Страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.156. На рисунке 106 изображён прямоугольный параллелепипед.

Назовите его грани, рёбра и вершины.

Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок 106, для решения воспользуемся стандартным обозначением вершин прямоугольного параллелепипеда. Пусть вершины нижнего основания будут A, B, C, D, а соответствующими им вершинами верхнего основания — A₁, B₁, C₁, D₁.

Грани
Грани — это плоские поверхности (многоугольники), которые образуют тело многогранника. Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, и все они являются прямоугольниками.
- Две грани являются основаниями: нижнее основание ABCD и верхнее основание A₁B₁C₁D₁.
- Четыре грани являются боковыми: передняя ABB₁A₁, задняя DCC₁D₁, левая ADD₁A₁ и правая BCC₁B₁.
Ответ: Грани параллелепипеда: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, DCC₁D₁, ADD₁A₁.

Рёбра
Рёбра — это отрезки, которые являются сторонами граней. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер.
- Четыре ребра нижнего основания: AB, BC, CD, DA.
- Четыре ребра верхнего основания: A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁.
- Четыре боковых ребра, соединяющих вершины оснований: AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.
Ответ: Рёбра параллелепипеда: AB, BC, CD, DA, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

Вершины
Вершины — это точки, в которых сходятся рёбра. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин.
- Четыре вершины нижнего основания: A, B, C, D.
- Четыре вершины верхнего основания: A₁, B₁, C₁, D₁.
Ответ: Вершины параллелепипеда: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

2.157. Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, рёбер и вершин?

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Давайте последовательно посчитаем количество его элементов.

Грани
Гранью называют плоскую поверхность, которая ограничивает геометрическое тело. У прямоугольного параллелепипеда есть верхняя и нижняя грани (основания), а также четыре боковые грани (передняя, задняя, левая и правая). Таким образом, общее число граней равно $2 + 4 = 6$.
Ответ: 6 граней.

Рёбра
Ребро — это отрезок, который образуется на пересечении двух граней. У прямоугольного параллелепипеда 4 ребра образуют верхнее основание, 4 ребра — нижнее основание, и ещё 4 боковых ребра соединяют вершины верхнего и нижнего оснований. Всего рёбер: $4 + 4 + 4 = 12$.
Ответ: 12 рёбер.

Вершины
Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра. У прямоугольного параллелепипеда 4 вершины принадлежат верхнему основанию и 4 — нижнему. Всего вершин: $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8 вершин.

Эти значения можно проверить с помощью теоремы Эйлера для многогранников, которая гласит, что для любого выпуклого многогранника число вершин ($В$), рёбер ($Р$) и граней ($Г$) связано формулой: $В - Р + Г = 2$.
Подставив наши значения, получаем: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется, следовательно, подсчеты верны.

2.158. а) Что называют кубом?

б) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом?

Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом?

а) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра (длина, ширина и высота) равны. Это означает, что все шесть граней куба являются равными квадратами.
Ответ: Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

б) Этот пункт содержит два вопроса, которые нужно рассмотреть отдельно.
Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом?
Нет. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Его измерения (длина $a$, ширина $b$ и высота $c$) могут быть различными. Чтобы прямоугольный параллелепипед был кубом, необходимо, чтобы все его рёбра были равны, то есть $a = b = c$. Если это условие не выполняется (например, $a \neq b$), то фигура не является кубом.
Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом?
Да. По определению, все грани куба являются квадратами. Поскольку любой квадрат — это частный случай прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами), то куб удовлетворяет определению прямоугольного параллелепипеда (многогранник, все грани которого — прямоугольники). Таким образом, куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: Нет, не любой прямоугольный параллелепипед является кубом. Да, любой куб является прямоугольным параллелепипедом.

2.159. Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда. Обозначьте его вершины буквами.

Прямоугольный параллелепипед — это объемная геометрическая фигура, у которой 6 граней, и каждая из них является прямоугольником. Для выполнения рисунка в тетради следуйте шагам:

1. Начните с рисования передней грани. Это прямоугольник.
2. Из каждой вершины этого прямоугольника проведите назад и под одним и тем же углом четыре равных параллельных отрезка.
3. Соедините концы этих отрезков. У вас получится задняя грань, также в виде прямоугольника.
4. Ребра, которые не должны быть видны (обычно это три ребра: одно заднее вертикальное, одно заднее нижнее и одно боковое нижнее), сделайте штриховыми линиями.
5. Обозначьте все восемь вершин заглавными латинскими буквами. Обычно вершины нижнего основания обозначают $A, B, C, D$, а соответствующие им вершины верхнего основания — $A_1, B_1, C_1, D_1$.

Ниже представлен пример такого рисунка.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Вершины: $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.
Грани (прямоугольники): $ABCD$ (нижнее основание), $A_1B_1C_1D_1$ (верхнее основание), $ABB_1A_1$ (передняя грань), $DCC_1D_1$ (задняя грань), $ADD_1A_1$ (левая боковая грань), $BCC_1B_1$ (правая боковая грань).
Ребра: $AB, BC, CD, DA, A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1, AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$. Всего 12 ребер.

Ответ: Рисунок прямоугольного параллелепипеда с обозначенными вершинами и описание его элементов представлены выше.

2.160. Постройте развёртку куба со стороной 2 см.

2.160.

Развёртка куба — это плоская (двумерная) фигура, которую можно согнуть по линиям, чтобы получить трёхмерную модель куба. Куб имеет 6 одинаковых квадратных граней. Следовательно, его развёртка должна состоять из шести одинаковых квадратов, соединённых рёбрами.

