Номер 2.79, страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.79. Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см, касающиеся:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

а) внешним образом

Две окружности касаются внешним образом, если они имеют одну общую точку касания и при этом одна окружность находится вне другой. Ключевое свойство внешнего касания окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Пусть радиус первой окружности $R_1 = 4$ см, а второй $R_2 = 3$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — их центры. Тогда расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:
$d = R_1 + R_2 = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Порядок построения:
1. Проводим прямую линию и отмечаем на ней произвольную точку $O_1$, которая будет центром первой окружности.
2. С помощью линейки откладываем от точки $O_1$ вдоль прямой отрезок $O_1O_2$ длиной 7 см. Точка $O_2$ будет центром второй окружности.
3. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу первой окружности (4 см), ставим острие циркуля в точку $O_1$ и чертим окружность.
4. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу второй окружности (3 см), ставим острие циркуля в точку $O_2$ и чертим вторую окружность.
Построенные окружности будут касаться друг друга внешним образом в одной точке, которая лежит на отрезке $O_1O_2$.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внешним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии, равном сумме их радиусов, то есть $4 + 3 = 7$ см.

б) внутренним образом

Две окружности касаются внутренним образом, если они имеют одну общую точку касания и при этом одна окружность (меньшая) находится внутри другой (большей). Ключевое свойство внутреннего касания окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Пусть радиус большей окружности $R_1 = 4$ см, а меньшей $R_2 = 3$ см. Пусть $O_1$ и $O_2$ — их центры. Тогда расстояние $d$ между центрами $O_1$ и $O_2$ вычисляется по формуле:
$d = |R_1 - R_2| = |4 \text{ см} - 3 \text{ см}| = 1 \text{ см}$

Порядок построения:
1. Проводим прямую линию и отмечаем на ней произвольную точку $O_1$, которая будет центром большей окружности.
2. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу большей окружности (4 см), ставим острие циркуля в точку $O_1$ и чертим окружность.
3. От точки $O_1$ вдоль прямой откладываем отрезок $O_1O_2$ длиной 1 см. Точка $O_2$ будет центром меньшей окружности.
4. Устанавливаем на циркуле раствор, равный радиусу меньшей окружности (3 см), ставим острие циркуля в точку $O_2$ и чертим вторую окружность.
Построенные окружности будут касаться друг друга внутренним образом в одной точке, которая лежит на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$.

Ответ: Для построения двух окружностей с радиусами 3 см и 4 см, касающихся внутренним образом, необходимо расположить их центры на расстоянии, равном разности их радиусов, то есть $4 - 3 = 1$ см.