Страница 90 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.50. Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком; с избытком; с округлением по образцу:

6 дм 7 см $\approx$ 6 дм с недостатком;

6 дм 7 см $\approx$ 7 дм с избытком и с округлением.

а) 7 дм 6 см;

б) 8 дм 4 см;

в) 3 дм 5 см;

г) 1 м 8 дм 3 см;

д) 4 м 5 дм 6 см;

е) 7 м 3 дм 5 см;

ж) 29 см;

з) 41 см;

и) 235 см.

Для решения задачи необходимо для каждой величины найти три приближенных значения с точностью до 1 дециметра (дм):

• с недостатком — это округление "вниз", то есть мы просто отбрасываем сантиметры.
• с избытком — это округление "вверх" до следующего целого дециметра, если есть хотя бы один сантиметр.
• с округлением — это стандартное математическое округление. Если количество сантиметров меньше 5, округляем "вниз" (к тому же значению, что и с недостатком). Если количество сантиметров 5 или больше, округляем "вверх" (к тому же значению, что и с избытком).

Вспомним соотношения единиц длины: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

а) 7 дм 6 см
Приближение с недостатком: $7 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 7 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $7 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 6 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $7 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$.
Ответ: $7 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 7 \text{ дм}$ с недостатком; $7 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

б) 8 дм 4 см
Приближение с недостатком: $8 \text{ дм } 4 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $8 \text{ дм } 4 \text{ см} \approx 9 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 4 см < 5 см, округляем вниз): $8 \text{ дм } 4 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$.
Ответ: $8 \text{ дм } 4 \text{ см} \approx 8 \text{ дм}$ с недостатком и с округлением; $8 \text{ дм } 4 \text{ см} \approx 9 \text{ дм}$ с избытком.

в) 3 дм 5 см
Приближение с недостатком: $3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 5 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$.
Ответ: $3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$ с недостатком; $3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

г) 1 м 8 дм 3 см
Сначала переведем метры в дециметры: $1 \text{ м } = 10 \text{ дм}$. Таким образом, $1 \text{ м } 8 \text{ дм } 3 \text{ см} = 10 \text{ дм} + 8 \text{ дм} + 3 \text{ см} = 18 \text{ дм } 3 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $18 \text{ дм } 3 \text{ см} \approx 18 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $18 \text{ дм } 3 \text{ см} \approx 19 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 3 см < 5 см, округляем вниз): $18 \text{ дм } 3 \text{ см} \approx 18 \text{ дм}$.
Ответ: $1 \text{ м } 8 \text{ дм } 3 \text{ см} \approx 18 \text{ дм}$ с недостатком и с округлением; $1 \text{ м } 8 \text{ дм } 3 \text{ см} \approx 19 \text{ дм}$ с избытком.

д) 4 м 5 дм 6 см
Переведем метры в дециметры: $4 \text{ м } = 40 \text{ дм}$. Таким образом, $4 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см} = 40 \text{ дм} + 5 \text{ дм} + 6 \text{ см} = 45 \text{ дм } 6 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $45 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 45 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $45 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 46 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 6 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $45 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 46 \text{ дм}$.
Ответ: $4 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 45 \text{ дм}$ с недостатком; $4 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см} \approx 46 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

е) 7 м 3 дм 5 см
Переведем метры в дециметры: $7 \text{ м } = 70 \text{ дм}$. Таким образом, $7 \text{ м } 3 \text{ дм } 5 \text{ см} = 70 \text{ дм} + 3 \text{ дм} + 5 \text{ см} = 73 \text{ дм } 5 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $73 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 73 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $73 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 74 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 5 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $73 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 74 \text{ дм}$.
Ответ: $7 \text{ м } 3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 73 \text{ дм}$ с недостатком; $7 \text{ м } 3 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 74 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

ж) 29 см
Сначала переведем сантиметры в дециметры и сантиметры: $29 \text{ см} = 2 \text{ дм } 9 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $2 \text{ дм } 9 \text{ см} \approx 2 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $2 \text{ дм } 9 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 9 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $2 \text{ дм } 9 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$.
Ответ: $29 \text{ см} \approx 2 \text{ дм}$ с недостатком; $29 \text{ см} \approx 3 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

з) 41 см
Переведем сантиметры в дециметры и сантиметры: $41 \text{ см} = 4 \text{ дм } 1 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $4 \text{ дм } 1 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $4 \text{ дм } 1 \text{ см} \approx 5 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 1 см < 5 см, округляем вниз): $4 \text{ дм } 1 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$.
Ответ: $41 \text{ см} \approx 4 \text{ дм}$ с недостатком и с округлением; $41 \text{ см} \approx 5 \text{ дм}$ с избытком.

