Номер 2.102, страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.102. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 85 изображены окружность с центром $O$, касательная $AB$ и радиус окружности $OC$. $C$ — точка касания.

а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания.

б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели $a$ общих касательных. Рассмотрите все возможные случаи: $a = 0, 1, 2, 3, 4$.

Рис. 85

а) Согласно свойству касательной, радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. На рисунке 85 радиус $OC$ проведён к касательной $AB$ в точку касания $C$. Следовательно, радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$. Углы, образованные касательной и радиусом в точке касания, являются прямыми углами.

Таким образом, $\angle OCA = 90^\circ$ и $\angle OCB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) Рассмотрим взаимное расположение двух окружностей с радиусами $R_1$ и $R_2$ (для определённости, пусть $R_1 \ge R_2$) и расстоянием $d$ между их центрами. Количество общих касательных ($a$) зависит от их расположения следующим образом:

Случай $a=0$:Чтобы у двух окружностей не было общих касательных, одна окружность должна находиться полностью внутри другой, не касаясь её. Это условие выполняется, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < R_1 - R_2$. Частным случаем являются концентрические окружности, у которых $d=0$.
Ответ: Одна окружность расположена внутри другой и не касается её.

Случай $a=1$:Чтобы у двух окружностей была ровно одна общая касательная, они должны касаться внутренним образом. В этом случае меньшая окружность находится внутри большей, и они имеют одну общую точку. Условие для такого расположения: расстояние между центрами равно разности их радиусов: $d = R_1 - R_2$ (при $R_1 > R_2$).
Ответ: Окружности касаются внутренним образом.

Случай $a=2$:Чтобы у двух окружностей было две общие касательные, они должны пересекаться в двух точках. В этом случае у них будут только две внешние общие касательные. Условие для такого расположения: расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности: $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности пересекаются в двух точках.

Случай $a=3$:Чтобы у двух окружностей было три общие касательные, они должны касаться внешним образом. В этом случае у них будет одна общая точка касания, две внешние общие касательные и одна внутренняя, проходящая через точку касания. Условие для такого расположения: расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности касаются внешним образом.

Случай $a=4$:Чтобы у двух окружностей было четыре общие касательные, они должны располагаться одна вне другой, не пересекаясь и не касаясь. В этом случае у них будут две внешние и две внутренние общие касательные. Условие для такого расположения: расстояние между центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности расположены одна вне другой и не касаются друг друга.