Страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.171. а) Какой куб называют единичным?

б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?

в) Чему равен объём куба?

г) Какие единицы измерения объёма вы знаете?

а) Какой куб называют единичным?

Единичным называют куб, длина ребра которого равна одной единице измерения длины. Например, если за единицу длины принять 1 сантиметр, то единичным будет куб с ребром 1 см. Объём такого куба будет равен 1 кубическому сантиметру ($1$ $см^3$).

Ответ: Единичным называют куб, ребро которого равно 1 единице длины.

б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и высоты. Если измерения параллелепипеда обозначить как $a$, $b$ и $c$, то его объём $V$ можно вычислить по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.

Ответ: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

в) Чему равен объём куба?

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) равны. Поэтому объём куба равен длине его ребра, возведённой в третью степень (в куб). Если длина ребра куба равна $a$, то его объём $V$ вычисляется по формуле: $V = a^3$.

Ответ: Объём куба равен кубу длины его ребра.

г) Какие единицы измерения объёма вы знаете?

Существуют различные единицы измерения объёма, которые основаны на единицах измерения длины. К ним относятся: кубический миллиметр ($мм^3$), кубический сантиметр ($см^3$), кубический дециметр ($дм^3$), кубический метр ($м^3$), кубический километр ($км^3$). Также широко используются такие единицы, как литр (л) и миллилитр (мл). При этом $1$ л $= 1$ $дм^3$, а $1$ мл $= 1$ $см^3$.

Ответ: Кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, литр, миллилитр.

2.172. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы.

$1 \text{ мм}$ $1 \text{ см}$ $1 \text{ дм}$ $1 \text{ м}$ $10 \text{ м}$ $100 \text{ м}$ $1 \text{ км}$

$1 \text{ мм}^2$ $1 \text{ см}^2$ $1 \text{ дм}^2$ $1 \text{ м}^2$ $1 \text{ а}$ $1 \text{ га}$ $1 \text{ км}^2$

$1 \text{ мм}^3$ $1 \text{ см}^3$ $1 \text{ дм}^3$ $1 \text{ м}^3$ $1\,000 \text{ м}^3$ $1\,000\,000 \text{ м}^3$ $1 \text{ км}^3$

a) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма, записанные в третьей строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку?

б) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку?

в) Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

2) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

3) $1 \text{ дм}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$;

4) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ дм}^3$;

5) $1 \text{ м}^3$ больше $1 \text{ см}^3$;

6) $1 \text{ км}^3$ больше $1 \text{ м}^3$?

а) Чтобы определить, во сколько раз увеличиваются единицы объёма при переходе на одну клетку вправо, рассмотрим соотношение соседних ячеек в третьей строке таблицы. Соотношение линейных единиц (первая строка) показывает, что каждая следующая единица (до 1 м) в 10 раз больше предыдущей ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$). Так как объём — это величина в кубе, то соотношение между кубическими единицами будет равно $10^3 = 1000$.
Проверим это для всей строки:
$1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Далее, по данным таблицы:
$1000 \text{ м}^3 \div 1 \text{ м}^3 = 1000$.
$1 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 \div 1000 \text{ м}^3 = 1000$.
$1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3$. Отношение к предыдущей ячейке: $1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 \div 1 \, 000 \, 000 \text{ м}^3 = 1000$.
Таким образом, при каждом переходе на одну клетку вправо единица объёма увеличивается в 1000 раз.
Ответ: в 1000 раз.

б) Переход справа налево является обратной операцией к переходу слева направо. Если при движении вправо величина увеличивается (умножается на 1000), то при движении влево она будет уменьшаться (делиться на 1000) во столько же раз.
Ответ: в 1000 раз.

в)

1) Чтобы найти, во сколько раз $1 \text{ см}^3$ больше $1 \text{ мм}^3$, воспользуемся соотношением линейных величин: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Для объёмных величин соотношение будет в кубе: $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

2) Аналогично, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Возводим в куб: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

3) Сначала переведём дециметры в миллиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$. Теперь найдём соотношение объёмов: $1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ мм}^3$.
Ответ: в 1 000 000 раз.

4) Известно, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Возводим в куб: $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Ответ: в 1000 раз.

5) Переведём метры в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Найдём соотношение объёмов: $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$.
Ответ: в 1 000 000 раз.

6) В одном километре содержится 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Для нахождения соотношения кубических величин возведём это соотношение в третью степень: $1 \text{ км}^3 = (1000 \text{ м})^3 = 1 \, 000 \, 000 \, 000 \text{ м}^3$.
Ответ: в 1 000 000 000 раз.

2.173. а) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд. Какой длины получился ряд?

б) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд, то какой длины получится ряд?

а)

Для решения этой задачи сначала необходимо определить, сколько маленьких кубиков с ребром 1 дм получится из одного большого куба с ребром 1 м.

1. Переведем единицы измерения к одной величине. Так как ребро маленького кубика дано в дециметрах, переведем ребро большого куба в дециметры:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.

2. Найдем объем большого куба в кубических дециметрах. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра.
$V_{бол} = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

3. Найдем объем одного маленького кубика:
$V_{мал} = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3$.

4. Чтобы найти количество маленьких кубиков, разделим объем большого куба на объем одного маленького:
$N = \frac{V_{бол}}{V_{мал}} = \frac{1000 \text{ дм}^3}{1 \text{ дм}^3} = 1000$ кубиков.

5. Теперь, когда мы знаем количество кубиков, мы можем найти длину ряда, который они образуют. Поскольку кубики сложены в один ряд, общая длина будет равна сумме длин ребер всех кубиков:
$L = 1000 \times 1 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}$.

