Страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 98

2.117. Найдите на рисунке 98 равные четырёхугольники.

Для того чтобы найти равные четырёхугольники, необходимо сравнить их форму и размеры. В геометрии равными фигурами называют фигуры, которые можно совместить наложением. Такие фигуры также называют конгруэнтными. У конгруэнтных многоугольников должны быть соответственно равны все стороны и все углы.

На рисунке изображены 8 фигур. Из них четырёхугольниками (фигурами с четырьмя сторонами) являются фигуры под номерами 1, 3, 4, 5 и 6.

Проанализируем каждый из этих четырёхугольников, принимая сторону клетки сетки за единицу длины.

Фигура 1
Это трапеция. Её верхнее основание имеет длину 3, нижнее — 1. Высота трапеции равна 2. Боковые стороны можно найти по теореме Пифагора. Левая боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Правая боковая сторона также является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина также равна $\sqrt{5}$. Таким образом, это равнобедренная трапеция.
Набор длин сторон: {3, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$}.

Фигура 3
Это прямоугольник со сторонами длиной 4 и 2.
Набор длин сторон: {4, 2, 4, 2}.

Фигура 4
Это четырёхугольник, у которого верхняя сторона горизонтальна, а левая — вертикальна, то есть левый верхний угол — прямой.
Длина верхней стороны равна 4.
Длина левой стороны равна 1.
Длина правой стороны — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, её длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Длина нижней стороны соединяет вершины, смещение между которыми по горизонтали 3, а по вертикали 1. Её длина равна $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
Набор длин сторон: {4, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$}.

Фигура 5
Это прямоугольная трапеция. Её параллельные стороны (основания) вертикальны и имеют длины 2 и 1. Высота трапеции (расстояние между основаниями) равна 3.
Длины сторон: нижняя сторона — 3, правая — 1, левая — 2. Наклонная сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 1 (разность длин оснований), её длина $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
Набор длин сторон: {3, 1, 2, $\sqrt{10}$}.

Фигура 6
Это прямоугольник со сторонами длиной 2 и 3.
Набор длин сторон: {2, 3, 2, 3}.

Теперь сравним наборы длин сторон всех четырёхугольников:
Фигура 1: {3, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$}
Фигура 3: {4, 2, 4, 2}
Фигура 4: {4, 1, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$}
Фигура 5: {3, 1, 2, $\sqrt{10}$}
Фигура 6: {2, 3, 2, 3}

Сравнивая эти наборы, мы видим, что ни у одной пары четырёхугольников нет одинакового набора длин сторон. Поскольку для равенства (конгруэнтности) фигур необходимо равенство соответствующих сторон, можно сделать вывод, что на данном рисунке нет равных четырёхугольников.

Ответ: На рисунке 98 нет равных четырёхугольников.

2.118. Постройте два равных четырёхугольника.

Чтобы построить два равных четырехугольника, необходимо сначала построить один произвольный четырехугольник, а затем создать его точную копию. Два четырехугольника считаются равными (конгруэнтными), если у них соответственно равны все стороны и все углы. Построение можно выполнить с помощью циркуля и линейки.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольный четырехугольник и обозначим его вершины A, B, C, D.
2. Проведем в нем диагональ, например, AC. Эта диагональ разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
3. Теперь построим второй четырехугольник A'B'C'D', равный ABCD, путем последовательного построения треугольников, равных $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Для этого выберем на плоскости произвольную точку A'.
4. С помощью циркуля измерим длину диагонали AC. Проведем из точки A' луч и отложим на нем отрезок A'C', равный AC.
5. Построим треугольник $\triangle A'B'C'$, равный $\triangle ABC$, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):
   • Измерим циркулем сторону AB. Из точки A' как из центра проведем дугу этим радиусом.
   • Измерим циркулем сторону BC. Из точки C' как из центра проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересеклась с первой.
   • Точку пересечения дуг (с любой стороны от отрезка A'C') обозначим B'. Соединим точки A', B' и C'. Полученный треугольник $\triangle A'B'C'$ равен $\triangle ABC$.
6. Аналогично построим треугольник $\triangle A'D'C'$, равный $\triangle ADC$, по другую сторону от отрезка A'C':
   • Измерим циркулем сторону AD. Из точки A' как из центра проведем дугу этим радиусом.
   • Измерим циркулем сторону CD. Из точки C' как из центра проведем дугу этим радиусом так, чтобы она пересеклась с предыдущей дугой.
   • Точку пересечения этих дуг обозначим D'. Соединим точки A', D' и C'. Полученный треугольник $\triangle A'D'C'$ равен $\triangle ADC$.
7. Соединив последовательно вершины A', B', C', D', мы получим второй четырехугольник.

Построенный четырехугольник A'B'C'D' равен исходному четырехугольнику ABCD, так как он состоит из двух треугольников ($\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$), которые по построению соответственно равны треугольникам ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$), составляющим четырехугольник ABCD, и они примыкают друг к другу по равной стороне (диагонали) $A'C' = AC$.

