Номер 2.138, страница 110 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.138. Постройте ромб $KLMN$, если $KL=4$ см, $\angle K=60^\circ$. Измерьте длину отрезка $LN$ и величину угла $L$.

Построение ромба KLMN

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. По условию, сторона ромба $KL = 4$ см, следовательно, все стороны ромба $KLMN$ равны 4 см: $KL = LM = MN = NK = 4$ см. Также дан угол $\angle K = 60^\circ$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Начертите отрезок $KL$ длиной 4 см.
2. От точки $K$ с помощью транспортира отложите угол, равный $60^\circ$.
3. На луче, образующем этот угол, отложите отрезок $KN$ длиной 4 см.
4. Из точки $N$ проведите дугу окружности радиусом 4 см.
5. Из точки $L$ проведите дугу окружности радиусом 4 см до пересечения с первой дугой.
6. Точку пересечения дуг обозначьте как $M$.
7. Соедините отрезками точки $L$ и $M$, а также $N$ и $M$.

Полученный четырехугольник $KLMN$ является искомым ромбом.

Измерение длины отрезка LN

Рассмотрим треугольник $\triangle KLN$. В этом треугольнике стороны $KL$ и $KN$ равны 4 см, так как это стороны ромба. Угол между этими сторонами $\angle K = 60^\circ$.

Поскольку две стороны треугольника равны ($KL = KN$), треугольник $\triangle KLN$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle KLN = \angle KNL$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:
$\angle K + \angle KLN + \angle KNL = 180^\circ$
$60^\circ + 2 \cdot \angle KLN = 180^\circ$
$2 \cdot \angle KLN = 180^\circ - 60^\circ$
$2 \cdot \angle KLN = 120^\circ$
$\angle KLN = 60^\circ$

Так как все углы треугольника $\triangle KLN$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны, и длина отрезка $LN$ также равна 4 см.

Ответ: $LN = 4$ см.

Измерение величины угла L

В любом ромбе (как и в любом параллелограмме) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $K$ и $L$ прилежат к стороне $KL$.

Следовательно, $\angle K + \angle L = 180^\circ$.
Подставим известное значение $\angle K = 60^\circ$:
$60^\circ + \angle L = 180^\circ$
$\angle L = 180^\circ - 60^\circ$
$\angle L = 120^\circ$

Ответ: $\angle L = 120^\circ$.