Страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.142. а) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см.

б) Определите площадь квадрата со стороной 6 см.

а)

Для определения площади прямоугольника необходимо умножить длину его сторон. Площадь ($S$) прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

По условию задачи, стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Подставим эти значения в формулу:

$S = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Ответ: 20 см².

б)

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Площадь ($S$) квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = a^2$

По условию задачи, сторона квадрата равна 6 см. Подставим это значение в формулу:

$S = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$

Ответ: 36 см².

2.143. Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы:

Таблица:

1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 10 м, 100 м, 1 км

$1 \text{ мм}^2$, $1 \text{ см}^2$, $1 \text{ дм}^2$, $1 \text{ м}^2$, $1 \text{ а}$, $1 \text{ га}$, $1 \text{ км}^2$

а) Во сколько раз увеличиваются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку?

б) Во сколько раз уменьшаются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе справа налево на одну клетку?

в) Во сколько раз:

1) $1 \text{ см}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

2) $1 \text{ дм}^2$ больше $1 \text{ см}^2$;

3) $1 \text{ дм}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

4) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ дм}^2$;

5) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ см}^2$;

6) $1 \text{ м}^2$ больше $1 \text{ мм}^2$;

7) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ м}^2$;

8) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ дм}^2$;

9) $1 \text{ а}$ больше $1 \text{ см}^2$;

10) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ а}$;

11) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ м}^2$;

12) $1 \text{ га}$ больше $1 \text{ дм}^2$;

13) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ га}$;

14) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ а}$;

15) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ м}^2$;

16) $1 \text{ км}^2$ больше $1 \text{ дм}^2$?

а) При переходе на одну клетку вправо в таблице, каждая последующая единица площади в 100 раз больше предыдущей. Это связано с тем, что соответствующие единицы длины в первой строке (за исключением последнего перехода) увеличиваются в 10 раз, а площадь является квадратом длины ($10^2 = 100$). Например: $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$; $1 \text{ га} = (100 \text{ м})^2 = 10000 \text{ м}^2$, а $1 \text{ а} = (10 \text{ м})^2 = 100 \text{ м}^2$, следовательно, $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Ответ: в 100 раз.

б) При переходе на одну клетку влево происходит действие, обратное увеличению. Если при движении вправо величина умножается на 100, то при движении влево она делится на 100, то есть уменьшается в 100 раз.
Ответ: в 100 раз.

в)

1) $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, поэтому $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Ответ: в 100 раз.

2) $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, поэтому $1 \text{ дм}^2 = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Ответ: в 100 раз.

3) $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$, поэтому $1 \text{ дм}^2 = (100 \text{ мм})^2 = 10000 \text{ мм}^2$.
Ответ: в 10000 раз.

4) $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, поэтому $1 \text{ м}^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Ответ: в 100 раз.

5) $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, поэтому $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.
Ответ: в 10000 раз.

6) $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, поэтому $1 \text{ м}^2 = (1000 \text{ мм})^2 = 1000000 \text{ мм}^2$.
Ответ: в 1000000 раз.

7) $1 \text{ а} = (10 \text{ м})^2 = 100 \text{ м}^2$.
Ответ: в 100 раз.

8) $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$ и $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, поэтому $1 \text{ а} = 100 \times 100 \text{ дм}^2 = 10000 \text{ дм}^2$.
Ответ: в 10000 раз.

9) $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$ и $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$, поэтому $1 \text{ а} = 100 \times 10000 \text{ см}^2 = 1000000 \text{ см}^2$.
Ответ: в 1000000 раз.

10) $1 \text{ га} = (100 \text{ м})^2 = 10000 \text{ м}^2$. $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$. $1 \text{ га} / 1 \text{ а} = 10000 / 100 = 100$.
Ответ: в 100 раз.

11) $1 \text{ га} = (100 \text{ м})^2 = 10000 \text{ м}^2$.
Ответ: в 10000 раз.

12) $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, поэтому $1 \text{ га} = 10000 \times 100 \text{ дм}^2 = 1000000 \text{ дм}^2$.
Ответ: в 1000000 раз.

13) $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, поэтому $1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1000000 \text{ м}^2$. $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$. $1 \text{ км}^2 / 1 \text{ га} = 1000000 / 10000 = 100$.
Ответ: в 100 раз.

14) $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$ и $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, поэтому $1 \text{ км}^2 = 100 \times 100 \text{ а} = 10000 \text{ а}$.
Ответ: в 10000 раз.

15) $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, поэтому $1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1000000 \text{ м}^2$.
Ответ: в 1000000 раз.

16) $1 \text{ км}^2 = 1000000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, поэтому $1 \text{ км}^2 = 1000000 \times 100 \text{ дм}^2 = 100000000 \text{ дм}^2$.
Ответ: в 100000000 раз.