Ответ: Для построения двух равных четырехугольников необходимо построить один произвольный четырехугольник, разделить его диагональю на два треугольника, а затем, используя циркуль и линейку, построить два других треугольника, соответственно равных исходным по трем сторонам, так, чтобы они имели общую сторону, равную проведенной диагонали, и лежали по разные стороны от нее.

2.119. a) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры?

б) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны?

а) Утверждение верно. По определению, равные (или конгруэнтные) фигуры — это фигуры, которые можно совместить наложением. У равных многоугольников, в частности у четырёхугольников, соответственные стороны равны.
Пусть есть два равных четырёхугольника. Стороны первого равны $a_1, b_1, c_1, d_1$, а стороны второго — $a_2, b_2, c_2, d_2$.
Периметр первого четырёхугольника: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1$.
Периметр второго четырёхугольника: $P_2 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2$.
Так как четырёхугольники равны, то их соответственные стороны равны: $a_1 = a_2$, $b_1 = b_2$, $c_1 = c_2$ и $d_1 = d_2$.
Следовательно, сумма длин сторон первого четырёхугольника равна сумме длин сторон второго: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2 = P_2$.
Таким образом, если четырёхугольники равны, то равны и их периметры.
Ответ: да, верно.

б) Утверждение неверно. Это утверждение, обратное утверждению из пункта а). Если у двух четырёхугольников равны периметры, это не означает, что сами четырёхугольники равны. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести контрпример.
Рассмотрим два четырёхугольника:
1. Квадрат со стороной $a = 4$. Его периметр $P_1 = 4a = 4 \cdot 4 = 16$.
2. Прямоугольник со сторонами $b = 5$ и $c = 3$. Его периметр $P_2 = 2(b+c) = 2(5+3) = 2 \cdot 8 = 16$.
Периметры этих фигур равны: $P_1 = P_2 = 16$.
Однако сами фигуры не равны. У квадрата все стороны равны 4, а у прямоугольника — 5 и 3. У равных фигур должны быть соответственно равны все стороны и углы, что в данном случае не выполняется.
Ответ: нет, неверно.

2.120 Какой четырёхугольник называют прямоугольником?

Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

Так как прямоугольник является четырёхугольником с четырьмя прямыми углами, из этого определения вытекают его основные свойства. Во-первых, противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны, что делает его частным случаем параллелограмма. Следовательно, у прямоугольника противоположные стороны также и равны. Во-вторых, диагонали прямоугольника равны друг другу и в точке пересечения делятся пополам. Длину диагонали $d$ можно вычислить через длины его смежных сторон $a$ и $b$ с помощью теоремы Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$.

Частным случаем прямоугольника является квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Ответ: Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2.121. a) Какой прямоугольник называют квадратом?

б) Является ли любой квадрат прямоугольником? Является ли любой прямоугольник квадратом?

а) Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Следовательно, квадрат — это частный случай прямоугольника, который обладает дополнительным свойством: равенством всех сторон.

Ответ: Прямоугольник, у которого все стороны равны.

б) Этот вопрос состоит из двух частей, рассмотрим их по порядку.

1. Является ли любой квадрат прямоугольником?
Да, любой квадрат является прямоугольником. Основное свойство прямоугольника — наличие четырех прямых углов. Поскольку у любого квадрата по определению все углы прямые, он полностью удовлетворяет определению прямоугольника.

2. Является ли любой прямоугольник квадратом?
Нет, не любой прямоугольник является квадратом. Чтобы прямоугольник был квадратом, у него должны быть все стороны равны. У прямоугольника же по определению равны только противолежащие стороны. Например, прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см не является квадратом, так как его смежные стороны не равны ($4 \neq 6$). Квадратом является лишь тот частный случай прямоугольника, у которого длина равна ширине.

Ответ: Да, любой квадрат является прямоугольником. Нет, не любой прямоугольник является квадратом.

2.122. Какой из четырёхугольников, изображённых на рисунке 99, является:

а) прямоугольником;

б) квадратом?

Рис. 99

а)

Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). Проанализируем каждую фигуру, изображенную на рисунке:
- ABCD: у этого четырёхугольника все углы визуально являются прямыми. Следовательно, ABCD — прямоугольник.
- NKLM: это параллелограмм, его углы не равны $90^\circ$.
- FGHE: это прямоугольная трапеция, только два её угла (при вершинах G и H) являются прямыми.
- PQRS: у этого четырёхугольника все углы прямые и все стороны равны. Так как все углы прямые, он также является прямоугольником.
Таким образом, прямоугольниками являются две фигуры.
Ответ: ABCD и PQRS.

б)

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Среди фигур, определённых как прямоугольники в пункте а), найдём ту, что соответствует этому определению:
- ABCD: это прямоугольник, но его смежные стороны не равны по длине ($AB > AD$). Значит, это не квадрат.
- PQRS: это прямоугольник, у которого, судя по изображению, все четыре стороны равны. Следовательно, PQRS — это квадрат.
Ответ: PQRS.

2.123 Постройте в тетради прямоугольник со сторонами:

а) 5 см и 3 см;

б) 71 мм и 27 мм.

