: $73' + 1' = 74'$. В секундах остается $1''$.
Получаем $74'1''$.
Так как $74'$ больше $60'$, преобразуем минуты в градусы: $74' = 1°14'$.
Ответ: $1°14'1''$.

в) $5°27' + 3°56'$

Складываем градусы и минуты по отдельности.
Сложение минут: $27' + 56' = 83'$.
Сложение градусов: $5° + 3° = 8°$.
Получаем $8°83'$.
Так как $83'$ больше $60'$, преобразуем минуты в градусы: $83' = 1°23'$.
Добавляем полученный 1 градус к $8°$: $8° + 1° = 9°$. В минутах остается $23'$.
Ответ: $9°23'$.

г) $4°17'29'' + 1°45'38''$

Складываем градусы, минуты и секунды по отдельности.
Сложение секунд: $29'' + 38'' = 67''$.
Сложение минут: $17' + 45' = 62'$.
Сложение градусов: $4° + 1° = 5°$.
Получаем $5°62'67''$.
Преобразуем секунды: $67'' = 1'7''$. Добавляем 1 минуту к $62'$, получаем $63'$, остается $7''$. Результат становится $5°63'7''$.
Преобразуем минуты: $63' = 1°3'$. Добавляем 1 градус к $5°$, получаем $6°$, остается $3'$.
Ответ: $6°3'7''$.

д) $23'52'' + 8''$

Складываем секунды.
$52'' + 8'' = 60''$.
Получаем $23'60''$.
Так как $60'' = 1'$, преобразуем секунды в минуты и добавляем к имеющимся минутам.
$23' + 1' = 24'$.
Ответ: $24'$.

е) $89°59'59'' + 1''$

Складываем секунды.
$59'' + 1'' = 60''$.
Получаем $89°59'60''$.
Преобразуем секунды в минуты: $60'' = 1'$. Добавляем эту минуту к $59'$, получаем $59' + 1' = 60'$.
Результат становится $89°60'$.
Преобразуем минуты в градусы: $60' = 1°$. Добавляем этот градус к $89°$, получаем $89° + 1° = 90°$.
Ответ: $90°$.

2.93. Выполните вычитание по образцу:

$4^\circ 17' 9'' - 3^\circ 29' 28'' = 4^\circ 16' 69'' - 3^\circ 29' 28'' = 3^\circ 76' 69'' - 3^\circ 29' 28'' = 47' 41''$

a) $17^\circ - 29'$

б) $9^\circ 31' - 2^\circ 58'$

в) $5' 47'' - 3' 56''$

г) $4^\circ 37' 19'' - 3^\circ 39' 58''$

д) $23' 5'' - 8''$

е) $1^\circ - 1''$

ж) $1^\circ - 1'$

з) $1^\circ - 59' 55''$

Основной принцип при вычитании величин, выраженных в градусах, минутах и секундах, — это вычитание по разрядам (секунды из секунд, минуты из минут, градусы из градусов). Если в уменьшаемом значение в каком-либо разряде меньше, чем в вычитаемом, необходимо "занять" единицу из старшего разряда. При этом нужно помнить, что $1^\circ = 60'$ и $1' = 60''$.

Для вычитания $17^\circ - 29'$, нужно занять 1 градус из 17 и перевести его в минуты, так как $1^\circ = 60'$. Получаем: $17^\circ = 16^\circ 60'$. Теперь можно выполнить вычитание: $16^\circ 60' - 29' = 16^\circ (60-29)' = 16^\circ 31'$. Ответ: $16^\circ 31'$.

В выражении $9^\circ 31' - 2^\circ 58'$, количество минут в уменьшаемом ($31'$) меньше, чем в вычитаемом ($58'$). Занимаем 1 градус из $9^\circ$ и переводим в минуты: $9^\circ 31' = 8^\circ (60+31)' = 8^\circ 91'$. Теперь вычитаем: $8^\circ 91' - 2^\circ 58' = (8-2)^\circ (91-58)' = 6^\circ 33'$. Ответ: $6^\circ 33'$.

В выражении $5' 47'' - 3' 56''$, количество секунд в уменьшаемом ($47''$) меньше, чем в вычитаемом ($56''$). Занимаем 1 минуту из $5'$ и переводим в секунды ($1' = 60''$): $5' 47'' = 4' (60+47)'' = 4' 107''$. Теперь вычитаем: $4' 107'' - 3' 56'' = (4-3)' (107-56)'' = 1' 51''$. Ответ: $1' 51''$.

