Номер 2.77, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.77. Дан отрезок $AB$. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусом $AB$. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами $M$ и $N$. Постройте отрезки $AM$, $AN$, $BM$, $BN$. Равны ли отрезки $AB$, $AM$, $AN$, $BM$ и $BN$? Убедитесь, что прямая $MN$ делит отрезок $AB$ пополам.

Задача состоит из двух частей: доказательство равенства отрезков и доказательство того, что прямая делит отрезок пополам. Выполним последовательно оба шага.

Равны ли отрезки AB, AM, AN, BM и BN?

Построим две окружности согласно условию:

1. Окружность с центром в точке A и радиусом $R_1 = AB$.
2. Окружность с центром в точке B и радиусом $R_2 = AB$.

Точки M и N являются точками пересечения этих двух окружностей.

1. Рассмотрим окружность с центром в A. Поскольку точки M и N лежат на этой окружности, расстояния от центра A до этих точек равны радиусу этой окружности. Таким образом, $AM = R_1$ и $AN = R_1$. Так как по построению $R_1 = AB$, то получаем: $AM = AB$ и $AN = AB$.

2. Рассмотрим окружность с центром в B. Поскольку точки M и N лежат и на этой окружности, расстояния от центра B до этих точек равны радиусу этой окружности. Таким образом, $BM = R_2$ и $BN = R_2$. Так как по построению $R_2 = AB$, то получаем: $BM = AB$ и $BN = AB$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $AB = AM = AN = BM = BN$.

Ответ: Да, все отрезки AB, AM, AN, BM и BN равны между собой.

Убедитесь, что прямая MN делит отрезок AB пополам.

Рассмотрим четырехугольник AMBN, который образован соединением точек A, M, B и N.

Из предыдущего пункта мы знаем, что все стороны этого четырехугольника равны: $AM = MB = BN = NA = AB$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, AMBN — это ромб.

Отрезки AB и MN являются диагоналями этого ромба. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делят друг друга пополам.

Пусть O — точка пересечения отрезков AB и MN. Согласно свойству диагоналей ромба, точка O является серединой как для диагонали MN, так и для диагонали AB. Следовательно, $AO = OB$.

Таким образом, прямая MN проходит через середину отрезка AB, то есть делит его пополам.

Ответ: Прямая MN делит отрезок AB пополам, так как AB и MN являются диагоналями ромба AMBN, которые по свойству ромба делят друг друга пополам в точке пересечения.