2.144. Сложите величины:

a) $\begin{array}{r} 63 \text{ см}^2 \ 17 \text{ мм}^2 \\+ \underline{32 \text{ см}^2 \ 90 \text{ мм}^2} \\\end{array}$

б) $\begin{array}{r} 3 \text{ м}^2 \ 76 \text{ дм}^2 \ 98 \text{ см}^2 \\+ \underline{9 \text{ м}^2 \ 58 \text{ дм}^2 \ 43 \text{ см}^2} \\\end{array}$

в) $\begin{array}{r} 45 \text{ га } 72 \text{ а} \\+ \underline{56 \text{ га } 55 \text{ а}} \\\end{array}$

г) $\begin{array}{r} 32 \text{ а } 74 \text{ м}^2 \ 21 \text{ дм}^2 \\+ \underline{48 \text{ а } 62 \text{ м}^2 \ 83 \text{ дм}^2} \\\end{array}$

а) Чтобы сложить $63 \text{ см}^2 \text{ } 17 \text{ мм}^2$ и $32 \text{ см}^2 \text{ } 90 \text{ мм}^2$, сложим отдельно квадратные сантиметры и квадратные миллиметры, а затем приведем результат к стандартному виду.
Складываем квадратные миллиметры: $17 \text{ мм}^2 + 90 \text{ мм}^2 = 107 \text{ мм}^2$.
Поскольку $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$, то $107 \text{ мм}^2 = 1 \text{ см}^2 \text{ } 7 \text{ мм}^2$.
Складываем квадратные сантиметры: $63 \text{ см}^2 + 32 \text{ см}^2 = 95 \text{ см}^2$.
Теперь прибавим к результату сложения сантиметров $1 \text{ см}^2$, полученный из миллиметров: $95 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$.
Итоговый результат: $96 \text{ см}^2 \text{ } 7 \text{ мм}^2$.
Ответ: $96 \text{ см}^2 \text{ } 7 \text{ мм}^2$.

б) Чтобы сложить $3 \text{ м}^2 \text{ } 76 \text{ дм}^2 \text{ } 98 \text{ см}^2$ и $9 \text{ м}^2 \text{ } 58 \text{ дм}^2 \text{ } 43 \text{ см}^2$, выполним сложение по разрядам, начиная с наименьших единиц.
1. Складываем квадратные сантиметры: $98 \text{ см}^2 + 43 \text{ см}^2 = 141 \text{ см}^2$.
Так как $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$, то $141 \text{ см}^2 = 1 \text{ дм}^2 \text{ } 41 \text{ см}^2$. Оставляем $41 \text{ см}^2$ и переносим $1 \text{ дм}^2$ в следующий разряд.
2. Складываем квадратные дециметры с учетом переноса: $76 \text{ дм}^2 + 58 \text{ дм}^2 + 1 \text{ дм}^2 = 135 \text{ дм}^2$.
Так как $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, то $135 \text{ дм}^2 = 1 \text{ м}^2 \text{ } 35 \text{ дм}^2$. Оставляем $35 \text{ дм}^2$ и переносим $1 \text{ м}^2$ в следующий разряд.
3. Складываем квадратные метры с учетом переноса: $3 \text{ м}^2 + 9 \text{ м}^2 + 1 \text{ м}^2 = 13 \text{ м}^2$.
Собираем все вместе: $13 \text{ м}^2 \text{ } 35 \text{ дм}^2 \text{ } 41 \text{ см}^2$.
Ответ: $13 \text{ м}^2 \text{ } 35 \text{ дм}^2 \text{ } 41 \text{ см}^2$.

в) Чтобы сложить $45 \text{ га } 72 \text{ а}$ и $56 \text{ га } 55 \text{ а}$, сложим отдельно гектары и ары.
Складываем ары: $72 \text{ а} + 55 \text{ а} = 127 \text{ а}$.
Поскольку $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$, то $127 \text{ а} = 1 \text{ га } 27 \text{ а}$.
Складываем гектары и добавляем перенос из ар: $45 \text{ га} + 56 \text{ га} + 1 \text{ га} = 102 \text{ га}$.
Итоговый результат: $102 \text{ га } 27 \text{ а}$.
Ответ: $102 \text{ га } 27 \text{ а}$.

г) Чтобы сложить $32 \text{ а } 74 \text{ м}^2 \text{ } 21 \text{ дм}^2$ и $48 \text{ а } 62 \text{ м}^2 \text{ } 83 \text{ дм}^2$, выполним сложение по разрядам, начиная с наименьших единиц.
1. Складываем квадратные дециметры: $21 \text{ дм}^2 + 83 \text{ дм}^2 = 104 \text{ дм}^2$.
Так как $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$, то $104 \text{ дм}^2 = 1 \text{ м}^2 \text{ } 4 \text{ дм}^2$. Оставляем $4 \text{ дм}^2$ и переносим $1 \text{ м}^2$ в следующий разряд.
2. Складываем квадратные метры с учетом переноса: $74 \text{ м}^2 + 62 \text{ м}^2 + 1 \text{ м}^2 = 137 \text{ м}^2$.
Так как $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$, то $137 \text{ м}^2 = 1 \text{ а } 37 \text{ м}^2$. Оставляем $37 \text{ м}^2$ и переносим $1 \text{ а}$ в следующий разряд.
3. Складываем ары с учетом переноса: $32 \text{ а} + 48 \text{ а} + 1 \text{ а} = 81 \text{ а}$.
Собираем все вместе: $81 \text{ а } 37 \text{ м}^2 \text{ } 4 \text{ дм}^2$.
Ответ: $81 \text{ а } 37 \text{ м}^2 \text{ } 4 \text{ дм}^2$.

