Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.81. Что называют углом, вершиной угла, сторонами угла?

Угол

Углом называют геометрическую фигуру, которая состоит из точки и двух лучей (сторон), исходящих из этой точки. Эти лучи делят плоскость, в которой они лежат, на две части. Каждую из этих частей, объединенную с лучами, также называют углом. Величину угла обычно измеряют в градусах ($°$) или радианах. Угол можно обозначить, например, как $\angle ABC$, где $B$ — это вершина, а $A$ и $C$ — точки на сторонах угла.

Ответ: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной общей точки.

Вершина угла

Вершиной угла является общая начальная точка, из которой выходят два луча, образующие этот угол. В обозначении угла $\angle ABC$ вершиной является точка $B$, которая всегда пишется в середине.

Ответ: Вершина угла — это точка, которая является общим началом для сторон угла.

Стороны угла

Сторонами угла являются два луча, которые исходят из вершины угла и образуют его. В угле $\angle ABC$ сторонами являются лучи $BA$ и $BC$. Стороны угла — это бесконечные лучи, поэтому их длина не имеет значения для величины самого угла.

Ответ: Стороны угла — это лучи, образующие угол.

2.82. a) Какие углы называют равными?

б) Какой угол называют развёрнутым; прямым; острым; тупым?

а) Два угла называют равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Основным свойством равных углов является равенство их градусных (или радианных) мер. Таким образом, если градусная мера одного угла равна градусной мере другого угла, то эти углы равны. Например, если $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$, то $\angle A = \angle B$.
Ответ: Равными называют углы, которые имеют одинаковую градусную меру.

б) В зависимости от градусной меры углы подразделяются на несколько видов:
- Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. Величина развёрнутого угла равна $180^\circ$.
- Прямой угол — это угол, равный половине развёрнутого угла. Его величина составляет $90^\circ$.
- Острый угол — это угол, который меньше прямого угла. Его градусная мера больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Для острого угла $\alpha$ выполняется неравенство $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
- Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого. Его градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Для тупого угла $\beta$ выполняется неравенство $90^\circ < \beta < 180^\circ$.
Ответ: Развёрнутым называют угол, равный $180^\circ$; прямым — угол, равный $90^\circ$; острым — угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$; тупым — угол, который больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

2.83. Сколько градусов содержит развёрнутый угол; прямой угол?

развёрнутый угол

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и образуют эту прямую. Величина такого угла составляет половину полного оборота. Полный оборот равен $360^\circ$. Следовательно, чтобы найти градусную меру развёрнутого угла, нужно разделить величину полного оборота на 2.

$\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.

прямой угол

Прямой угол — это угол, равный половине развёрнутого угла. Он образуется, например, при пересечении двух перпендикулярных прямых. Зная, что развёрнутый угол равен $180^\circ$, можно вычислить градусную меру прямого угла, разделив $180^\circ$ на 2.

$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

2.84. Какие прямые называют перпендикулярными?

Две прямые на плоскости или в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом.

Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Когда две перпендикулярные прямые пересекаются, они образуют четыре прямых угла.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b используется специальный символ $\perp$. Запись $a \perp b$ читается как «прямая a перпендикулярна прямой b».

В аналитической геометрии на плоскости условие перпендикулярности двух прямых (непараллельных осям координат) можно выразить через их угловые коэффициенты. Если прямые заданы уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов $k_1$ и $k_2$ равно -1: $$k_1 \cdot k_2 = -1$$ Это означает, что их угловые коэффициенты являются обратными по величине и противоположными по знаку (например, если $k_1 = 3$, то $k_2 = -\frac{1}{3}$). Отдельно рассматривается случай, когда одна прямая горизонтальна (например, $y=c$, угловой коэффициент $k=0$), а другая вертикальна (например, $x=d$, угловой коэффициент не определен) — такие прямые также перпендикулярны.

Ответ: Перпендикулярные прямые — это две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол ($90^\circ$).

2.85. На рисунке 81 изображены углы. Проверьте результаты измерения. Назовите острые, прямые и тупые углы.

Поскольку в задании отсутствует рисунок 81, невозможно выполнить проверку для конкретных углов. Ниже представлен общий алгоритм решения подобных задач.