а)

Чтобы построить прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см, нам понадобятся линейка и угольник (или транспортир для построения прямых углов).
1. С помощью линейки начертите горизонтальный отрезок AB длиной 5 см. Это будет первая сторона прямоугольника.
2. В точке A приложите угольник так, чтобы одна его сторона лежала на отрезке AB. Вдоль второй стороны угольника проведите вверх перпендикулярный отрезок AD длиной 3 см. Угол DAB должен быть прямым, то есть $90^\circ$.
3. Аналогично в точке B постройте перпендикулярный к AB отрезок BC длиной 3 см, направленный в ту же сторону, что и AD. Угол ABC также должен быть равен $90^\circ$.
4. Соедините точки D и C отрезком. Проверьте с помощью линейки, что длина отрезка DC равна 5 см.
Полученная фигура ABCD — искомый прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному алгоритму.

б)

Построение прямоугольника со сторонами 71 мм и 27 мм выполняется аналогично. Для удобства можно использовать линейку с миллиметровой шкалой или мысленно перевести размеры в сантиметры: 71 мм = 7,1 см, 27 мм = 2,7 см.
1. Начертите отрезок KL длиной 71 мм (7,1 см).
2. Из точки K проведите перпендикулярный к KL отрезок KN длиной 27 мм (2,7 см). Угол LKN должен быть прямым ($90^\circ$). Для этого используйте угольник.
3. Из точки L проведите перпендикулярный к KL отрезок LM в ту же сторону, что и KN. Длина LM должна быть 27 мм (2,7 см). Угол KLM также должен быть равен $90^\circ$.
4. Соедините точки N и M. Длина отрезка NM должна получиться равной 71 мм (7,1 см).
Четырехугольник KLMN — требуемый прямоугольник со сторонами 71 мм и 27 мм.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному алгоритму.

2.124. Постройте в тетради квадрат со стороной:

а) $4 \text{ см}$;

б) $34 \text{ мм}$.

а)

Чтобы построить квадрат со стороной 4 см, необходимо выполнить следующие действия, используя линейку и угольник (или транспортир):

1. Начертите с помощью линейки горизонтальный отрезок AB длиной 4 см.
2. Приложите угольник к точке A так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпадала с отрезком AB.
3. Вдоль второй стороны угольника проведите вверх отрезок AD длиной 4 см. Угол DAB будет прямым ($90^\circ$).
4. Теперь приложите угольник к точке B так, чтобы одна из его сторон совпадала с отрезком AB.
5. Вдоль второй стороны угольника проведите вверх отрезок BC длиной 4 см. Угол ABC также будет прямым ($90^\circ$).
6. Соедините точки D и C с помощью линейки.
7. Проверьте, что длина отрезка DC также равна 4 см. Полученная фигура ABCD является квадратом со стороной 4 см.

Ответ: Построен квадрат со стороной 4 см.

б)

Для удобства построения сначала переведем миллиметры в сантиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому:

$34 \text{ мм} = 3,4 \text{ см}$

Далее построение выполняется аналогично предыдущему пункту, но с длиной стороны 3,4 см.

1. Начертите с помощью линейки отрезок EF длиной 3,4 см.
2. Используя угольник, постройте в точке E перпендикулярный к EF отрезок EH, длина которого равна 3,4 см. Угол HEF должен быть равен $90^\circ$.
3. Аналогично постройте в точке F перпендикулярный к EF отрезок FG, длина которого также равна 3,4 см. Угол GFE должен быть равен $90^\circ$.
4. Соедините отрезком точки H и G.
5. Полученная фигура EFGH — искомый квадрат со стороной 34 мм.

Ответ: Построен квадрат со стороной 34 мм.

2.125. Найдите периметр прямоугольника со сторонами:

а) $12 \text{ см}$ и $9 \text{ см}$;

б) $93 \text{ см}$ и $2 \text{ см}$;

в) $11 \text{ см}$ и $47 \text{ мм}$;

г) $17 \text{ см}$ и $3 \text{ дм}$.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, его периметр ($P$) можно вычислить по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

а) Стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \cdot (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42$ см.
Ответ: 42 см.

б) Стороны прямоугольника равны 93 см и 2 см.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \cdot (93 + 2) = 2 \cdot 95 = 190$ см.
Ответ: 190 см.

в) Стороны прямоугольника равны 11 см и 47 мм.
Для вычисления периметра необходимо привести обе длины к одной единице измерения. Переведем миллиметры в сантиметры. Поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $47 \text{ мм} = 4.7 \text{ см}$.
Теперь найдем периметр:
$P = 2 \cdot (11 + 4.7) = 2 \cdot 15.7 = 31.4$ см.
Ответ: 31.4 см.

г) Стороны прямоугольника равны 17 см и 3 дм.
Приведем обе длины к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $3 \text{ дм} = 30 \text{ см}$.
Теперь найдем периметр:
$P = 2 \cdot (17 + 30) = 2 \cdot 47 = 94$ см.
Ответ: 94 см.