Номер 2.115, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.115. а) Верно ли, что если два треугольника равны, то их периметры равны?

б) Верно ли, что если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

а)

Данное утверждение верно.
По определению, два треугольника называются равными (конгруэнтными), если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответственные стороны и соответственные углы равны.
Пусть дан треугольник $ \triangle ABC $ со сторонами $ a, b, c $ и равный ему треугольник $ \triangle A_1B_1C_1 $ со сторонами $ a_1, b_1, c_1 $.
Так как $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, то их соответственные стороны равны: $ a = a_1, b = b_1, c = c_1 $.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Периметр первого треугольника: $ P_{ABC} = a + b + c $.
Периметр второго треугольника: $ P_{A_1B_1C_1} = a_1 + b_1 + c_1 $.
Поскольку $ a = a_1, b = b_1, c = c_1 $, мы можем подставить значения сторон первого треугольника в формулу периметра второго: $ P_{A_1B_1C_1} = a + b + c $.
Следовательно, $ P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1} $.
Таким образом, если два треугольника равны, то их периметры также равны.
Ответ: да, верно.

б)

Данное утверждение неверно. Это обратное утверждение к пункту а), и оно не всегда истинно.
Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример – два треугольника, которые не равны между собой, но имеют одинаковые периметры.
Рассмотрим два треугольника:
1. Равносторонний треугольник $ \triangle T_1 $ со сторонами $ a_1=4 $, $ b_1=4 $, $ c_1=4 $.
Его периметр $ P_1 = 4 + 4 + 4 = 12 $.
2. Прямоугольный треугольник $ \triangle T_2 $ со сторонами $ a_2=3 $, $ b_2=4 $, $ c_2=5 $. (Существование такого треугольника подтверждается неравенством треугольника: $3+4 > 5$).
Его периметр $ P_2 = 3 + 4 + 5 = 12 $.
Мы видим, что периметры обоих треугольников равны: $ P_1 = P_2 = 12 $.
Однако сами треугольники не равны, так как их соответственные стороны не равны. Треугольники с разными наборами длин сторон не могут быть равными.
Следовательно, равенство периметров не гарантирует равенство самих треугольников.
Ответ: нет, неверно.