и) 235 см
Переведем сантиметры в дециметры и сантиметры: $235 \text{ см} = 23 \text{ дм } 5 \text{ см}$.
Приближение с недостатком: $23 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 23 \text{ дм}$.
Приближение с избытком: $23 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 24 \text{ дм}$.
Приближение с округлением (так как 5 см $\ge$ 5 см, округляем вверх): $23 \text{ дм } 5 \text{ см} \approx 24 \text{ дм}$.
Ответ: $235 \text{ см} \approx 23 \text{ дм}$ с недостатком; $235 \text{ см} \approx 24 \text{ дм}$ с избытком и с округлением.

2.51. Туристы прошли 70 км за 4 дня. Определите, какое расстояние они проходили в день, если считать, что каждый день они проходили одно и то же расстояние. Ответ выразите приближённо с точностью до 1 км:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Для того чтобы определить расстояние, которое туристы проходили в день, необходимо общее расстояние разделить на количество дней.

$70 \text{ км} \div 4 \text{ дня} = 17,5 \text{ км}$

Таким образом, каждый день туристы проходили по 17,5 км. Теперь найдем приближенные значения этого расстояния с точностью до 1 км.

а) с недостатком
Приближение с недостатком до 1 км означает, что мы берем целую часть от полученного числа, отбрасывая дробную. Это также называется округлением вниз. Для числа $17,5$ целая часть равна $17$.
Ответ: 17 км.

б) с избытком
Приближение с избытком до 1 км означает, что мы берем следующее за ним целое число, если у исходного числа есть ненулевая дробная часть. Это также называется округлением вверх. Для числа $17,5$ следующим целым числом является $18$.
Ответ: 18 км.

в) с округлением
Округление по стандартным математическим правилам до 1 км (до целых) требует посмотреть на первую цифру после запятой. Если эта цифра 5 или больше, то целая часть числа увеличивается на 1. В числе $17,5$ первая цифра после запятой — $5$, поэтому мы округляем в большую сторону.
Ответ: 18 км.

Ищем информацию

2.52. Найдите в учебном пособии, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

а) Что означают приставки кило-, санти-, деци-, милли-?

б) Какие ещё приставки используют при измерении расстояний?

в) Что такое световой год? Где используют эту единицу?

а) Что означают приставки кило-, санти-, деци-, милли-?

Приставки, используемые в Международной системе единиц (СИ), служат для образования кратных и дольных единиц. Они показывают, во сколько раз данная единица больше или меньше основной.

• Приставка кило- (обозначение: к) означает увеличение основной единицы в 1000 раз, то есть умножение на $10^3$. Например, 1 километр (км) = 1000 метров (м).

• Приставка санти- (обозначение: с) означает уменьшение основной единицы в 100 раз, то есть умножение на $10^{-2}$ (или 0,01). Например, 1 сантиметр (см) = 0,01 метра (м).

• Приставка деци- (обозначение: д) означает уменьшение основной единицы в 10 раз, то есть умножение на $10^{-1}$ (или 0,1). Например, 1 дециметр (дм) = 0,1 метра (м).

• Приставка милли- (обозначение: м) означает уменьшение основной единицы в 1000 раз, то есть умножение на $10^{-3}$ (или 0,001). Например, 1 миллиметр (мм) = 0,001 метра (м).

Ответ: Приставки кило-, санти-, деци-, милли- означают множители $10^3$, $10^{-2}$, $10^{-1}$ и $10^{-3}$ соответственно, применяемые к основной единице измерения.

б) Какие ещё приставки используют при измерении расстояний?

При измерении расстояний, как и других физических величин, используют множество других приставок СИ. Вот некоторые из них:

Для измерения очень больших расстояний (кратные приставки):

• мега- (М) — миллион ($10^6$)

• гига- (Г) — миллиард ($10^9$)

• тера- (Т) — триллион ($10^{12}$)

Для измерения очень малых расстояний (дольные приставки):

• микро- (мк) — одна миллионная ($10^{-6}$)

• нано- (н) — одна миллиардная ($10^{-9}$)

• пико- (п) — одна триллионная ($10^{-12}$)

Ответ: При измерении расстояний также используют кратные приставки (мега-, гига-, тера- и др.) и дольные (микро-, нано-, пико- и др.).

в) Что такое световой год? Где используют эту единицу?

Световой год — это внесистемная единица измерения расстояния, а не времени. Она равна расстоянию, которое электромагнитное излучение (свет) проходит в вакууме за один юлианский год (365,25 суток). Скорость света в вакууме — это фундаментальная физическая постоянная, равная 299 792 458 м/с.

Один световой год приблизительно равен:

$9,46 \times 10^{15} \text{ метров} \approx 9,46 \text{ триллиона километров.}$

Эта единица измерения используется в астрономии для выражения огромных расстояний до космических объектов за пределами Солнечной системы. Например, расстояние до ближайшей к Солнцу звезды, Проксимы Центавра, составляет около 4,24 световых года. Диаметр нашей галактики Млечный Путь оценивается примерно в 100 000 световых лет.

Ответ: Световой год — это расстояние, которое свет проходит в вакууме за год, равное примерно 9,46 триллиона километров. Эту единицу используют в астрономии для измерения межзвёздных и межгалактических расстояний.