2.145. Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд. Какой длины получился ряд?

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Так как сторона маленьких квадратов дана в дециметрах, переведем сторону большого квадрата из метров в дециметры. В одном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Следовательно, сторона большого квадрата равна 10 дм.

Теперь найдем, сколько маленьких квадратов со стороной 1 дм получится из большого квадрата. Для этого можно вычислить, сколько маленьких квадратов помещается вдоль одной стороны большого квадрата. Длина стороны большого квадрата — 10 дм, а маленького — 1 дм. Значит, в один ряд поместится:

$10 \text{ дм} \div 1 \text{ дм} = 10 \text{ квадратов}$

Так как большой квадрат состоит из 10 таких рядов, общее количество маленьких квадратов будет:

$10 \times 10 = 100 \text{ квадратов}$

Все полученные 100 квадратов сложили в один ряд. Длина этого ряда будет равна произведению количества квадратов на длину стороны одного квадрата. Сторона каждого маленького квадрата равна 1 дм, поэтому общая длина ряда составляет:

$100 \times 1 \text{ дм} = 100 \text{ дм}$

Для удобства можно перевести полученную длину обратно в метры:

$100 \text{ дм} = 10 \text{ м}$

Ответ: 10 м.

2.146. Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд, то какой длины получится ряд?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить, сколько маленьких квадратов получится из одного большого, а затем найти общую длину ряда, который они образуют.

1. Приведение к единым единицам измерения.

Сторона большого квадрата равна 1 м, а сторона маленьких квадратов — 1 см. Переведем сторону большого квадрата в сантиметры, чтобы работать с одинаковыми единицами. В одном метре 100 сантиметров.

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Таким образом, большой квадрат имеет стороны 100 см на 100 см.

2. Расчет количества маленьких квадратов.

Чтобы найти, сколько маленьких квадратов получится, можно разделить площадь большого квадрата на площадь одного маленького квадрата.

Площадь большого квадрата: $S_{большого} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$.

Площадь маленького квадрата: $S_{маленького} = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.

Общее количество маленьких квадратов:

$N = \frac{S_{большого}}{S_{маленького}} = \frac{10000 \text{ см}^2}{1 \text{ см}^2} = 10000 \text{ штук}$.

3. Расчет длины ряда.

Полученные 10000 квадратов складывают в один ряд. Длина каждого квадрата в ряду равна длине его стороны, то есть 1 см. Чтобы найти общую длину ряда, нужно умножить количество квадратов на длину одного квадрата.

Длина ряда: $L = 10000 \times 1 \text{ см} = 10000 \text{ см}$.

4. Перевод результата в метры.

Результат 10000 см можно для наглядности перевести обратно в метры, разделив на 100.

$L = \frac{10000 \text{ см}}{100} = 100 \text{ м}$.

Ответ: 100 м.

2.147. Во сколько раз 18 гектаров больше 8 соток?

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо выразить их в одинаковых единицах измерения, а затем разделить большую величину на меньшую.

Вспомним соотношение между гектарами (га) и сотками. В одном гектаре содержится 100 соток.

$1 \text{ га} = 100 \text{ соток}$

Сначала переведем 18 гектаров в сотки, умножив количество гектаров на 100:

$18 \text{ га} = 18 \times 100 = 1800 \text{ соток}$

Теперь, когда обе величины выражены в сотках (1800 соток и 8 соток), найдем их отношение:

$\frac{1800}{8} = 225$

Таким образом, 18 гектаров больше 8 соток в 225 раз.

Ответ: в 225 раз.

2.143 Сад имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м.

Выразите его площадь в квадратных метрах; в арах; в гектарах.

в квадратных метрах

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Обозначим стороны сада как $a$ и $b$.
Дано: $a = 500$ м, $b = 400$ м.
Формула площади: $S = a \cdot b$.
Подставим значения:
$S = 500 \text{ м} \cdot 400 \text{ м} = 200\;000 \text{ м}^2$.
Ответ: $200\;000 \text{ м}^2$.

в арах

Ары (или сотки) — это единица измерения площади. Один ар равен 100 квадратным метрам.
$1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$.
Чтобы перевести площадь из квадратных метров в ары, нужно разделить значение площади в м² на 100.
$200\;000 \text{ м}^2 : 100 = 2000 \text{ ар}$.
Ответ: $2000 \text{ ар}$.

в гектарах

Гектар — это единица измерения площади, равная 10 000 квадратных метров или 100 арам.
$1 \text{ га} = 10\;000 \text{ м}^2$.
Чтобы перевести площадь из квадратных метров в гектары, нужно разделить значение площади в м² на 10 000.
$200\;000 \text{ м}^2 : 10\;000 = 20 \text{ га}$.
Можно также выполнить перевод из аров в гектары, зная, что $1 \text{ га} = 100 \text{ ар}$.
$2000 \text{ ар} : 100 = 20 \text{ га}$.
Ответ: $20 \text{ га}$.