В выражении $4^\circ 37' 19'' - 3^\circ 39' 58''$ выполняем вычитание по разрядам, начиная с секунд. Так как $19'' < 58''$, занимаем 1 минуту: $4^\circ 37' 19'' = 4^\circ 36' (60+19)'' = 4^\circ 36' 79''$. Теперь $36' < 39''$, занимаем 1 градус: $4^\circ 36' 79'' = 3^\circ (60+36)' 79'' = 3^\circ 96' 79''$. Выполняем вычитание: $3^\circ 96' 79'' - 3^\circ 39' 58'' = (3-3)^\circ (96-39)' (79-58)'' = 0^\circ 57' 21'' = 57' 21''$. Ответ: $57' 21''$.

В выражении $23' 5'' - 8''$, количество секунд в уменьшаемом ($5''$) меньше, чем в вычитаемом ($8''$). Занимаем 1 минуту из $23'$: $23' 5'' = 22' (60+5)'' = 22' 65''$. Теперь вычитаем: $22' 65'' - 8'' = 22' (65-8)'' = 22' 57''$. Ответ: $22' 57''$.

Чтобы выполнить вычитание $1^\circ - 1''$, представим $1^\circ$ в минутах и секундах. $1^\circ = 60' = 59' + 1' = 59' 60''$. Теперь вычитаем: $59' 60'' - 1'' = 59' (60-1)'' = 59' 59''$. Ответ: $59' 59''$.

Чтобы выполнить вычитание $1^\circ - 1'$, представим $1^\circ$ в минутах. $1^\circ = 60'$. Вычитаем: $60' - 1' = 59'$. Ответ: $59'$.

Чтобы выполнить вычитание $1^\circ - 59' 55''$, представим $1^\circ$ в минутах и секундах: $1^\circ = 59' 60''$. Теперь вычитаем: $59' 60'' - 59' 55'' = (59-59)' (60-55)'' = 0' 5'' = 5''$. Ответ: $5''$.

2.94. а) На отрезке $AB$ отметьте точки $C$ и $D$. Сколько отрезков получилось?

б) Постройте острый угол $AOB$. Проведите внутри этого угла два луча $OD$ и $OE$. Сколько острых углов получилось?

а) На отрезке AB отмечены две точки C и D. Таким образом, на прямой, содержащей отрезок AB, теперь есть четыре точки: A, B, C, D. Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Чтобы найти общее количество получившихся отрезков, нужно найти все возможные пары точек из этих четырех.

Перечислим все отрезки, называя их по крайним точкам:

• отрезки, начинающиеся в точке A: AC, AD, AB;
• отрезки, начинающиеся в точке C (не включая уже названные): CD, CB;
• отрезок, начинающийся в точке D (не включая уже названные): DB.

Всего получается $3 + 2 + 1 = 6$ отрезков.

Другой способ решения — использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 2 точки из 4 имеющихся (A, B, C, D) для образования отрезка. Это число сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Ответ: 6

б) Построен острый угол AOB. Это означает, что его градусная мера меньше 90°. Внутри этого угла проведены два луча, OD и OE, исходящие из той же вершины O. В результате у нас есть четыре луча, исходящих из одной точки: OA, OD, OE, OB (будем считать, что они расположены в таком порядке).

Угол образуется двумя лучами, выходящими из одной вершины. Чтобы найти общее количество углов, нужно найти все возможные пары лучей из этих четырех.

Перечислим все углы:

• углы, одной стороной которых является луч OA: ∠AOD, ∠AOE, ∠AOB;
• углы, одной стороной которых является луч OD (не включая уже названные): ∠DOE, ∠DOB;
• угол, одной стороной которого является луч OE (не включая уже названные): ∠EOB.

Всего получается $3 + 2 + 1 = 6$ углов.

Поскольку исходный угол ∠AOB — острый, а все остальные углы (∠AOD, ∠AOE, ∠DOE, ∠DOB, ∠EOB) являются его частями, их градусная мера будет меньше, чем у угла ∠AOB. Следовательно, все 6 получившихся углов являются острыми.

Эта задача также может быть решена с помощью комбинаторики, аналогично пункту а). Нам нужно выбрать 2 луча из 4 имеющихся для образования угла:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Ответ: 6

2.95. Внутри развёрнутого угла $ABC$ проведите луч $BD$. Он разбивает развёрнутый угол на два угла $ABD$ и $DBC$, которые называют смежными углами. Чему равна сумма величин смежных углов?

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой. Величина развёрнутого угла по определению составляет $180^\circ$.

