Страница 105 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.103. Какие виды треугольников вы знаете?

Треугольники классифицируют по двум основным признакам: по соотношению длин сторон и по величине внутренних углов.

Классификация треугольников по сторонам

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны по длине. Как следствие, все его углы также равны и составляют $60^\circ$. Если длины сторон обозначить как $a, b, c$, то для равностороннего треугольника выполняется условие: $a=b=c$.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны по длине. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы при основании такого треугольника равны. Для сторон равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $a, b$ верно: $a=b$.

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Следовательно, все его углы также имеют разную величину. Для его сторон $a, b, c$ выполняется условие: $a \ne b$, $b \ne c$ и $a \ne c$.

Ответ: по сторонам треугольники бывают равносторонние, равнобедренные и разносторонние.

Классификация треугольников по углам

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три внутренних угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. Если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то для каждого из них выполняется условие: $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие — катетами. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$.

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой, то есть его градусная мера больше $90^\circ$ (но меньше $180^\circ$). Поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$, два других угла в тупоугольном треугольнике всегда будут острыми.

Ответ: по углам треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

2.104. Что такое периметр треугольника?

Периметр треугольника — это сумма длин всех трех его сторон. Понятие "периметр" используется для обозначения общей длины замкнутой границы плоской геометрической фигуры. Для треугольника это, соответственно, длина линии, образующей его стороны.

Формула для вычисления периметра

Если обозначить длины сторон произвольного треугольника как $a$, $b$ и $c$, то его периметр, обычно обозначаемый буквой $P$, вычисляется по простой формуле сложения:

$P = a + b + c$

Периметр измеряется в единицах длины (например, в миллиметрах, сантиметрах, метрах и т.д.).

Пример вычисления

Предположим, дан треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 10 см. Чтобы найти его периметр, необходимо сложить длины этих сторон:

$P = 5 \, \text{см} + 7 \, \text{см} + 10 \, \text{см} = 22 \, \text{см}$

Таким образом, периметр данного треугольника составляет 22 сантиметра.

Формулы для частных случаев

Для некоторых видов треугольников формулу периметра можно упростить:

1. Равносторонний треугольник. У такого треугольника все три стороны равны. Если длина одной стороны равна $a$, то периметр равен:

$P = a + a + a = 3a$

2. Равнобедренный треугольник. У этого треугольника две боковые стороны равны, а третья сторона (основание) имеет другую длину. Если длина боковой стороны — $a$, а длина основания — $b$, то периметр вычисляется как:

$P = a + a + b = 2a + b$

Ответ: Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле $P = a + b + c$, где $a$, $b$ и $c$ являются длинами сторон треугольника.

2.105. Определите вид треугольника на рисунке 90.

Рис. 90

Для определения вида каждого треугольника проанализируем его стороны и углы на основе визуального представления.

Треугольник AOB
На рисунке видно, что боковые стороны треугольника $AO$ и $AB$ равны. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Все углы этого треугольника ( $ \angle AOB $, $ \angle OBA $, $ \angle BAO $) являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.
Ответ: остроугольный равнобедренный треугольник.

Треугольник CDE
В данном треугольнике все стороны ($CD$, $DE$, $CE$) имеют разную длину, поэтому он является разносторонним. Угол при вершине $D$ ( $ \angle CDE $) является прямым, то есть равен $90^\circ$. Треугольник с одним прямым углом называется прямоугольным.
Ответ: прямоугольный разносторонний треугольник.

Треугольник MNK
Визуально все три стороны этого треугольника ($MN$, $NK$, $KM$) равны между собой. Такой треугольник называется равносторонним или правильным. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$ и, следовательно, являются острыми.
Ответ: равносторонний (правильный) треугольник.

Треугольник TSR
Все стороны этого треугольника ($TS$, $SR$, $RT$) имеют разную длину, значит, он разносторонний. Угол при вершине $S$ ( $ \angle TSR $) больше $90^\circ$, то есть является тупым. Треугольник, имеющий один тупой угол, называется тупоугольным.
Ответ: тупоугольный разносторонний треугольник.

2.106. Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника. Сделайте вывод.

Построение равнобедренного треугольника

1. С помощью линейки начертим отрезок $AC$ длиной 4 см. Этот отрезок будет служить основанием треугольника.
2. Раствор циркуля установим равным 3 см, что соответствует длине боковой стороны.
3. Поставив острие циркуля в точку $A$, проведем дугу окружности радиусом 3 см.
4. Не меняя раствора циркуля, поставим его острие в точку $C$ и проведем вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
5. Точку пересечения дуг обозначим буквой $B$. Это будет третья вершина треугольника.
6. С помощью линейки соединим отрезками точку $B$ с точками $A$ и $C$.
В результате мы получили треугольник $ABC$, у которого основание $AC = 4$ см, а боковые стороны $AB = BC = 3$ см.
Ответ: Искомый равнобедренный треугольник построен.

