Номер 2.78, страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.78. На отрезке $AB$ отметьте точку $C$.

а) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AC$ и с центром $B$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $C$. Говорят, что они касаются внешним образом.

б) Постройте две окружности: с центром $A$ и радиусом $AB$ и с центром $C$ и радиусом $CB$. Построенные окружности имеют только одну общую точку $B$. Говорят, что они касаются внутренним образом.

а)

Для построения двух окружностей, касающихся внешним образом, выполним следующие шаги:
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. Отметим на отрезке $AB$ любую точку $C$ между точками $A$ и $B$.
3. Построим первую окружность. Установим ножку циркуля в точку $A$ (это будет центр окружности), а грифель — в точку $C$. Проведем окружность. Радиус этой окружности будет равен длине отрезка $AC$, то есть $R_1 = AC$.
4. Построим вторую окружность. Установим ножку циркуля в точку $B$ (центр второй окружности), а грифель — в точку $C$. Проведем вторую окружность. Ее радиус будет равен длине отрезка $CB$, то есть $R_2 = CB$.

В результате мы получили две окружности. Проверим, почему они имеют только одну общую точку $C$.
Расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $AB$. Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$: $AB = AC + CB$.
Сумма радиусов двух окружностей равна $R_1 + R_2 = AC + CB$.
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов ($AB = R_1 + R_2$). Это является условием того, что окружности касаются внешним образом. Точка касания — это точка, лежащая на линии центров, в данном случае это точка $C$. Точка $C$ принадлежит первой окружности, так как расстояние от ее центра $A$ до $C$ равно радиусу $AC$. Она также принадлежит второй окружности, так как расстояние от ее центра $B$ до $C$ равно радиусу $CB$. Следовательно, $C$ — общая точка. Она является единственной общей точкой, так как для любой другой точки $X$ на первой окружности, по неравенству треугольника, $AX + XB > AB$, что означает $AC + XB > AC + CB$, и следовательно, $XB > CB$. Это значит, что любая другая точка первой окружности находится вне второй окружности.

Ответ: Построение, описанное выше, приводит к созданию двух окружностей с центрами в $A$ и $B$ и радиусами $AC$ и $CB$, которые касаются внешним образом в единственной общей точке $C$.

б)

Для построения двух окружностей, касающихся внутренним образом, выполним следующие шаги:
1. Начертим произвольный отрезок $AB$.
2. Отметим на отрезке $AB$ любую точку $C$ между точками $A$ и $B$.
3. Построим первую (большую) окружность. Установим ножку циркуля в точку $A$ (центр), а грифель — в точку $B$. Проведем окружность. Ее радиус $R_1 = AB$.
4. Построим вторую (меньшую) окружность. Установим ножку циркуля в точку $C$ (центр), а грифель — в точку $B$. Проведем окружность. Ее радиус $R_2 = CB$.

В результате мы получили две окружности. Проверим, почему они имеют только одну общую точку $B$.
Расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $AC$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AC = AB - CB$.
Разность радиусов двух окружностей равна $R_1 - R_2 = AB - CB$.
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов ($AC = R_1 - R_2$). Это является условием того, что окружности касаются внутренним образом. Точка $B$ принадлежит первой окружности, так как расстояние от ее центра $A$ до $B$ равно радиусу $AB$. Она также принадлежит второй окружности, так как расстояние от ее центра $C$ до $B$ равно радиусу $CB$. Следовательно, $B$ — общая точка. Она является единственной общей точкой, так как для любой другой общей точки $X$ должно выполняться $AX = AB$ и $CX = CB$. Точки $A$, $C$, $X$ образуют треугольник, для которого выполняется неравенство $AX \le AC + CX$. Подставив значения, получаем $AB \le AC + CB$. Поскольку точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, то $AB = AC + CB$. Равенство в неравенстве треугольника достигается только тогда, когда точка $C$ лежит на отрезке $AX$. Это возможно только если точка $X$ совпадает с точкой $B$.

Ответ: Построение, описанное выше, приводит к созданию двух окружностей с центрами в $A$ и $C$ и радиусами $AB$ и $CB$, которые касаются внутренним образом в единственной общей точке $B$.