Номер 2.80, страница 97 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.80. Постройте две окружности с центрами $A$ и $B$ и радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке $AB$ и которая касается двух первых окружностей внутренним образом.

Задача состоит из двух частей: построение первых двух окружностей и затем построение третьей окружности, которая касается первых двух. Решим их последовательно.

Построение двух окружностей с центрами А и В

По условию, первая окружность имеет центр в точке А и радиус $R_1 = 3$ см, а вторая — центр в точке В и радиус $R_2 = 5$ см. Окружности должны касаться внешним образом.

Условием внешнего касания двух окружностей является равенство расстояния между их центрами сумме их радиусов. Следовательно, расстояние между точками А и В должно быть: $AB = R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Порядок построения:

1. Начертите прямую и выберите на ней произвольную точку А.

2. С помощью линейки отложите от точки А отрезок $AB$ длиной 8 см.

3. Из точки А как из центра проведите окружность радиусом 3 см.

4. Из точки В как из центра проведите окружность радиусом 5 см.

В результате будут построены две окружности, касающиеся друг друга внешним образом в точке, лежащей на отрезке АВ.

Построение третьей окружности

По условию, третья окружность имеет центр С, который лежит на отрезке АВ, и касается двух первых окружностей внутренним образом. Это означает, что первая и вторая окружности находятся внутри третьей и касаются ее изнутри.

Для построения третьей окружности необходимо найти ее радиус $R_3$ и положение ее центра С.

Так как все три центра (А, В, С) лежат на одной прямой, диаметр $D_3$ третьей окружности будет равен расстоянию между самыми удаленными точками первой и второй окружностей, которые также лежат на этой прямой. Таким образом, диаметр $D_3$ складывается из радиуса первой окружности, расстояния между центрами АВ и радиуса второй окружности: $D_3 = R_1 + AB + R_2 = 3 \text{ см} + 8 \text{ см} + 5 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Радиус третьей окружности $R_3$ равен половине ее диаметра: $R_3 = \frac{D_3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$.

Теперь найдем положение центра С на отрезке АВ. Условием внутреннего касания окружностей является равенство расстояния между их центрами разности их радиусов (большего и меньшего).

Расстояние от центра А до центра С: $AC = R_3 - R_1 = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Расстояние от центра В до центра С: $BC = R_3 - R_2 = 8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Для проверки убедимся, что точка С лежит на отрезке АВ: $AC + BC = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$, что в точности равно длине отрезка АВ.

Порядок построения:

1. На уже построенном отрезке АВ отложите от точки А расстояние 5 см (или от точки В расстояние 3 см). Отметьте эту точку как С.

2. Из точки С как из центра постройте окружность радиусом $R_3 = 8$ см. Обратите внимание, что этот радиус равен длине отрезка АВ, что удобно использовать при построении с помощью циркуля.

Ответ: Для решения задачи сначала строится отрезок АВ длиной $3+5=8$ см. Затем строятся две окружности: первая с центром в точке А и радиусом 3 см, вторая с центром в точке В и радиусом 5 см. Они будут касаться внешним образом. Для построения третьей окружности на отрезке АВ находится точка С на расстоянии 5 см от точки А. Из точки С как из центра строится третья окружность радиусом 8 см, которая будет касаться двух первых окружностей внутренним образом.