Страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.149. Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы. Определите площадь каждого участка в квадратных метрах.

Для того чтобы определить площадь каждого участка в квадратных метрах, необходимо сначала перевести общую площадь поля из гектаров в квадратные метры, а затем разделить ее на количество участков.

1. Переведем общую площадь поля из гектаров (га) в квадратные метры (м²). Известно, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров:

$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$

Следовательно, площадь поля в 5 гектаров равна:

$5 \text{ га} = 5 \times 10000 \text{ м}^2 = 50000 \text{ м}^2$

2. Теперь разделим общую площадь поля, выраженную в квадратных метрах, на количество равных участков (8), чтобы найти площадь одного участка:

$\frac{50000 \text{ м}^2}{8} = 6250 \text{ м}^2$

Таким образом, площадь каждого участка составляет 6250 квадратных метров.

Ответ: $6250 \text{ м}^2$.

2.150 Площадь прямоугольника 91 $см^2$, а его высота 7 $см$. Определите основание прямоугольника.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его основания (длины) на высоту (ширину). Формула площади прямоугольника выглядит следующим образом:
$S = a \cdot h$
где $S$ – это площадь, $a$ – основание, а $h$ – высота.

По условию задачи нам даны площадь $S = 91 \text{ см}^2$ и высота $h = 7 \text{ см}$. Нам нужно найти основание $a$.

Чтобы найти основание, мы можем преобразовать формулу площади:
$a = S / h$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:
$a = 91 \text{ см}^2 / 7 \text{ см}$
$a = 13 \text{ см}$

Таким образом, основание прямоугольника равно 13 см.

Ответ: 13 см.

2.151. Квартира состоит из двух комнат, кухни и подсобных помещений. Размеры первой комнаты $4 \text{ м} \times 5 \text{ м}$, второй — $3 \text{ м} \times 5 \text{ м}$, кухни $4 \text{ м} \times 3 \text{ м}$, а площадь подсобных помещений равна $10 \text{ м}^2$. Определите общую площадь квартиры.

Для определения общей площади квартиры необходимо вычислить площадь каждого помещения и сложить полученные значения.

1. Вычисление площади первой комнаты.

Размеры первой комнаты составляют 4 м × 5 м. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину.

$S_1 = 4 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$.

2. Вычисление площади второй комнаты.

Размеры второй комнаты составляют 3 м × 5 м.

$S_2 = 3 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 15 \text{ м}^2$.

3. Вычисление площади кухни.

Размеры кухни составляют 4 м × 3 м.

$S_{кухни} = 4 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$.

4. Площадь подсобных помещений.

Согласно условию задачи, площадь подсобных помещений равна $10 \text{ м}^2$.

5. Определение общей площади квартиры.

Общая площадь квартиры равна сумме площадей всех ее помещений.

$S_{общая} = S_1 + S_2 + S_{кухни} + S_{подсобных}$

$S_{общая} = 20 \text{ м}^2 + 15 \text{ м}^2 + 12 \text{ м}^2 + 10 \text{ м}^2 = 57 \text{ м}^2$.

Ответ: $57 \text{ м}^2$.

2.152. Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см.

а) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

б) Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

а) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

1. Найдем периметр прямоугольника со сторонами $a = 2$ см и $b = 8$ см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P_{прям} = 2(a + b)$.

$P_{прям} = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. По условию задачи, периметр квадрата равен периметру прямоугольника, значит $P_{кв} = 20$ см.

3. Периметр квадрата находится по формуле $P_{кв} = 4c$, где $c$ – его сторона. Найдем сторону квадрата:

$c = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{20}{4} = 5$ см.

4. Теперь вычислим площадь квадрата по формуле $S_{кв} = c^2$:

$S_{кв} = 5^2 = 25$ см².

Ответ: 25 см².

б) Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

1. Найдем площадь прямоугольника со сторонами $a = 2$ см и $b = 8$ см. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{прям} = a \cdot b$.

$S_{прям} = 2 \cdot 8 = 16$ см².

2. По условию задачи, площадь квадрата равна площади прямоугольника, значит $S_{кв} = 16$ см².

3. Площадь квадрата находится по формуле $S_{кв} = c^2$, где $c$ – его сторона. Чтобы найти сторону квадрата, извлечем квадратный корень из его площади:

$c = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

2.153. а) Верно ли, что если прямоугольники равны, то их площади равны?

