Страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.126. Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами:

а) $2(15 + 32)$ см

б) $2(15 + b)$ см

в) $2(a + 32)$ см

г) $2(a + b)$ см

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, формула для вычисления периметра ($P$) со сторонами $x$ и $y$ выглядит следующим образом: $P = 2 \cdot (x + y)$.

а)

Для прямоугольника со сторонами 15 см и 32 см подставим эти значения в формулу периметра:

$P = 2 \cdot (15 + 32)$

Это и есть искомое выражение для вычисления периметра.

Ответ: $2 \cdot (15 + 32)$ см.

б)

Для прямоугольника со сторонами 15 см и $b$ см подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (15 + b)$

Ответ: $2 \cdot (15 + b)$ см.

в)

Для прямоугольника со сторонами $a$ см и 32 см подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (a + 32)$

Ответ: $2 \cdot (a + 32)$ см.

г)

Для прямоугольника со сторонами $a$ см и $b$ см, выражение для вычисления периметра является общей формулой:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Ответ: $2 \cdot (a + b)$ см.

2.127. Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 37 см, а другая:

а) на 6 см больше;

б) на 8 см меньше;

в) в 2 раза больше;

г) в 2 раза меньше.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию, одна из сторон прямоугольника, обозначим ее $a$, равна 37 см. Найдем периметр для каждого из предложенных случаев.

а) на 6 см больше;
Сначала найдем длину второй стороны $b$, которая на 6 см больше первой:
$b = 37 + 6 = 43$ см.
Теперь вычислим периметр прямоугольника:
$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (37 + 43) = 2 \cdot 80 = 160$ см.
Ответ: 160 см.

б) на 8 см меньше;
Сначала найдем длину второй стороны $b$, которая на 8 см меньше первой:
$b = 37 - 8 = 29$ см.
Теперь вычислим периметр прямоугольника:
$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (37 + 29) = 2 \cdot 66 = 132$ см.
Ответ: 132 см.

в) в 2 раза больше;
Сначала найдем длину второй стороны $b$, которая в 2 раза больше первой:
$b = 37 \cdot 2 = 74$ см.
Теперь вычислим периметр прямоугольника:
$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (37 + 74) = 2 \cdot 111 = 222$ см.
Ответ: 222 см.

г) в 2 раза меньше.
Сначала найдем длину второй стороны $b$, которая в 2 раза меньше первой:
$b = 37 : 2 = 18,5$ см.
Теперь вычислим периметр прямоугольника:
$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (37 + 18,5) = 2 \cdot 55,5 = 111$ см.
Ответ: 111 см.

2.128. Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 26 см, а другая:

а) на 3 см больше;

б) на 2 см меньше;

в) в 3 раза больше;

г) в 2 раза меньше.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. По условию задачи, одна из сторон ($a$) равна 26 см. Найдем длину второй стороны ($b$) и периметр для каждого из случаев.

а) Вторая сторона на 3 см больше первой.
Найдем длину второй стороны: $b = 26 + 3 = 29$ см.
Теперь вычислим периметр: $P = 2 \cdot (26 + 29) = 2 \cdot 55 = 110$ см.
Ответ: 110 см.

б) Вторая сторона на 2 см меньше первой.
Найдем длину второй стороны: $b = 26 - 2 = 24$ см.
Теперь вычислим периметр: $P = 2 \cdot (26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$ см.
Ответ: 100 см.

в) Вторая сторона в 3 раза больше первой.
Найдем длину второй стороны: $b = 26 \cdot 3 = 78$ см.
Теперь вычислим периметр: $P = 2 \cdot (26 + 78) = 2 \cdot 104 = 208$ см.
Ответ: 208 см.

г) Вторая сторона в 2 раза меньше первой.
Найдем длину второй стороны: $b = 26 : 2 = 13$ см.
Теперь вычислим периметр: $P = 2 \cdot (26 + 13) = 2 \cdot 39 = 78$ см.
Ответ: 78 см.

2.129. Периметр прямоугольника равен 56 см, одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону.

