Страница 110 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 101

Четырёхугольник, все стороны которого равны, называют ромбом. На рисунке 101 изображены ромбы $ABCD$ и $MNKL$. Измерьте их стороны и вычислите периметры.

Ромб ABCD
Для того чтобы измерить сторону ромба ABCD, воспользуемся сеткой. Рассмотрим сторону AB. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 клеткам по горизонтали и 2 клеткам по вертикали. Примем длину одной клетки за 1 единицу. По теореме Пифагора найдем длину стороны $a$:
$a^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
$a = \sqrt{13}$ единиц.
Так как все стороны ромба равны, его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P_{ABCD} = 4 \times \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$ единиц.
Ответ: сторона ромба равна $\sqrt{13}$ единиц, периметр равен $4\sqrt{13}$ единиц.

Ромб MNKL
Стороны ромба MNKL расположены вдоль линий сетки, поэтому их длину можно найти, посчитав клетки. Длина стороны MN (и остальных сторон) равна 4 клеткам. Примем длину одной клетки за 1 единицу.
Длина стороны $a = 4$ единицы.
Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P_{MNKL} = 4 \times 4 = 16$ единиц.
Ответ: сторона ромба равна 4 единицам, периметр равен 16 единицам.

2.137. а) Чему равен периметр ромба, если одна его сторона равна 20 см?

б) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен 20 см?

а) Ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Периметр любой фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Если сторона ромба равна $a$, то его периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = a + a + a + a = 4a$

По условию задачи, длина стороны ромба $a = 20$ см. Подставим это значение в формулу:

$P = 4 \cdot 20 \text{ см} = 80 \text{ см}$

Ответ: 80 см.

б) Для нахождения стороны ромба $a$, зная его периметр $P$, нужно использовать ту же формулу $P = 4a$. Выразим из нее сторону $a$:

$a = \frac{P}{4}$

По условию, периметр ромба $P = 20$ см. Подставим это значение в формулу для нахождения стороны:

$a = \frac{20 \text{ см}}{4} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

2.138. Постройте ромб $KLMN$, если $KL=4$ см, $\angle K=60^\circ$. Измерьте длину отрезка $LN$ и величину угла $L$.

Построение ромба KLMN

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. По условию, сторона ромба $KL = 4$ см, следовательно, все стороны ромба $KLMN$ равны 4 см: $KL = LM = MN = NK = 4$ см. Также дан угол $\angle K = 60^\circ$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Начертите отрезок $KL$ длиной 4 см.
2. От точки $K$ с помощью транспортира отложите угол, равный $60^\circ$.
3. На луче, образующем этот угол, отложите отрезок $KN$ длиной 4 см.
4. Из точки $N$ проведите дугу окружности радиусом 4 см.
5. Из точки $L$ проведите дугу окружности радиусом 4 см до пересечения с первой дугой.
6. Точку пересечения дуг обозначьте как $M$.
7. Соедините отрезками точки $L$ и $M$, а также $N$ и $M$.

Полученный четырехугольник $KLMN$ является искомым ромбом.

Измерение длины отрезка LN

Рассмотрим треугольник $\triangle KLN$. В этом треугольнике стороны $KL$ и $KN$ равны 4 см, так как это стороны ромба. Угол между этими сторонами $\angle K = 60^\circ$.

Поскольку две стороны треугольника равны ($KL = KN$), треугольник $\triangle KLN$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle KLN = \angle KNL$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:
$\angle K + \angle KLN + \angle KNL = 180^\circ$
$60^\circ + 2 \cdot \angle KLN = 180^\circ$
$2 \cdot \angle KLN = 180^\circ - 60^\circ$
$2 \cdot \angle KLN = 120^\circ$
$\angle KLN = 60^\circ$

Так как все углы треугольника $\triangle KLN$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны, и длина отрезка $LN$ также равна 4 см.

Ответ: $LN = 4$ см.

Измерение величины угла L

В любом ромбе (как и в любом параллелограмме) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $K$ и $L$ прилежат к стороне $KL$.

Следовательно, $\angle K + \angle L = 180^\circ$.
Подставим известное значение $\angle K = 60^\circ$:
$60^\circ + \angle L = 180^\circ$
$\angle L = 180^\circ - 60^\circ$
$\angle L = 120^\circ$

Ответ: $\angle L = 120^\circ$.

2.139. Периметр треугольника $ABD$ равен 12 см, периметр треугольника $BDC$ — 30 см, а периметр четырёхугольника $ABCD$ — 32 см (рис. 102). Определите длину отрезка $BD$.

Обозначим периметры треугольников ABD и BDC как $P_{ABD}$ и $P_{BDC}$ соответственно, а периметр четырехугольника ABCD как $P_{ABCD}$.

По определению периметра запишем известные нам данные в виде уравнений:

1. Периметр треугольника ABD: $P_{ABD} = AB + AD + BD = 12$ см.

2. Периметр треугольника BDC: $P_{BDC} = BC + CD + BD = 30$ см.

3. Периметр четырехугольника ABCD: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 32$ см.

Сложим периметры двух треугольников ABD и BDC:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + AD + BD) + (BC + CD + BD)$

Сгруппируем слагаемые в правой части уравнения:

$P_{ABD} + P_{BDC} = (AB + BC + CD + AD) + 2 \cdot BD$

Как мы видим, выражение в скобках $(AB + BC + CD + AD)$ является периметром четырехугольника ABCD. Следовательно, мы можем заменить его на $P_{ABCD}$:

$P_{ABD} + P_{BDC} = P_{ABCD} + 2 \cdot BD$

Теперь подставим известные числовые значения в полученное уравнение:

$12 + 30 = 32 + 2 \cdot BD$

Решим это уравнение, чтобы найти длину отрезка BD:

$42 = 32 + 2 \cdot BD$
$2 \cdot BD = 42 - 32$
$2 \cdot BD = 10$
$BD = \frac{10}{2}$
$BD = 5$ см.

Ответ: 5 см.