Страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.112. a) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника.

б) Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вычислите сторону этого треугольника.

а)

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Если сторона равностороннего треугольника равна $a$, то его периметр вычисляется по формуле:
$P = a + a + a = 3a$
По условию задачи, сторона треугольника $a = 7$ см. Подставим это значение в формулу:
$P = 3 \cdot 7 \text{ см} = 21 \text{ см}$

Ответ: 21 см.

б)

Периметр равностороннего треугольника ($P$) равен 27 см. Формула для периметра та же: $P = 3a$, где $a$ — длина стороны. Чтобы найти сторону треугольника, зная его периметр, нужно периметр разделить на 3:
$a = \frac{P}{3}$
Подставим известное значение периметра:
$a = \frac{27 \text{ см}}{3} = 9 \text{ см}$

Ответ: 9 см.

2.113 В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон: 5 см и 6 см. Каким может быть периметр треугольника?

Поскольку треугольник является равнобедренным, две из его сторон должны быть равны. Из условия задачи известны длины двух сторон — 5 см и 6 см. Это означает, что существует два возможных варианта для длин сторон треугольника.

Случай 1: Боковые (равные) стороны равны 5 см.
В этом варианте стороны треугольника имеют длины 5 см, 5 см и 6 см (основание).
Для существования любого треугольника необходимо, чтобы сумма длин любых двух его сторон была больше длины третьей стороны (неравенство треугольника). Проверим это условие:
$5 + 5 > 6 \Rightarrow 10 > 6$ (верно)
$5 + 6 > 5 \Rightarrow 11 > 5$ (верно)
Все условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует.
Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон:
$P_1 = 5 + 5 + 6 = 16$ см.

Случай 2: Боковые (равные) стороны равны 6 см.
В этом варианте стороны треугольника имеют длины 6 см, 6 см и 5 см (основание).
Снова проверим неравенство треугольника:
$6 + 6 > 5 \Rightarrow 12 > 5$ (верно)
$6 + 5 > 6 \Rightarrow 11 > 6$ (верно)
Условия также выполняются, значит, такой треугольник тоже существует.
Вычислим его периметр:
$P_2 = 6 + 6 + 5 = 17$ см.

Таким образом, существуют два возможных значения для периметра данного равнобедренного треугольника.
Ответ: периметр треугольника может быть 16 см или 17 см.

2.114. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 30 см, а одна из сторон на 3 см больше другой. Какими могут быть стороны треугольника ABC?

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания — как $b$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон, то есть $P = a + a + b = 2a + b$. По условию задачи, периметр равен 30 см, следовательно, $2a + b = 30$.

Условие "одна из сторон на 3 см больше другой" означает, что возможны два варианта соотношения сторон.

Случай 1: Боковая сторона на 3 см больше основания.

В этом случае, $a = b + 3$. Подставим это выражение в формулу периметра:

$2(b + 3) + b = 30$

$2b + 6 + b = 30$

$3b = 30 - 6$

$3b = 24$

$b = 8$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны:

$a = b + 3 = 8 + 3 = 11$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 11 см, 11 см и 8 см. Проверим, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей):

$11 + 11 > 8$ (22 > 8) - верно.

$11 + 8 > 11$ (19 > 11) - верно.

Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: стороны треугольника могут быть 11 см, 11 см и 8 см.

Случай 2: Основание на 3 см больше боковой стороны.

В этом случае, $b = a + 3$. Подставим это выражение в формулу периметра:

$2a + (a + 3) = 30$

$3a + 3 = 30$

$3a = 30 - 3$

$3a = 27$

$a = 9$ см.

Теперь найдем длину основания:

$b = a + 3 = 9 + 3 = 12$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 9 см, 9 см и 12 см. Проверим неравенство треугольника:

$9 + 9 > 12$ (18 > 12) - верно.

$9 + 12 > 9$ (21 > 9) - верно.

Следовательно, такой треугольник тоже существует.

Ответ: стороны треугольника могут быть 9 см, 9 см и 12 см.

2.115. а) Верно ли, что если два треугольника равны, то их периметры равны?

б) Верно ли, что если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

а)

Данное утверждение верно.
По определению, два треугольника называются равными (конгруэнтными), если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответственные стороны и соответственные углы равны.
Пусть дан треугольник $ \triangle ABC $ со сторонами $ a, b, c $ и равный ему треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ со сторонами $ a_1, b_1, c_1 $.
Так как $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, то их соответственные стороны равны: $ a = a_1, b = b_1, c = c_1 $.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Периметр первого треугольника: $ P_{ABC} = a + b + c $.
Периметр второго треугольника: $ P_{A_1B_1C_1} = a_1 + b_1 + c_1 $.
Поскольку $ a = a_1, b = b_1, c = c_1 $, мы можем подставить значения сторон первого треугольника в формулу периметра второго: $ P_{A_1B_1C_1} = a + b + c $.
Следовательно, $ P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1} $.
Таким образом, если два треугольника равны, то их периметры также равны.
Ответ: да, верно.

б)

Данное утверждение неверно. Это обратное утверждение к пункту а), и оно не всегда истинно.
Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример – два треугольника, которые не равны между собой, но имеют одинаковые периметры.
Рассмотрим два треугольника:
1. Равносторонний треугольник $ \triangle T_1 $ со сторонами $ a_1=4 $, $ b_1=4 $, $ c_1=4 $.
Его периметр $ P_1 = 4 + 4 + 4 = 12 $.
2. Прямоугольный треугольник $ \triangle T_2 $ со сторонами $ a_2=3 $, $ b_2=4 $, $ c_2=5 $. (Существование такого треугольника подтверждается неравенством треугольника: $3+4 > 5$).
Его периметр $ P_2 = 3 + 4 + 5 = 12 $.
Мы видим, что периметры обоих треугольников равны: $ P_1 = P_2 = 12 $.
Однако сами треугольники не равны, так как их соответственные стороны не равны. Треугольники с разными наборами длин сторон не могут быть равными.
Следовательно, равенство периметров не гарантирует равенство самих треугольников.
Ответ: нет, неверно.