По условию, сторона куба равна $2$ см. Это значит, что каждая из шести граней-квадратов в развёртке должна иметь сторону длиной $2$ см.

Существует 11 различных способов расположить 6 квадратов так, чтобы они образовывали развёртку куба. Рассмотрим один из самых простых и узнаваемых вариантов, напоминающий крест.

Порядок построения:

1. Возьмите лист бумаги (удобнее всего в клетку), линейку и карандаш.
2. Начертите в ряд четыре квадрата со стороной $2$ см. Они должны примыкать друг к другу, образуя прямоугольник размером $8$ см $\times$ $2$ см.
3. Выберите один из центральных квадратов в этом ряду (например, второй слева). Пристройте к его верхней стороне пятый квадрат со стороной $2$ см.
4. К нижней стороне того же центрального квадрата пристройте шестой квадрат со стороной $2$ см.

Полученная фигура и есть развёртка куба. Ниже приведена её схема.

Ответ: Чтобы построить развёртку куба со стороной $2$ см, необходимо начертить на плоскости шесть соединённых между собой квадратов, каждый со стороной $2$ см. Один из возможных вариантов такой фигуры показан на схеме выше.

2.161. Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину. Вырежьте её, оставляя в нужных местах припуски для склеивания. Склейте модель прямоугольного параллелепипеда.

Для того чтобы построить развёртку спичечного коробка в натуральную величину и склеить из неё модель, необходимо последовательно выполнить несколько шагов. За основу возьмём стандартные размеры спичечного коробка: длина $a=50$ мм, ширина $b=37$ мм и высота $c=13$ мм.

Необходимые материалы:

• Альбомный лист плотной бумаги или тонкого картона
• Простой карандаш и ластик
• Линейка
• Ножницы
• Клей для бумаги (например, ПВА или клей-карандаш)

Порядок действий:

1. Построение развёртки спичечного коробка

   Развёртка — это плоская фигура, из которой складывается объёмное тело. Для нашего прямоугольного параллелепипеда она будет состоять из 6 прямоугольников (граней) и припусков для склеивания.

   1. Начертите на листе бумаги так называемый "пояс" коробка. Он состоит из четырёх прямоугольников, расположенных в один ряд по горизонтали. Все они имеют одинаковую высоту $c = 13$ мм, а их ширина чередуется в следующем порядке:

   • Первый прямоугольник (боковая грань): $b \times c$ ($37 \times 13$ мм).
   • Второй прямоугольник (передняя грань): $a \times c$ ($50 \times 13$ мм).
   • Третий прямоугольник (вторая боковая грань): $b \times c$ ($37 \times 13$ мм).
   • Четвёртый прямоугольник (задняя грань): $a \times c$ ($50 \times 13$ мм).

   2. К нижней стороне прямоугольника "передняя грань" (второго в ряду) причертите прямоугольник "дно" размером $a \times b$ ($50 \times 37$ мм).

   3. К верхней стороне прямоугольника "передняя грань" причертите прямоугольник "крышка" размером $a \times b$ ($50 \times 37$ мм).

   4. Добавьте припуски для склеивания — это небольшие полоски шириной 5–7 мм, которые нужно дорисовать вдоль следующих краёв:

   • К правой вертикальной стороне "задней грани" (самой правой в "поясе").
   • К трём свободным сторонам "дна" (левой, правой и нижней).
   • К трём свободным сторонам "крышки" (левой, правой и верхней).

   Для более аккуратной склейки внешние уголки припусков можно срезать под углом 45 градусов. Ниже приведена схема развёртки (припуски на ней условно не показаны).

    +-------------------------+ | | | Крышка | | (50 x 37 мм) | | | +-------------------------++------------------+-------------------------+------------------+-------------------------+| Боковая грань 1 | Передняя грань | Боковая грань 2 | Задняя грань || (37 x 13 мм) | (50 x 13 мм) | (37 x 13 мм) | (50 x 13 мм) |+------------------+-------------------------+------------------+-------------------------+ | | | Дно | | (50 x 37 мм) | | | +-------------------------+ 

2. Вырезание и сгибание развёртки

   Аккуратно вырежьте всю начерченную фигуру по внешнему контуру, включая припуски для склеивания. Затем, используя линейку, аккуратно согните заготовку по всем внутренним линиям. Чтобы сгибы получились ровными и чёткими, можно предварительно с нажимом провести по этим линиям тупой стороной ножниц или непишущей ручкой (этот процесс называется биговкой).

3. Склеивание модели

   1. Смажьте клеем боковой припуск на "задней грани" и склейте "пояс" в прямоугольную трубу, подклеив этот припуск к внутренней стороне "боковой грани 1".

   2. Загните припуски "дна" внутрь. Нанесите на них клей и аккуратно сформируйте дно коробка, прижимая припуски к соответствующим внутренним стенкам.

   3. Повторите операцию для "крышки": смажьте клеем её припуски, загните их и закройте коробок, приклеив крышку к верхним краям стенок.

   4. Плотно прижмите все места склейки и оставьте модель до полного высыхания клея.

В результате проделанной работы у вас получится аккуратная модель прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину спичечного коробка.

Ответ: Для создания модели спичечного коробка необходимо начертить на бумаге развёртку, состоящую из шести основных прямоугольных граней (две грани $50 \times 37$ мм, две грани $50 \times 13$ мм и две грани $37 \times 13$ мм) и припусков для склеивания, как показано на схеме и в описании. Затем развёртку следует вырезать, согнуть по линиям и последовательно склеить, чтобы получить объёмную модель прямоугольного параллелепипеда.