Сравнение углов при основании

В построенном треугольнике $ABC$ углами при основании являются $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Если измерить эти углы с помощью транспортира, можно убедиться, что их градусные меры одинаковы.
Равенство этих углов также следует из основного свойства равнобедренного треугольника. По построению, стороны $AB$ и $BC$ равны. Углы, лежащие напротив равных сторон, в любом треугольнике равны. Угол $\angle BCA$ лежит напротив стороны $AB$, а угол $\angle BAC$ — напротив стороны $BC$. Так как $AB = BC$, то и углы напротив них равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Ответ: Углы при основании построенного треугольника равны.

Вывод

На основании выполненного построения и сравнения углов можно сформулировать общее свойство для всех равнобедренных треугольников.
Вывод: в равнобедренном треугольнике углы при основании всегда равны.
Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2.107. Постройте отрезок $AB$. Постройте равносторонний треугольник со стороной $AB$. Измерьте углы построенного треугольника. Сделайте вывод.

Постройте отрезок AB. Постройте равносторонний треугольник со стороной AB.

1. С помощью линейки построим на плоскости произвольный отрезок и обозначим его концы буквами $A$ и $B$.
2. Возьмем циркуль. Установим его раствор равным длине отрезка $AB$, для этого поместим иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$.
3. Не меняя раствора циркуля, начертим дугу окружности с центром в точке $A$.
4. Затем, с тем же раствором циркуля, начертим дугу окружности с центром в точке $B$ так, чтобы она пересекла первую дугу.
5. Точку пересечения двух дуг обозначим буквой $C$.
6. Соединим с помощью линейки точку $C$ с точками $A$ и $B$, получив отрезки $AC$ и $BC$.
Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как по построению все его стороны равны радиусу проведенных дуг, который был равен длине отрезка $AB$. Таким образом, $AB = AC = BC$.

Ответ: Построен равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB$.

Измерьте углы построенного треугольника.

Для измерения углов воспользуемся транспортиром.
1. Измерим угол $A$ ($∠BAC$). Для этого приложим центр транспортира к вершине $A$, а его основание (нулевую отметку) совместим со стороной $AB$. Штрих на шкале транспортира, через который проходит сторона $AC$, покажет величину угла. Измерение показывает $60°$.
2. Аналогично проведем измерения для углов $B$ ($∠ABC$) и $C$ ($∠BCA$).
В результате измерений мы убеждаемся, что все углы треугольника равны.

Ответ: $∠A = 60°$, $∠B = 60°$, $∠C = 60°$.

Сделайте вывод.

На основе проведенных построений и измерений можно сделать вывод, что у равностороннего треугольника все углы равны между собой. Величина каждого угла составляет $60°$.
Этот вывод соответствует известной теореме о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех углов любого треугольника равна $180°$. Так как в равностороннем треугольнике все углы равны, то величина каждого из них составляет $180° / 3 = 60°$.

Ответ: Все углы равностороннего треугольника равны между собой и каждый из них равен $60°$.

2.108. Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $0$ координатной прямой попасть в точку $4$? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает.

Да, кузнечик сможет попасть из точки 0 в точку 4 за несколько прыжков. Это можно сделать, например, за два прыжка.

Представим задачу на координатной плоскости. Начальная точка кузнечика — это начало координат $O(0, 0)$. Целевая точка находится на координатной прямой, что соответствует точке $A(4, 0)$ на плоскости. Каждый прыжок кузнечика — это перемещение на расстояние, равное 5 единичным отрезкам, в любом направлении.

Чтобы попасть из точки $O(0, 0)$ в точку $A(4, 0)$ за два прыжка, кузнечик должен сначала прыгнуть в некоторую промежуточную точку $P(x, y)$, а затем из нее — в точку $A(4, 0)$.

Так как длина каждого прыжка равна 5, точка $P(x, y)$ должна удовлетворять двум условиям:

1. 1. Расстояние от начальной точки $O(0, 0)$ до точки $P(x, y)$ должно быть равно 5. Это означает, что точка $P$ лежит на окружности с центром в $O$ и радиусом 5. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
2. 2. Расстояние от промежуточной точки $P(x, y)$ до конечной точки $A(4, 0)$ также должно быть равно 5. Это означает, что точка $P$ лежит на окружности с центром в $A$ и радиусом 5. Уравнение этой окружности: $(x-4)^2 + y^2 = 5^2 = 25$.