6. Для удобства переведем результат в метры:
$1000 \text{ дм} = 100 \text{ м}$.

Ответ: 100 м.

б)

Решение аналогично предыдущему пункту, но теперь маленький кубик имеет ребро 1 см.

1. Переведем ребро большого куба в сантиметры:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

2. Найдем объем большого куба в кубических сантиметрах:
$V_{бол} = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$.

3. Найдем объем одного маленького кубика:
$V_{мал} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.

4. Найдем количество маленьких кубиков:
$N = \frac{V_{бол}}{V_{мал}} = \frac{1\;000\;000 \text{ см}^3}{1 \text{ см}^3} = 1\;000\;000$ кубиков.

5. Найдем длину ряда из этих кубиков:
$L = 1\;000\;000 \times 1 \text{ см} = 1\;000\;000 \text{ см}$.

6. Переведем результат в более крупные единицы измерения – метры и километры:
$1\;000\;000 \text{ см} = 10\;000 \text{ м}$.
$10\;000 \text{ м} = 10 \text{ км}$.

Ответ: 10 км.

2.174. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны:

а) 18 см, 16 см, 5 см;

б) 12 см, 45 см, 2 см;

в) 16 см, 23 см, 25 см;

г) 11 см, 11 см, 11 см.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

а) Даны рёбра параллелепипеда: 18 см, 16 см, 5 см.
Вычислим объём, перемножив длины рёбер. Для удобства вычислений сгруппируем множители:
$V = 18 \cdot 16 \cdot 5 = 18 \cdot (16 \cdot 5) = 18 \cdot 80 = 1440$ см³.
Ответ: 1440 см³.

б) Даны рёбра параллелепипеда: 12 см, 45 см, 2 см.
Вычислим объём, выбрав удобный порядок умножения:
$V = 12 \cdot 45 \cdot 2 = 12 \cdot (45 \cdot 2) = 12 \cdot 90 = 1080$ см³.
Ответ: 1080 см³.

в) Даны рёбра параллелепипеда: 16 см, 23 см, 25 см.
Вычислим объём. Удобно сначала умножить 16 на 25:
$V = 16 \cdot 23 \cdot 25 = (16 \cdot 25) \cdot 23 = 400 \cdot 23 = 9200$ см³.
Ответ: 9200 см³.

г) Даны рёбра: 11 см, 11 см, 11 см. Так как все рёбра равны, этот параллелепипед является кубом.
Вычислим его объём:
$V = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 11^3 = 121 \cdot 11 = 1331$ см³.
Ответ: 1331 см³.

2.175. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, площадь основания и высота которого равны:

а) 136 $см^2$, 5 см;

б) 298 $см^2$, 4 см;

в) 154 $см^2$, 8 см;

г) 91 $см^2$, 19 см.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда используется формула, связывающая объём ($V$), площадь основания ($S_{осн}$) и высоту ($h$):

$V = S_{осн} \cdot h$

Применим эту формулу для каждого из предложенных случаев.

а) Площадь основания $S_{осн} = 136 \text{ см}^2$, высота $h = 5 \text{ см}$.
Объём равен произведению площади основания на высоту:
$V = 136 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 680 \text{ см}^3$.
Ответ: $680 \text{ см}^3$.

б) Площадь основания $S_{осн} = 298 \text{ см}^2$, высота $h = 4 \text{ см}$.
Объём равен произведению площади основания на высоту:
$V = 298 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 1192 \text{ см}^3$.
Ответ: $1192 \text{ см}^3$.

в) Площадь основания $S_{осн} = 154 \text{ см}^2$, высота $h = 8 \text{ см}$.
Объём равен произведению площади основания на высоту:
$V = 154 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 1232 \text{ см}^3$.
Ответ: $1232 \text{ см}^3$.

г) Площадь основания $S_{осн} = 91 \text{ см}^2$, высота $h = 19 \text{ см}$.
Объём равен произведению площади основания на высоту:
$V = 91 \text{ см}^2 \cdot 19 \text{ см} = 1729 \text{ см}^3$.
Ответ: $1729 \text{ см}^3$.

2.176. a) Площадь пола комнаты $24 м^2$, высота комнаты $3 м$. Найдите объём комнаты.

б) Объём комнаты $45 м^3$, а площадь пола $15 м^2$. Найдите высоту комнаты.

в) Объём комнаты $48 м^3$, а высота $3 м$. Найдите площадь пола.

а) Для нахождения объёма комнаты ($V$) необходимо умножить площадь её пола ($S$) на высоту ($h$). Формула для расчёта объёма: $V = S \times h$. Подставляем данные из условия:
$V = 24 \text{ м²} \times 3 \text{ м} = 72 \text{ м³}$.
Ответ: 72 м³.

б) Для нахождения высоты комнаты ($h$) необходимо разделить её объём ($V$) на площадь пола ($S$). Формула для расчёта высоты, выведенная из основной: $h = \frac{V}{S}$. Подставляем данные из условия:
$h = \frac{45 \text{ м³}}{15 \text{ м²}} = 3 \text{ м}$.
Ответ: 3 м.

в) Для нахождения площади пола ($S$) необходимо разделить объём комнаты ($V$) на её высоту ($h$). Формула для расчёта площади: $S = \frac{V}{h}$. Подставляем данные из условия:
$S = \frac{48 \text{ м³}}{3 \text{ м}} = 16 \text{ м²}$.
Ответ: 16 м².