Страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.78. На отрезке $AB$ отметьте точку $C$.

а) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AC$ и с центром $B$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $C$. Говорят, что они касаются внешним образом.

б) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AB$ и с центром $C$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $B$. Говорят, что они касаются внутренним образом.

а)

Для построения двух окружностей, касающихся внешним образом, выполним следующие шаги:
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. Отметим на отрезке $AB$ любую точку $C$ между точками $A$ и $B$.
3. Построим первую окружность. Установим ножку циркуля в точку $A$ (это будет центр окружности), а грифель — в точку $C$. Проведем окружность. Радиус этой окружности будет равен длине отрезка $AC$, то есть $R_1 = AC$.
4. Построим вторую окружность. Установим ножку циркуля в точку $B$ (центр второй окружности), а грифель — в точку $C$. Проведем вторую окружность. Ее радиус будет равен длине отрезка $CB$, то есть $R_2 = CB$.

В результате мы получили две окружности. Проверим, почему они имеют только одну общую точку $C$.
Расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $AB$. Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$: $AB = AC + CB$.
Сумма радиусов двух окружностей равна $R_1 + R_2 = AC + CB$.
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов ($AB = R_1 + R_2$). Это является условием того, что окружности касаются внешним образом. Точка касания — это точка, лежащая на линии центров, в данном случае это точка $C$. Точка $C$ принадлежит первой окружности, так как расстояние от ее центра $A$ до $C$ равно радиусу $AC$. Она также принадлежит второй окружности, так как расстояние от ее центра $B$ до $C$ равно радиусу $CB$. Следовательно, $C$ — общая точка. Она является единственной общей точкой, так как для любой другой точки $X$ на первой окружности, по неравенству треугольника, $AX + XB > AB$, что означает $AC + XB > AC + CB$, и следовательно, $XB > CB$. Это значит, что любая другая точка первой окружности находится вне второй окружности.

Ответ: Построение, описанное выше, приводит к созданию двух окружностей с центрами в $A$ и $B$ и радиусами $AC$ и $CB$, которые касаются внешним образом в единственной общей точке $C$.

б)

Для построения двух окружностей, касающихся внутренним образом, выполним следующие шаги:
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. Отметим на отрезке $AB$ любую точку $C$ между точками $A$ и $B$.
3. Построим первую (большую) окружность. Установим ножку циркуля в точку $A$ (центр), а грифель — в точку $B$. Проведем окружность. Ее радиус $R_1 = AB$.
4. Построим вторую (меньшую) окружность. Установим ножку циркуля в точку $C$ (центр), а грифель — в точку $B$. Проведем окружность. Ее радиус $R_2 = CB$.

В результате мы получили две окружности. Проверим, почему они имеют только одну общую точку $B$.
Расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $AC$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AC = AB - CB$.
Разность радиусов двух окружностей равна $R_1 - R_2 = AB - CB$.
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов ($AC = R_1 - R_2$). Это является условием того, что окружности касаются внутренним образом. Точка $B$ принадлежит первой окружности, так как расстояние от ее центра $A$ до $B$ равно радиусу $AB$. Она также принадлежит второй окружности, так как расстояние от ее центра $C$ до $B$ равно радиусу $CB$. Следовательно, $B$ — общая точка. Она является единственной общей точкой, так как для любой другой общей точки $X$ должно выполняться $AX = AB$ и $CX = CB$. Точки $A$, $C$, $X$ образуют треугольник, для которого выполняется неравенство $AX \le AC + CX$. Подставив значения, получаем $AB \le AC + CB$. Поскольку точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, то $AB = AC + CB$. Равенство в неравенстве треугольника достигается только тогда, когда точка $C$ лежит на отрезке $AX$. Это возможно только если точка $X$ совпадает с точкой $B$.

Ответ: Построение, описанное выше, приводит к созданию двух окружностей с центрами в $A$ и $C$ и радиусами $AB$ и $CB$, которые касаются внутренним образом в единственной общей точке $B$.

2.79. Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см, касающиеся:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

а) внешним образом

Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку касания и при этом одна окружность находится вне другой. Ключевое свойство внешнего касания окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Пусть радиус первой окружности $R_1 = 4$ см, а второй $R_2 = 3$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — их центры. Тогда расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:
$d = R_1 + R_2 = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Порядок построения:
1. Проводим прямую линию и отмечаем на ней произвольную точку $O_1$, которая будет центром первой окружности.
2. С помощью линейки откладываем от точки $O_1$ вдоль прямой отрезок $O_1O_2$ длиной 7 см. Точка $O_2$ будет центром второй окружности.
3. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу первой окружности (4 см), ставим острие циркуля в точку $O_1$ и чертим окружность.
4. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу второй окружности (3 см), ставим острие циркуля в точку $O_2$ и чертим вторую окружность.
Построенные окружности будут касаться друг друга внешним образом в одной точке, которая лежит на отрезке $O_1O_2$.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внешним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии, равном сумме их радиусов, то есть $4 + 3 = 7$ см.

