Номер 2.75, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.75. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 5 см. Постройте точку, удалённую от точки $A$ на расстояние 4 см, а от точки $B$ — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить?

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек. Искомая точка должна одновременно находиться на заданном расстоянии от точки $A$ и на заданном расстоянии от точки $B$.

Построение

1. Множество всех точек, удалённых от точки $A$ на 4 см, представляет собой окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 4$ см.
2. Множество всех точек, удалённых от точки $B$ на 3 см, представляет собой окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 3$ см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух окружностей. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью циркуля строим окружность (или её дугу) с центром в точке $A$ и радиусом 4 см.
3. С помощью циркуля строим окружность (или её дугу) с центром в точке $B$ и радиусом 3 см.
4. Точки пересечения построенных окружностей и есть искомые точки.

Ответ: Искомые точки строятся как точки пересечения двух окружностей: первой с центром в точке $A$ и радиусом 4 см, и второй с центром в точке $B$ и радиусом 3 см.

Сколько таких точек можно построить?

Количество искомых точек равно количеству точек пересечения двух окружностей. Две окружности пересекаются в двух различных точках, если расстояние между их центрами ($d$) больше модуля разности их радиусов и меньше их суммы. Это выражается неравенством: $|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$.

В условиях нашей задачи:

• Расстояние между центрами: $d = AB = 5$ см.
• Радиусы окружностей: $R_A = 4$ см и $R_B = 3$ см.

Проверим выполнение неравенства:
$|4 - 3| < 5 < 4 + 3$
$1 < 5 < 7$

Поскольку неравенство верно, окружности пересекаются в двух точках. Это также означает, что существует треугольник со сторонами 5 см, 4 см и 3 см. Заметим, что $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Можно построить две такие точки, симметричные относительно прямой $AB$.

Ответ: Можно построить две такие точки.