Координаты точки $P(x, y)$ являются решением системы уравнений этих двух окружностей:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-4)^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$x^2 = (x-4)^2$

$x^2 = x^2 - 8x + 16$

$0 = -8x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Теперь, зная координату $x$, найдем координату $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение системы:

$2^2 + y^2 = 25$

$4 + y^2 = 25$

$y^2 = 21$

$y = \pm\sqrt{21}$

Таким образом, существует две возможные промежуточные точки, в которые кузнечик может прыгнуть: $P_1(2, \sqrt{21})$ и $P_2(2, -\sqrt{21})$. Выберем для примера точку $P_1(2, \sqrt{21})$.

Теперь мы можем описать маршрут кузнечика:

Первый прыжок. Кузнечик прыгает из начальной точки $(0, 0)$ в промежуточную точку $(2, \sqrt{21})$. Длина этого прыжка составляет $\sqrt{(2-0)^2 + (\sqrt{21}-0)^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$ единичных отрезков.

Второй прыжок. Кузнечик прыгает из точки $(2, \sqrt{21})$ в конечную точку $(4, 0)$. Длина этого прыжка составляет $\sqrt{(4-2)^2 + (0-\sqrt{21})^2} = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{21})^2} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$ единичных отрезков.

В результате двух прыжков кузнечик успешно достигает цели.

Ответ: Да, сможет. Например, за два прыжка: сначала из точки $(0, 0)$ в точку $(2, \sqrt{21})$, а затем из точки $(2, \sqrt{21})$ в точку $(4, 0)$.

2.109. Постройте треугольник:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный;

г) равнобедренный;

д) равносторонний;

е) равнобедренный и остроугольный;

ж) равнобедренный и тупоугольный.

Для построения треугольников будем использовать циркуль и линейку.

а) остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Для его построения можно использовать три стороны $a, b, c$, для которых выполняется неравенство треугольника и условие остроугольности: квадрат большей стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон.

Возьмем стороны длиной 5 см, 6 см и 7 см. Проверим условия:

• Неравенство треугольника: $5+6 > 7$ (верно).
• Условие остроугольности (7 см — наибольшая сторона): $7^2 < 5^2 + 6^2 \implies 49 < 25 + 36 \implies 49 < 61$ (верно).

Построение:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 7 см.
2. С помощью циркуля начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 6 см.
3. Начертите дугу окружности с центром в точке B и радиусом 5 см.
4. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
5. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является остроугольным.

б) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой ($90^\circ$).

Построение:

1. Начертите прямую линию и отметьте на ней точку B.
2. С помощью угольника или циркуля постройте прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку B.
3. На первой прямой отложите от точки B отрезок BA произвольной длины (например, 4 см).
4. На второй (перпендикулярной) прямой отложите от точки B отрезок BC произвольной длины (например, 3 см).
5. Соедините отрезком точки A и C.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

в) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). Для его построения можно использовать три стороны $a, b, c$, для которых квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон.

Возьмем стороны длиной 3 см, 5 см и 7 см. Проверим условия:

• Неравенство треугольника: $3+5 > 7$ (верно).
• Условие тупоугольности (7 см — наибольшая сторона): $7^2 > 3^2 + 5^2 \implies 49 > 9 + 25 \implies 49 > 34$ (верно).

Построение:

1. С помощью линейки начертите отрезок AB длиной 7 см.
2. С помощью циркуля начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 5 см.
3. Начертите дугу окружности с центром в точке B и радиусом 3 см.
4. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
5. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является тупоугольным.

г) равнобедренный

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья — основанием.

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) произвольной длины (например, 6 см).
2. Выберите радиус циркуля, больший половины длины основания (например, 5 см).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и выбранным радиусом.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как боковые стороны $AB = CB = 5$ см.

д) равносторонний

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Все его углы равны $60^\circ$.

Построение:

1. Начертите отрезок AB произвольной длины (например, 5 см).
2. Установите радиус циркуля равным длине отрезка AB (5 см).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и этим радиусом.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке B и тем же радиусом.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой C.
6. Соедините отрезками точки A и C, B и C.

Ответ: Треугольник ABC является равносторонним со стороной 5 см.

е) равнобедренный и остроугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого все углы острые. Для этого боковая сторона $a$ и основание $b$ должны удовлетворять условию $b < a\sqrt{2}$.

Возьмем боковые стороны $a=5$ см, а основание $b=6$ см. Проверим условие: $6 < 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$ (верно).

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) длиной 6 см.
2. Установите радиус циркуля равным 5 см (длина боковой стороны).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 5 см.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом 5 см.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и остроугольным.

ж) равнобедренный и тупоугольный

Это равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) тупой. Для этого боковая сторона $a$ и основание $b$ должны удовлетворять условию $b > a\sqrt{2}$. При этом должно сохраняться неравенство треугольника $b < 2a$.

