Страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.99. Внутри развёрнутого угла $AOB$ проведены два луча $OD$ и $OC$ так, что $ \angle AOC = 130^\circ $, а $ \angle DOB = 120^\circ $. Найдите $ \angle DOC $.

Так как угол $AOB$ является развёрнутым, его градусная мера равна $180°$.

Лучи $OD$ и $OC$ проведены внутри угла $AOB$. Это означает, что развёрнутый угол $AOB$ можно представить как сумму трёх последовательных углов: $∠AOD$, $∠DOC$ и $∠COB$.$∠AOB = ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°$.

Согласно условию задачи, мы имеем:$∠AOC = 130°$$∠DOB = 120°$

Угол $∠AOC$ является суммой углов $∠AOD$ и $∠DOC$:$∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 130°$.

Угол $∠DOB$ является суммой углов $∠DOC$ и $∠COB$:$∠DOB = ∠DOC + ∠COB = 120°$.

Сложим величины углов $∠AOC$ и $∠DOB$:$∠AOC + ∠DOB = 130° + 120° = 250°$.

Теперь выразим эту сумму через их составляющие:$∠AOC + ∠DOB = (∠AOD + ∠DOC) + (∠DOC + ∠COB)$.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить развёрнутый угол $AOB$:$∠AOC + ∠DOB = (∠AOD + ∠DOC + ∠COB) + ∠DOC$.

Поскольку $(∠AOD + ∠DOC + ∠COB)$ равно $∠AOB$, а $∠AOB = 180°$, мы можем подставить это значение в уравнение:$250° = 180° + ∠DOC$.

Из этого уравнения найдём искомый угол $∠DOC$:$∠DOC = 250° - 180° = 70°$.

Ответ: $70°$.

2.100. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 84). Углы $AOC$ и $BOD$ называют вертикальны-ми. Назовите другую пару вер-тикальных углов. Чему равна сумма величин углов 1 и 3? Чему равна сумма величин углов 3 и 2? Верно ли, что $\angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2$? Верно ли, что $\angle 1 = \angle 2$? Верно ли утверж-дение: вертикальные углы равны?

Рис. 84

Назовите другую пару вертикальных углов.

Вертикальными называют углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. В задаче указана пара углов $ \angle AOC $ (обозначен как $ \angle 1 $) и $ \angle BOD $ (обозначен как $ \angle 2 $). Другой парой вертикальных углов являются $ \angle AOD $ (обозначен как $ \angle 3 $) и $ \angle BOC $.

Ответ: $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $.

Чему равна сумма величин углов 1 и 3?

Углы $ \angle 1 $ ($ \angle AOC $) и $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) являются смежными углами, так как они имеют общую сторону $AO$, а две другие их стороны, $OC$ и $OD$, вместе образуют прямую $CD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $.

Ответ: $180^\circ$.

Чему равна сумма величин углов 3 и 2?

Углы $ \angle 3 $ ($ \angle AOD $) и $ \angle 2 $ ($ \angle BOD $) также являются смежными. У них общая сторона $OD$, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Поэтому $ \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ $.

Ответ: $180^\circ$.

Верно ли, что $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $?

Как было показано в предыдущих пунктах, сумма углов 1 и 3 равна $180^\circ$, так как они смежные. Сумма углов 3 и 2 также равна $180^\circ$ по той же причине. Поскольку обе суммы равны одному и тому же значению ($180^\circ$), то равенство $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $ является верным.

Ответ: Да, верно.

Верно ли, что $ \angle 1 = \angle 2 $?

Рассмотрим верное равенство из предыдущего пункта: $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 3 + \angle 2 $. Если вычесть из обеих частей этого равенства величину угла 3, то равенство останется верным. Получим:

$ (\angle 1 + \angle 3) - \angle 3 = (\angle 3 + \angle 2) - \angle 3 $

$ \angle 1 = \angle 2 $

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

Верно ли утверждение: вертикальные углы равны?

Углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются вертикальными по определению, данному в задаче. В предыдущем пункте мы математически доказали, что их величины равны ($ \angle 1 = \angle 2 $). Это рассуждение справедливо для любой пары вертикальных углов, образованных пересечением двух прямых. Следовательно, утверждение о том, что вертикальные углы равны, является свойством вертикальных углов и оно верно.