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, его периметр можно вычислить по формуле: $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

По условию задачи нам известно:

• Периметр $P = 56$ см.
• Одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $17$ см.

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти неизвестную сторону $b$: $56 = 2 \cdot (17 + b)$

Для решения этого уравнения сначала найдем полупериметр (сумму длин двух смежных сторон), разделив периметр на 2: $17 + b = 56 / 2$ $17 + b = 28$

Теперь, чтобы найти длину стороны $b$, вычтем из полупериметра длину известной стороны $a$: $b = 28 - 17$ $b = 11$ (см)

Таким образом, длина другой стороны прямоугольника составляет 11 см.

Ответ: 11 см.

2.130. a) Периметр прямоугольника равен 48 см, основание на 4 см больше высоты. Найдите высоту прямоугольника.

б) Периметр прямоугольника равен 54 см, основание на 5 см больше высоты. Найдите большую сторону прямоугольника.

в) Периметр прямоугольника 36 дм, основание на 6 см больше высоты. Найдите стороны прямоугольника.

а) Пусть высота прямоугольника равна $h$ см. Тогда, согласно условию, основание равно $h + 4$ см. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника. Составим уравнение, используя данные из условия:
$2(h + (h + 4)) = 48$
$2(2h + 4) = 48$
$4h + 8 = 48$
$4h = 48 - 8$
$4h = 40$
$h = 40 / 4$
$h = 10$ см.
Таким образом, высота прямоугольника равна 10 см.
Ответ: 10 см.

б) Обозначим высоту за $h$ см. Тогда основание (большая сторона) будет равно $h + 5$ см. Периметр равен $P = 2(h + (h + 5))$. Подставим известное значение периметра:
$2(2h + 5) = 54$
$2h + 5 = 54 / 2$
$2h + 5 = 27$
$2h = 27 - 5$
$2h = 22$
$h = 11$ см.
Это высота. Найдем большую сторону (основание): $11 + 5 = 16$ см.
Ответ: 16 см.

в) Сначала приведем все величины к одной единице измерения. Периметр $P = 36$ дм = $360$ см.
Пусть высота равна $h$ см, тогда основание равно $h + 6$ см. Составим уравнение для периметра:
$2(h + (h + 6)) = 360$
$2(2h + 6) = 360$
$2h + 6 = 360 / 2$
$2h + 6 = 180$
$2h = 180 - 6$
$2h = 174$
$h = 174 / 2$
$h = 87$ см.
Это высота. Теперь найдем основание: $87 + 6 = 93$ см.
Стороны прямоугольника равны 87 см и 93 см.
Ответ: 87 см и 93 см.

2.131. а) Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр.

б) Периметр квадрата равен 132 см. Найдите сторону этого квадрата.

а)

Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон. Так как у квадрата все стороны равны, его периметр $P$ можно найти по формуле, где $a$ — длина стороны:
$P = 4 \cdot a$
По условию, сторона квадрата равна 13 см. Подставим это значение в формулу:
$P = 4 \cdot 13 = 52$ (см)
Ответ: 52 см.

б)

Для нахождения стороны квадрата $a$ по известному периметру $P$ используется та же формула:
$P = 4 \cdot a$
Чтобы найти сторону, нужно периметр разделить на 4:
$a = P / 4$
По условию, периметр квадрата равен 132 см. Подставим это значение в формулу:
$a = 132 / 4 = 33$ (см)
Ответ: 33 см.

2.132. Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такой же периметр, что и данный прямоугольник.

Для того чтобы найти сторону квадрата, сначала необходимо вычислить периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) находится по формуле $P = 2 \times (a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.

Подставим в формулу известные значения сторон прямоугольника: $a = 16$ см и $b = 12$ см.
$P_{пр} = 2 \times (16 + 12) = 2 \times 28 = 56$ см.

По условию задачи, периметр квадрата ($P_{кв}$) равен периметру прямоугольника, следовательно, $P_{кв} = 56$ см.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \times s$, где $s$ — длина его стороны. Чтобы найти сторону квадрата, разделим его периметр на 4.
$s = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{56}{4} = 14$ см.

Ответ: 14 см.

2.133. Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата?

