Номер 2.118, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.118. Постройте два равных четырёхугольника.

Чтобы построить два равных четырехугольника, необходимо сначала построить один произвольный четырехугольник, а затем создать его точную копию. Два четырехугольника считаются равными (конгруэнтными), если у них соответственно равны все стороны и все углы. Построение можно выполнить с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольный четырехугольник и обозначим его вершины A, B, C, D.
2. Проведем в нем диагональ, например, AC. Эта диагональ разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
3. Теперь построим второй четырехугольник A'B'C'D', равный ABCD, путем последовательного построения треугольников, равных $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для этого выберем на плоскости произвольную точку A'.
4. С помощью циркуля измерим длину диагонали AC. Проведем из точки A' луч и отложим на нем отрезок A'C', равный AC.
5. Построим треугольник $\triangle A'B'C'$, равный $\triangle ABC$, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):
   • Измерим циркулем сторону AB. Из точки A' как из центра проведем дугу этим радиусом.
   • Измерим циркулем сторону BC. Из точки C' как из центра проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересеклась с первой.
   • Точку пересечения дуг (с любой стороны от отрезка A'C') обозначим B'. Соединим точки A', B' и C'. Полученный треугольник $\triangle A'B'C'$ равен $\triangle ABC$.
6. Аналогично построим треугольник $\triangle A'D'C'$, равный $\triangle ADC$, по другую сторону от отрезка A'C':
   • Измерим циркулем сторону AD. Из точки A' как из центра проведем дугу этим радиусом.
   • Измерим циркулем сторону CD. Из точки C' как из центра проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересеклась с предыдущей дугой.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим D'. Соединим точки A', D' и C'. Полученный треугольник $\triangle A'D'C'$ равен $\triangle ADC$.
7. Соединив последовательно вершины A', B', C', D', мы получим второй четырехугольник.

Построенный четырехугольник A'B'C'D' равен исходному четырехугольнику ABCD, так как он состоит из двух треугольников ($\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$), которые по построению соответственно равны треугольникам ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$), составляющим четырехугольник ABCD, и они примыкают друг к другу по равной стороне (диагонали) $A'C' = AC$.

Ответ: Для построения двух равных четырехугольников необходимо построить один произвольный четырехугольник, разделить его диагональю на два треугольника, а затем, используя циркуль и линейку, построить два других треугольника, соответственно равных исходным по трем сторонам, так, чтобы они имели общую сторону, равную проведенной диагонали, и лежали по разные стороны от нее.