б) внутренним образом

Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку касания и при этом одна окружность (меньшая) находится внутри другой (большей). Ключевое свойство внутреннего касания окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Пусть радиус большей окружности $R_1 = 4$ см, а меньшей $R_2 = 3$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — их центры. Тогда расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:
$d = |R_1 - R_2| = |4 \text{ см} - 3 \text{ см}| = 1 \text{ см}$

Порядок построения:
1. Проводим прямую линию и отмечаем на ней произвольную точку $O_1$, которая будет центром большей окружности.
2. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу большей окружности (4 см), ставим острие циркуля в точку $O_1$ и чертим окружность.
3. От точки $O_1$ вдоль прямой откладываем отрезок $O_1O_2$ длиной 1 см. Точка $O_2$ будет центром меньшей окружности.
4. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу меньшей окружности (3 см), ставим острие циркуля в точку $O_2$ и чертим вторую окружность.
Построенные окружности будут касаться друг друга внутренним образом в одной точке, которая лежит на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внутренним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии, равном разности их радиусов, то есть $4 - 3 = 1$ см.

2.80. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке $AB$ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Задача состоит из двух частей: построение первых двух окружностей и затем построение третьей окружности, которая касается первых двух. Решим их последовательно.

Построение двух окружностей с центрами А и В

По условию, первая окружность имеет центр в точке А и радиус $R_1 = 3$ см, а вторая — центр в точке В и радиус $R_2 = 5$ см. Окружности должны касаться внешним образом.

Условием внешнего касания двух окружностей является равенство расстояния между их центрами сумме их радиусов. Следовательно, расстояние между точками А и В должно быть: $AB = R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Порядок построения:

1. Начертите прямую и выберите на ней произвольную точку А.

2. С помощью линейки отложите от точки А отрезок $AB$ длиной 8 см.

3. Из точки А как из центра проведите окружность радиусом 3 см.

4. Из точки В как из центра проведите окружность радиусом 5 см.

В результате будут построены две окружности, касающиеся друг друга внешним образом в точке, лежащей на отрезке АВ.

Построение третьей окружности

По условию, третья окружность имеет центр С, который лежит на отрезке АВ, и касается двух первых окружностей внутренним образом. Это означает, что первая и вторая окружности находятся внутри третьей и касаются ее изнутри.

Для построения третьей окружности необходимо найти ее радиус $R_3$ и положение ее центра С.

Так как все три центра (А, В, С) лежат на одной прямой, диаметр $D_3$ третьей окружности будет равен расстоянию между самыми удаленными точками первой и второй окружностей, которые также лежат на этой прямой. Таким образом, диаметр $D_3$ складывается из радиуса первой окружности, расстояния между центрами АВ и радиуса второй окружности: $D_3 = R_1 + AB + R_2 = 3 \text{ см} + 8 \text{ см} + 5 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Радиус третьей окружности $R_3$ равен половине ее диаметра: $R_3 = \frac{D_3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$.

Теперь найдем положение центра С на отрезке АВ. Условием внутреннего касания окружностей является равенство расстояния между их центрами разности их радиусов (большего и меньшего).

Расстояние от центра А до центра С: $AC = R_3 - R_1 = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Расстояние от центра В до центра С: $BC = R_3 - R_2 = 8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Для проверки убедимся, что точка С лежит на отрезке АВ: $AC + BC = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$, что в точности равно длине отрезка АВ.

Порядок построения:

1. На уже построенном отрезке АВ отложите от точки А расстояние 5 см (или от точки В расстояние 3 см). Отметьте эту точку как С.

2. Из точки С как из центра постройте окружность радиусом $R_3 = 8$ см. Обратите внимание, что этот радиус равен длине отрезка АВ, что удобно использовать при построении с помощью циркуля.

Ответ: Для решения задачи сначала строится отрезок АВ длиной $3+5=8$ см. Затем строятся две окружности: первая с центром в точке А и радиусом 3 см, вторая с центром в точке В и радиусом 5 см. Они будут касаться внешним образом. Для построения третьей окружности на отрезке АВ находится точка С на расстоянии 5 см от точки А. Из точки С как из центра строится третья окружность радиусом 8 см, которая будет касаться двух первых окружностей внутренним образом.