Для начала, вспомним определения различных видов углов в зависимости от их градусной меры:

• Острый угол: угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Проверьте результаты измерения

Эта часть задания предполагает, что на рисунке 81 у каждого угла уже указана его градусная мера. Чтобы проверить эти значения, необходимо самостоятельно измерить углы с помощью транспортира.

1. Приложите транспортир к углу так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, а одна из сторон угла прошла через отметку $0^\circ$ на шкале транспортира.
2. Посмотрите, на какую отметку на той же шкале указывает вторая сторона угла. Это и будет его градусная мера.
3. Сравните полученное вами значение с тем, которое указано на рисунке. Если значения совпадают (с учетом небольшой погрешности измерения), то результат измерения на рисунке верен. В противном случае — неверен.

Ответ: Для проверки результатов измерения нужно использовать транспортир, чтобы самостоятельно измерить углы и сравнить полученные значения с указанными на рисунке.

Назовите острые, прямые и тупые углы

После того, как градусные меры всех углов на рисунке известны и проверены, их необходимо классифицировать.

• Все углы, чья мера меньше $90^\circ$, являются острыми.
• Все углы, чья мера равна $90^\circ$, являются прямыми.
• Все углы, чья мера больше $90^\circ$ (но меньше $180^\circ$), являются тупыми.

Например, если бы на рисунке были углы $\angle MKN = 35^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle FDE = 140^\circ$, то классификация была бы следующей:

• $\angle MKN$ — острый, так как $35^\circ < 90^\circ$.
• $\angle ABC$ — прямой, так как его мера равна $90^\circ$.
• $\angle FDE$ — тупой, так как $90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$.

Ответ: Острые углы — те, что меньше $90^\circ$. Прямые углы — равные $90^\circ$. Тупые углы — больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Для ответа на этот вопрос нужно применить эти определения к углам, изображенным на рисунке 81.

2.86. С помощью транспортира измерьте углы на рисунке 82 и сделайте в тетради соответствующие записи.

К сожалению, в предоставленном изображении отсутствует "рисунок 82", на котором находятся углы для измерения. Поэтому невозможно дать точные значения углов.

Однако, я могу предоставить общее руководство по выполнению этого задания и привести пример, как должны выглядеть записи в тетради.

Как измерить угол с помощью транспортира:
1. Совместите центр транспортира (специальную отметку в середине его прямого края) с вершиной измеряемого угла.
2. Расположите транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила точно по прямой линии транспортира через отметку 0°.
3. Вторая сторона угла укажет на шкале транспортира его величину в градусах. Если у транспортира две шкалы, выберите ту, отсчет по которой начинается с 0° на первой стороне угла.

Пример выполнения задания для гипотетического рисунка:
Предположим, на рисунке 82 были изображены три угла, которые мы обозначим как $ \angle AOB $, $ \angle CDE $ и $ \angle FGH $. После их измерения с помощью транспортира, записи в тетради могли бы выглядеть следующим образом:

Угол $ \angle AOB $
Измерение показывает, что угол $ \angle AOB $ является острым. Его величина равна 35 градусам.
Запись в тетради: $ \angle AOB = 35° $.
Ответ: $ \angle AOB = 35° $.

Угол $ \angle CDE $
Измерение показывает, что угол $ \angle CDE $ является прямым. Его величина равна 90 градусам.
Запись в тетради: $ \angle CDE = 90° $.
Ответ: $ \angle CDE = 90° $.

Угол $ \angle FGH $
Измерение показывает, что угол $ \angle FGH $ является тупым. Его величина равна 140 градусам.
Запись в тетради: $ \angle FGH = 140° $.
Ответ: $ \angle FGH = 140° $.

Чтобы выполнить ваше задание, воспользуйтесь этим руководством и измерьте углы на вашем рисунке 82, а затем сделайте соответствующие записи.

2.87. С помощью транспортира постройте углы, равные: 90°; 50°; 30°; 60°; 100°; 95°; 105°; 45°; 135°; 15°.

Рис. 80

a) $\angle MNK = 70^\circ$

$\angle PQR = 90^\circ$

$\angle DEF = 120^\circ$

Рис. 81

б) $\angle ABC = 38^\circ$

$\angle XYZ = 90^\circ$

$\angle GOH = 135^\circ$

Рис. 82

Для построения углов, равных заданным градусным мерам, с помощью транспортира и линейки, необходимо выполнить последовательность действий для каждого угла.