В задаче дан развёрнутый угол $ABC$. Его величина равна $180^\circ$:

$∠ABC = 180^\circ$

Внутри этого угла проведён луч $BD$. Этот луч разбивает угол $ABC$ на два угла: $∠ABD$ и $∠DBC$. Согласно аксиоме измерения углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Следовательно, мы можем записать равенство:

$∠ABC = ∠ABD + ∠DBC$

Поскольку мы знаем, что $∠ABC = 180^\circ$, мы можем подставить это значение в равенство:

$∠ABD + ∠DBC = 180^\circ$

Углы $∠ABD$ и $∠DBC$, образованные таким образом, называются смежными. Таким образом, сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Ответ: Сумма величин смежных углов равна $180^\circ$.

2.96. Луч OC делит развёрнутый угол $AOB$ на два смежных угла $AOC$ и $BOC$ так, что угол $AOC$ на $30^\circ$ больше угла $BOC$. Найдите $\angle AOC$ и $\angle BOC$.

Развёрнутый угол AOB равен $180^\circ$. Луч OC делит его на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

По условию задачи, угол AOC на $30^\circ$ больше угла BOC. Пусть $\angle BOC = x$. Тогда $\angle AOC = x + 30^\circ$.

Составим и решим уравнение, используя свойство смежных углов:

$(x + 30^\circ) + x = 180^\circ$

$2x + 30^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 30^\circ$

$2x = 150^\circ$

$x = \frac{150^\circ}{2}$

$x = 75^\circ$

Таким образом, мы нашли величину угла BOC: $\angle BOC = 75^\circ$.

Теперь найдём величину угла AOC:

$\angle AOC = x + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 105^\circ$, $\angle BOC = 75^\circ$.

2.97. Луч $OC$ делит развёрнутый угол $AOB$ на два смежных угла $AOC$ и $BOC$ так, что угол $AOC$ в 3 раза больше угла $BOC$. Найдите $\angle AOC$ и $\angle BOC$.

Поскольку угол $AOB$ является развёрнутым, его градусная мера составляет $180^\circ$. Луч $OC$ делит этот угол на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, поэтому мы можем записать следующее равенство:

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle AOC$ в 3 раза больше $\angle BOC$. Обозначим градусную меру меньшего угла $\angle BOC$ через $x$. Тогда градусная мера угла $\angle AOC$ будет равна $3x$.

Теперь подставим эти выражения в наше равенство и решим полученное уравнение:

$3x + x = 180$

$4x = 180$

$x = \frac{180}{4}$

$x = 45$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой градусную меру угла $\angle BOC$. Теперь мы можем найти величины обоих углов.

Градусная мера угла $\angle BOC$ равна $x$.

$\angle BOC = x = 45^\circ$

Ответ: $\angle BOC = 45^\circ$.

Градусная мера угла $\angle AOC$ равна $3x$.

$\angle AOC = 3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Ответ: $\angle AOC = 135^\circ$.

2.98. Могут ли смежные углы быть:

а) оба прямые;

б) оба острые;

в) оба тупые?

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжениями друг друга. Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна развернутому углу, то есть $180^\circ$.
Обозначим два смежных угла как $ \alpha $ и $ \beta $. Тогда всегда выполняется условие: $ \alpha + \beta = 180^\circ $.
Рассмотрим каждый случай на основе этого свойства.

а) оба прямые
Прямой угол имеет градусную меру $90^\circ$. Если предположить, что оба смежных угла являются прямыми, то $ \alpha = 90^\circ $ и $ \beta = 90^\circ $.
Найдем их сумму: $ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.
Так как сумма равна $180^\circ$, это полностью соответствует свойству смежных углов. Такой случай возможен, когда две прямые пересекаются под прямым углом.
Ответ: да, могут.

б) оба острые
Острый угол имеет градусную меру меньше $90^\circ$. Если предположить, что оба смежных угла являются острыми, то $ \alpha < 90^\circ $ и $ \beta < 90^\circ $.
Сложив эти два неравенства, получим: $ \alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ $, что означает $ \alpha + \beta < 180^\circ $.
Это противоречит свойству смежных углов, согласно которому их сумма должна быть строго равна $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба острыми.
Ответ: нет, не могут.

в) оба тупые
Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$ (но меньше $180^\circ$). Если предположить, что оба смежных угла являются тупыми, то $ \alpha > 90^\circ $ и $ \beta > 90^\circ $.
Сложив эти два неравенства, получим: $ \alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ $, что означает $ \alpha + \beta > 180^\circ $.
Это также противоречит свойству смежных углов. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба тупыми.
Ответ: нет, не могут.