Возьмем боковые стороны $a=4$ см. Тогда основание $b$ должно быть в пределах $4\sqrt{2} < b < 2 \times 4$, то есть $5.66 < b < 8$. Выберем $b=7$ см.

Построение:

1. Начертите отрезок AC (основание) длиной 7 см.
2. Установите радиус циркуля равным 4 см (длина боковой стороны).
3. Начертите дугу окружности с центром в точке A и радиусом 4 см.
4. Начертите дугу окружности с центром в точке C и тем же радиусом 4 см.
5. Точку пересечения дуг обозначьте буквой B.
6. Соедините отрезками точки A и B, C и B.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и тупоугольным.

2.110 Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте его углы.

Построение треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см

Для построения треугольника с заданными сторонами с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертить отрезок, равный самой длинной стороне треугольника. Назовем его AB, его длина составит 5 см.
2. Установить на циркуле расстояние, равное длине второй стороны, то есть 4 см. Поставить острие циркуля в точку A и провести дугу окружности.
3. Установить на циркуле расстояние, равное длине третьей стороны, то есть 3 см. Поставить острие циркуля в точку B и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
4. Точку пересечения двух дуг обозначить буквой C.
5. Соединить точку C с точками A и B при помощи линейки.

В результате будет построен треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, AC = 4 см и BC = 3 см.

Ответ: Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см построен согласно описанному алгоритму.

Измерение его углов

Углы построенного треугольника можно измерить при помощи транспортира. Однако, их величину можно точно определить, проанализировав длины сторон.

Данный треугольник является так называемым "египетским треугольником". Проверим, выполняется ли для его сторон теорема Пифагора. Пусть стороны равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см.

Вычислим сумму квадратов меньших сторон и квадрат большей стороны:

$a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив наибольшей стороны (гипотенузы), является прямым. В нашем построении это угол C, который лежит напротив стороны AB. Следовательно, величина угла C равна $90^\circ$.

Два других угла являются острыми. Найдем их величины, используя тригонометрические функции.
Угол A ($\angle CAB$) лежит напротив катета BC, равного 3 см.
$\sin(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6$
$\angle A = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ$. При измерении транспортиром это значение будет примерно $37^\circ$.

Угол B ($\angle CBA$) лежит напротив катета AC, равного 4 см.
$\sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8$
$\angle B = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ$. При измерении транспортиром это значение будет примерно $53^\circ$.

Проверим сумму углов: $90^\circ + 36.87^\circ + 53.13^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника равны $90^\circ$, примерно $37^\circ$ и $53^\circ$.

2.111. а) Одна сторона треугольника равна 10 см, она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

б) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

в) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

г) Одна сторона треугольника равна 25 см, она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника.

а) Пусть первая сторона треугольника равна $a$, вторая — $b$, а третья — $c$. По условию, $a = 10$ см. Первая сторона на 2 см меньше второй, значит, вторая сторона на 2 см длиннее первой: $b = a + 2 = 10 + 2 = 12$ см. Первая сторона на 3 см меньше третьей, значит, третья сторона на 3 см длиннее первой: $c = a + 3 = 10 + 3 = 13$ см. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. $P = 10 + 12 + 13 = 35$ см.

Ответ: 35 см.

б) Пусть первая сторона треугольника равна $a$, вторая — $b$, а третья — $c$. По условию, $a = 12$ см. Первая сторона на 4 см больше второй, значит, вторая сторона на 4 см короче первой: $b = a - 4 = 12 - 4 = 8$ см. Первая сторона на 3 см больше третьей, значит, третья сторона на 3 см короче первой: $c = a - 3 = 12 - 3 = 9$ см. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. $P = 12 + 8 + 9 = 29$ см.

Ответ: 29 см.

в) Пусть первая сторона треугольника равна $a$, вторая — $b$, а третья — $c$. По условию, $a = 12$ см. Первая сторона на 3 см меньше второй, значит, вторая сторона на 3 см длиннее первой: $b = a + 3 = 12 + 3 = 15$ см. Первая сторона на 2 см больше третьей, значит, третья сторона на 2 см короче первой: $c = a - 2 = 12 - 2 = 10$ см. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. $P = 12 + 15 + 10 = 37$ см.

Ответ: 37 см.

г) Пусть первая сторона треугольника равна $a$, вторая — $b$, а третья — $c$. По условию, $a = 25$ см. Первая сторона на 4 см больше второй, значит, вторая сторона на 4 см короче первой: $b = a - 4 = 25 - 4 = 21$ см. Первая сторона на 5 см меньше третьей, значит, третья сторона на 5 см длиннее первой: $c = a + 5 = 25 + 5 = 30$ см. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. $P = 25 + 21 + 30 = 76$ см.

Ответ: 76 см.