б) Верно ли, что если площади прямоугольников равны, то прямоугольники равны?

а)

Данное утверждение верно. Разберем почему.

В геометрии равными фигурами называются те, которые можно совместить друг с другом путем наложения. Для прямоугольников это означает, что их соответствующие стороны равны.

Пусть у нас есть два равных прямоугольника: Прямоугольник 1 со сторонами $a_1$ и $b_1$, и Прямоугольник 2 со сторонами $a_2$ и $b_2$.

Поскольку они равны, то их наборы сторон совпадают. То есть, пара длин сторон ($a_1, b_1$) совпадает с парой ($a_2, b_2$). Это значит, что либо $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$, либо $a_1 = b_2$ и $b_1 = a_2$.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон.

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = a_1 \cdot b_1$.
Площадь второго прямоугольника: $S_2 = a_2 \cdot b_2$.

В любом из случаев равенства сторон, произведение будет одинаковым: $a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$.

Таким образом, если прямоугольники равны, то их площади всегда равны.

Ответ: да, верно.

б)

Данное утверждение неверно. То, что у двух прямоугольников равные площади, еще не означает, что сами прямоугольники равны (то есть, что их можно совместить наложением).

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим два прямоугольника.

1. Прямоугольник 1 со сторонами $a_1 = 2$ см и $b_1 = 6$ см.
Его площадь $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 2 \cdot 6 = 12$ см².

2. Прямоугольник 2 со сторонами $a_2 = 3$ см и $b_2 = 4$ см.
Его площадь $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см².

Площади этих двух прямоугольников равны ($S_1 = S_2 = 12$ см²). Однако сами прямоугольники не равны, так как их стороны имеют разную длину. Прямоугольник со сторонами 2 и 6 см невозможно совместить наложением с прямоугольником со сторонами 3 и 4 см.

Следовательно, из равенства площадей прямоугольников не следует их равенство.

Ответ: нет, неверно.

2.154 Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) его длину и ширину увеличить в 2 раза;

в) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза?

Для решения задачи воспользуемся формулой площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

а) его длину увеличить в 2 раза;

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $a$, а ширина – $b$. Тогда его площадь $S = a \cdot b$.

Если длину увеличить в 2 раза, то новая длина станет $a_1 = 2a$. Ширина при этом не изменится, то есть $b_1 = b$.

Найдем новую площадь $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (2a) \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b) = 2S$.

Как видно из результата, площадь увеличилась в 2 раза.

Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

б) его длину и ширину увеличить в 2 раза;

Первоначальная площадь $S = a \cdot b$.

Если и длину, и ширину увеличить в 2 раза, то новая длина станет $a_1 = 2a$, а новая ширина – $b_1 = 2b$.

Найдем новую площадь $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b) = 4S$.

Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 4 раза.

Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

в) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза?

Первоначальная площадь $S = a \cdot b$.

Если длину увеличить в 2 раза, а ширину – в 3 раза, то новая длина станет $a_1 = 2a$, а новая ширина – $b_1 = 3b$.

Найдем новую площадь $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (2a) \cdot (3b) = 6 \cdot (a \cdot b) = 6S$.

Следовательно, площадь прямоугольника увеличится в 6 раз.

Ответ: площадь увеличится в 6 раз.

2.155 Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить:

а) в 2 раза;

б) в 3 раза;

в) в 10 раз?

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. Обозначим первоначальную длину стороны как $a_1$, а первоначальную площадь как $S_1 = a_1^2$.

а)

Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, то новая длина стороны составит $a_2 = 2 \cdot a_1$.

Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = (a_2)^2 = (2 \cdot a_1)^2 = 4 \cdot a_1^2$.

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4 \cdot a_1^2}{a_1^2} = 4$.

Следовательно, площадь увеличится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

б)

Если сторону квадрата увеличить в 3 раза, то новая длина стороны составит $a_2 = 3 \cdot a_1$.

Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = (a_2)^2 = (3 \cdot a_1)^2 = 9 \cdot a_1^2$.

Найдём отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9 \cdot a_1^2}{a_1^2} = 9$.

Следовательно, площадь увеличится в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

в)

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то новая длина стороны составит $a_2 = 10 \cdot a_1$.

Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = (a_2)^2 = (10 \cdot a_1)^2 = 100 \cdot a_1^2$.

Найдём отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{100 \cdot a_1^2}{a_1^2} = 100$.

Следовательно, площадь увеличится в 100 раз.

Ответ: в 100 раз.