Номер 2.117, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 98

2.117. Найдите на рисунке 98 равные четырёхугольники.

Для того чтобы найти равные четырёхугольники, необходимо сравнить их форму и размеры. В геометрии равными фигурами называют фигуры, которые можно совместить наложением. Такие фигуры также называют конгруэнтными. У конгруэнтных многоугольников должны быть соответственно равны все стороны и все углы.

На рисунке изображены 8 фигур. Из них четырёхугольниками (фигурами с четырьмя сторонами) являются фигуры под номерами 1, 3, 4, 5 и 6.

Проанализируем каждый из этих четырёхугольников, принимая сторону клетки сетки за единицу длины.

Фигура 1
Это трапеция. Её верхнее основание имеет длину 3, нижнее — 1. Высота трапеции равна 2. Боковые стороны можно найти по теореме Пифагора. Левая боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Правая боковая сторона также является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина также равна $\sqrt{5}$. Таким образом, это равнобедренная трапеция.
Набор длин сторон: {3, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$}.

Фигура 3
Это прямоугольник со сторонами длиной 4 и 2.
Набор длин сторон: {4, 2, 4, 2}.

Фигура 4
Это четырёхугольник, у которого верхняя сторона горизонтальна, а левая — вертикальна, то есть левый верхний угол — прямой.
Длина верхней стороны равна 4.
Длина левой стороны равна 1.
Длина правой стороны — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Длина нижней стороны соединяет вершины, смещение между которыми по горизонтали 3, а по вертикали 1. Её длина равна $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
Набор длин сторон: {4, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$}.

Фигура 5
Это прямоугольная трапеция. Её параллельные стороны (основания) вертикальны и имеют длины 2 и 1. Высота трапеции (расстояние между основаниями) равна 3.
Длины сторон: нижняя сторона — 3, правая — 1, левая — 2. Наклонная сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 1 (разность длин оснований), её длина $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
Набор длин сторон: {3, 1, 2, $\sqrt{10}$}.

Фигура 6
Это прямоугольник со сторонами длиной 2 и 3.
Набор длин сторон: {2, 3, 2, 3}.

Теперь сравним наборы длин сторон всех четырёхугольников:
Фигура 1: {3, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$}
Фигура 3: {4, 2, 4, 2}
Фигура 4: {4, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$}
Фигура 5: {3, 1, 2, $\sqrt{10}$}
Фигура 6: {2, 3, 2, 3}

Сравнивая эти наборы, мы видим, что ни у одной пары четырёхугольников нет одинакового набора длин сторон. Поскольку для равенства (конгруэнтности) фигур необходимо равенство соответствующих сторон, можно сделать вывод, что на данном рисунке нет равных четырёхугольников.

Ответ: На рисунке 98 нет равных четырёхугольников.