Построение угла 90°

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $O$. Обозначим на луче точку $A$. Луч $OA$ будет одной из сторон угла.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой $O$, а его основание (линия с отметкой $0°$) прошло по лучу $OA$.
3. На шкале транспортира найдем отметку $90°$. Поставим рядом с этой отметкой точку $B$.
4. Снимем транспортир и с помощью линейки проведем луч $OB$ из вершины $O$ через точку $B$.

Полученный угол $\angle AOB$ является искомым. Его величина составляет $90°$. Такой угол называется прямым.

Ответ: Угол $90°$ построен.

Построение угла 50°

1. Проведем луч с началом в точке $C$, назовем его $CD$.
2. Совместим центр транспортира с точкой $C$, а нулевую отметку — с лучом $CD$.
3. На шкале транспортира, которая начинается с нуля на луче $CD$, найдем деление $50°$ и поставим точку $E$.
4. Проведем луч $CE$.

Угол $\angle DCE$ равен $50°$. Так как $50° < 90°$, этот угол является острым.

Ответ: Угол $50°$ построен.

Построение угла 30°

1. Начертим луч $FG$ с началом в точке $F$.
2. Приложим транспортир центром к точке $F$ так, чтобы луч $FG$ прошел через отметку $0°$.
3. Найдем на соответствующей шкале отметку $30°$ и поставим точку $H$.
4. Соединим точки $F$ и $H$ лучом.

Полученный угол $\angle GFH$ имеет меру $30°$. Это острый угол.

Ответ: Угол $30°$ построен.

Построение угла 60°

1. Проведем луч $JK$ с началом в точке $J$.
2. Поместим транспортир так, чтобы его центр был в точке $J$, а луч $JK$ совпадал с нулевой линией.
3. На шкале найдем отметку $60°$ и поставим точку $L$.
4. Проведем луч $JL$.

Угол $\angle KJL$ равен $60°$. Это острый угол.

Ответ: Угол $60°$ построен.

Построение угла 100°

1. Начертим луч $MN$ с началом в точке $M$.
2. Приложим транспортир центром к точке $M$ и выровняем его по лучу $MN$.
3. Найдем на шкале отметку $100°$ и отметим точку $P$.
4. Проведем луч $MP$.

Угол $\angle NMP$ имеет градусную меру $100°$. Так как $100° > 90°$, этот угол является тупым.

Ответ: Угол $100°$ построен.

Построение угла 95°

1. Проведем луч $QR$ с началом в точке $Q$.
2. Совместим центр транспортира с точкой $Q$ и нулевую линию с лучом $QR$.
3. Найдем на шкале деление $95°$ и поставим точку $S$.
4. Проведем луч $QS$.

Угол $\angle RQS$ равен $95°$. Это тупой угол.

Ответ: Угол $95°$ построен.

Построение угла 105°

1. Начертим луч $TU$ с началом в точке $T$.
2. Приложим транспортир центром к точке $T$ так, чтобы луч $TU$ прошел через отметку $0°$.
3. Найдем на шкале отметку $105°$ и поставим точку $V$.
4. Соединим точки $T$ и $V$ лучом.

Полученный угол $\angle UTV$ равен $105°$. Это тупой угол.

Ответ: Угол $105°$ построен.

Построение угла 45°

1. Проведем луч $WX$ с началом в точке $W$.
2. Поместим центр транспортира в точку $W$ и выровняем нулевую линию по лучу $WX$.
3. На шкале найдем отметку $45°$ и поставим точку $Y$.
4. Проведем луч $WY$.

Угол $\angle XWY$ равен $45°$. Это острый угол.

Ответ: Угол $45°$ построен.

Построение угла 135°

1. Начертим луч с началом в точке $A$, назовем его $AB$.
2. Приложим транспортир центром к точке $A$ и выровняем его по лучу $AB$.
3. Найдем на шкале отметку $135°$ и отметим точку $C$.
4. Проведем луч $AC$.

Угол $\angle BAC$ равен $135°$. Это тупой угол.

Ответ: Угол $135°$ построен.

Построение угла 15°

1. Проведем луч $DE$ с началом в точке $D$.
2. Совместим центр транспортира с точкой $D$ и нулевую линию с лучом $DE$.
3. Найдем на шкале деление $15°$ и поставим точку $F$.
4. Проведем луч $DF$.

Угол $\angle EDF$ равен $15°$. Это острый угол.

Ответ: Угол $15°$ построен.