Номер 2.110, страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.110 Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте его углы.

Построение треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см

Для построения треугольника с заданными сторонами с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертить отрезок, равный самой длинной стороне треугольника. Назовем его AB, его длина составит 5 см.
2. Установить на циркуле расстояние, равное длине второй стороны, то есть 4 см. Поставить острие циркуля в точку A и провести дугу окружности.
3. Установить на циркуле расстояние, равное длине третьей стороны, то есть 3 см. Поставить острие циркуля в точку B и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
4. Точку пересечения двух дуг обозначить буквой C.
5. Соединить точку C с точками A и B при помощи линейки.

В результате будет построен треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, AC = 4 см и BC = 3 см.

Ответ: Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см построен согласно описанному алгоритму.

Измерение его углов

Углы построенного треугольника можно измерить при помощи транспортира. Однако, их величину можно точно определить, проанализировав длины сторон.

Данный треугольник является так называемым "египетским треугольником". Проверим, выполняется ли для его сторон теорема Пифагора. Пусть стороны равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

Вычислим сумму квадратов меньших сторон и квадрат большей стороны:

$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив наибольшей стороны (гипотенузы), является прямым. В нашем построении это угол C, который лежит напротив стороны AB. Следовательно, величина угла C равна $90^\circ$.

Два других угла являются острыми. Найдем их величины, используя тригонометрические функции.
Угол A ($\angle CAB$) лежит напротив катета BC, равного 3 см.
$\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6$
$\angle A = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ$. При измерении транспортиром это значение будет примерно $37^\circ$.

Угол B ($\angle CBA$) лежит напротив катета AC, равного 4 см.
$\sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8$
$\angle B = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ$. При измерении транспортиром это значение будет примерно $53^\circ$.

Проверим сумму углов: $90^\circ + 36.87^\circ + 53.13^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника равны $90^\circ$, примерно $37^\circ$ и $53^\circ$.