Номер 2.108, страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.108. Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $0$ координатной прямой попасть в точку $4$? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает.

Да, кузнечик сможет попасть из точки 0 в точку 4 за несколько прыжков. Это можно сделать, например, за два прыжка.

Представим задачу на координатной плоскости. Начальная точка кузнечика — это начало координат $O(0, 0)$. Целевая точка находится на координатной прямой, что соответствует точке $A(4, 0)$ на плоскости. Каждый прыжок кузнечика — это перемещение на расстояние, равное 5 единичным отрезкам, в любом направлении.

Чтобы попасть из точки $O(0, 0)$ в точку $A(4, 0)$ за два прыжка, кузнечик должен сначала прыгнуть в некоторую промежуточную точку $P(x, y)$, а затем из нее — в точку $A(4, 0)$.

Так как длина каждого прыжка равна 5, точка $P(x, y)$ должна удовлетворять двум условиям:

1. 1. Расстояние от начальной точки $O(0, 0)$ до точки $P(x, y)$ должно быть равно 5. Это означает, что точка $P$ лежит на окружности с центром в $O$ и радиусом 5. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
2. 2. Расстояние от промежуточной точки $P(x, y)$ до конечной точки $A(4, 0)$ также должно быть равно 5. Это означает, что точка $P$ лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом 5. Уравнение этой окружности: $(x-4)^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

Координаты точки $P(x, y)$ являются решением системы уравнений этих двух окружностей:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-4)^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$x^2 = (x-4)^2$

$x^2 = x^2 - 8x + 16$

$0 = -8x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Теперь, зная координату $x$, найдем координату $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение системы:

$2^2 + y^2 = 25$

$4 + y^2 = 25$

$y^2 = 21$

$y = \pm\sqrt{21}$

Таким образом, существует две возможные промежуточные точки, в которые кузнечик может прыгнуть: $P_1(2, \sqrt{21})$ и $P_2(2, -\sqrt{21})$. Выберем для примера точку $P_1(2, \sqrt{21})$.

Теперь мы можем описать маршрут кузнечика:

Первый прыжок. Кузнечик прыгает из начальной точки $(0, 0)$ в промежуточную точку $(2, \sqrt{21})$. Длина этого прыжка составляет $\sqrt{(2-0)^2 + (\sqrt{21}-0)^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$ единичных отрезков.

Второй прыжок. Кузнечик прыгает из точки $(2, \sqrt{21})$ в конечную точку $(4, 0)$. Длина этого прыжка составляет $\sqrt{(4-2)^2 + (0-\sqrt{21})^2} = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{21})^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$ единичных отрезков.

В результате двух прыжков кузнечик успешно достигает цели.

Ответ: Да, сможет. Например, за два прыжка: сначала из точки $(0, 0)$ в точку $(2, \sqrt{21})$, а затем из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку $(4, 0)$.