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$ см. Периметр квадрата — это сумма длин всех его сторон. Так как у квадрата четыре равные стороны, его периметр $P_1$ вычисляется по формуле:
$P_1 = 4 \times a$

После того как сторону увеличили на 2 см, её новая длина стала $(a + 2)$ см.

Новый периметр квадрата, $P_2$, будет равен:
$P_2 = 4 \times (a + 2)$
$P_2 = 4a + 8$

Чтобы найти, на сколько сантиметров увеличился периметр, нужно найти разность между новым и первоначальным периметрами:
$\Delta P = P_2 - P_1 = (4a + 8) - 4a = 8$ см.

Также можно рассуждать проще: у квадрата 4 стороны. Каждая из сторон стала длиннее на 2 см. Следовательно, общее увеличение периметра равно сумме увеличений каждой стороны:
$2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}.$

Ответ: 8 см.

2.134. Как изменится периметр квадрата, если его сторону:

а) увеличить в 2 раза;

б) уменьшить в 3 раза?

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. Из этой формулы видно, что периметр находится в прямой пропорциональной зависимости от длины стороны. Это означает, что во сколько раз изменяется сторона квадрата, во столько же раз изменяется и его периметр.

а) увеличить в 2 раза;

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P_1 = 4a$.

Если сторону увеличить в 2 раза, то новая длина стороны будет равна $2a$.

Новый периметр $P_2$ будет равен: $P_2 = 4 \cdot (2a) = 8a$.

Чтобы определить, как изменился периметр, найдем отношение нового периметра к первоначальному:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8a}{4a} = 2$.

Таким образом, новый периметр в 2 раза больше первоначального.

Ответ: периметр увеличится в 2 раза.

б) уменьшить в 3 раза?

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$. Тогда его периметр $P_1 = 4a$.

Если сторону уменьшить в 3 раза, то новая длина стороны будет равна $\frac{a}{3}$.

Новый периметр $P_2$ будет равен: $P_2 = 4 \cdot (\frac{a}{3}) = \frac{4a}{3}$.

Чтобы определить, как изменился периметр, найдем отношение нового периметра к первоначальному:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{4a}{3}}{4a} = \frac{4a}{3 \cdot 4a} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, новый периметр составляет $\frac{1}{3}$ от первоначального, то есть он уменьшился в 3 раза.

Ответ: периметр уменьшится в 3 раза.

2.135. Убедитесь, что на рисунке 100, а изображено 18 прямоугольников. Учтите, что квадрат является прямоугольником. Сколько прямоугольников изображено на рисунке 100, б?

а) б) Рис. 100

а)

Чтобы подсчитать общее количество прямоугольников в сетке, можно использовать комбинаторный подход. Любой прямоугольник однозначно определяется двумя различными горизонтальными и двумя различными вертикальными линиями, которые образуют его стороны.

На рисунке 100, а изображена сетка размером 3x2, то есть она состоит из 3 строк и 2 столбцов. Такая сетка образована $3+1=4$ горизонтальными линиями и $2+1=3$ вертикальными линиями.

Число способов выбрать 2 горизонтальные линии из 4 доступных равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Число способов выбрать 2 вертикальные линии из 3 доступных равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$

Общее количество прямоугольников равно произведению числа способов выбора горизонтальных и вертикальных линий:

$N = C_4^2 \cdot C_3^2 = 6 \cdot 3 = 18$

Таким образом, мы убедились, что на рисунке действительно 18 прямоугольников.

Ответ: 18.

б)

Для подсчета количества прямоугольников на рисунке 100, б используем тот же метод.

На этом рисунке изображена сетка размером 4x2, то есть 4 строки и 2 столбца. Она образована $4+1=5$ горизонтальными линиями и $2+1=3$ вертикальными линиями.

Найдем число способов выбрать 2 горизонтальные линии из 5:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Число способов выбрать 2 вертикальные линии из 3 остается таким же, как в пункте а):

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$

Общее количество прямоугольников на рисунке 100, б равно:

$N = C_5^2 \cdot C_3^2 = 10 \cdot 3 = 30$

Ответ: 30.