Ответ: Да, утверждение верно.

2.101. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла.

Определите величины этих углов, если один из них:

а) в 5 раз больше другого;

б) на $40^\circ$ больше другого.

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если в условии говорится, что один угол больше другого, то речь может идти только о смежных углах, так как вертикальные углы равны между собой.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — это градусные меры двух смежных углов. Тогда их сумма равна $180^\circ$:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

По условию, один из углов в 5 раз больше другого. Пусть $ \beta $ в 5 раз больше $ \alpha $, то есть $ \beta = 5\alpha $.

Подставим это соотношение в уравнение для смежных углов:

$ \alpha + 5\alpha = 180^\circ $

$ 6\alpha = 180^\circ $

$ \alpha = \frac{180^\circ}{6} $

$ \alpha = 30^\circ $

Теперь найдем величину второго угла:

$ \beta = 5\alpha = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ $

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. В данном случае это два угла по $30^\circ$ и два угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$.

По условию, один из углов на $40^\circ$ больше другого. Пусть $ \beta $ на $40^\circ$ больше $ \alpha $, то есть $ \beta = \alpha + 40^\circ $.

Подставим это соотношение в уравнение для смежных углов:

$ \alpha + (\alpha + 40^\circ) = 180^\circ $

$ 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ $

$ 2\alpha = 180^\circ - 40^\circ $

$ 2\alpha = 140^\circ $

$ \alpha = \frac{140^\circ}{2} $

$ \alpha = 70^\circ $

Теперь найдем величину второго угла:

$ \beta = \alpha + 40^\circ = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ $

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. В данном случае это два угла по $70^\circ$ и два угла по $110^\circ$.

Ответ: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

2.102. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 85 изображены окружность с центром $O$, касательная $AB$ и радиус окружности $OC$. $C$ — точка касания.

а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания.

б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели $a$ общих касательных. Рассмотрите все возможные случаи: $a = 0, 1, 2, 3, 4$.

Рис. 85

а) Согласно свойству касательной, радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 85 радиус $OC$ проведён к касательной $AB$ в точку касания $C$. Следовательно, радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$. Углы, образованные касательной и радиусом в точке касания, являются прямыми углами.

Таким образом, $\angle OCA = 90^\circ$ и $\angle OCB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Рассмотрим взаимное расположение двух окружностей с радиусами $R_1$ и $R_2$ (для определённости, пусть $R_1 \ge R_2$) и расстоянием $d$ между их центрами. Количество общих касательных ($a$) зависит от их расположения следующим образом:

Случай $a=0$:Чтобы у двух окружностей не было общих касательных, одна окружность должна находиться полностью внутри другой, не касаясь её. Это условие выполняется, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < R_1 - R_2$. Частным случаем являются концентрические окружности, у которых $d=0$.
Ответ: Одна окружность расположена внутри другой и не касается её.

Случай $a=1$:Чтобы у двух окружностей была ровно одна общая касательная, они должны касаться внутренним образом. В этом случае меньшая окружность находится внутри большей, и они имеют одну общую точку. Условие для такого расположения: расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = R_1 - R_2$ (при $R_1 > R_2$).
Ответ: Окружности касаются внутренним образом.

Случай $a=2$:Чтобы у двух окружностей было две общие касательные, они должны пересекаться в двух точках. В этом случае у них будут только две внешние общие касательные. Условие для такого расположения: расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности: $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности пересекаются в двух точках.

Случай $a=3$:Чтобы у двух окружностей было три общие касательные, они должны касаться внешним образом. В этом случае у них будет одна общая точка касания, две внешние общие касательные и одна внутренняя, проходящая через точку касания. Условие для такого расположения: расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности касаются внешним образом.

Случай $a=4$:Чтобы у двух окружностей было четыре общие касательные, они должны располагаться одна вне другой, не пересекаясь и не касаясь. В этом случае у них будут две внешние и две внутренние общие касательные. Условие для такого расположения: расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности расположены одна вне другой и не касаются друг друга.