Страница 86 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

2.23. В тетради постройте три отрезка различной длины. С помощью циркуля и линейки постройте отрезки, им равные.

Для выполнения этого задания сначала необходимо начертить в тетради три произвольных отрезка, длины которых не равны друг другу. Обозначим эти отрезки, например, $AB$, $CD$ и $EF$.

Далее для каждого из этих отрезков нужно выполнить построение равного ему отрезка, используя только циркуль и линейку без делений. Алгоритм построения для всех отрезков одинаков.

Построение отрезка, равного отрезку $AB$

Рассмотрим пошаговый процесс построения нового отрезка $A_1B_1$, равного исходному отрезку $AB$.

1. С помощью линейки проведем произвольную прямую или луч. На этом луче выберем и отметим произвольную точку $A_1$. Эта точка станет началом нового отрезка.
2. Возьмем циркуль. Установим его иглу в один конец исходного отрезка, точку $A$, а грифель — в другой конец, точку $B$. Таким образом, раствор (расстояние между ножками) циркуля станет равен длине отрезка $AB$.
3. Не изменяя полученный раствор циркуля, перенесем его и установим иглу в точку $A_1$ на нашем луче.
4. Проведем циркулем небольшую дугу так, чтобы она пересекла луч. Точку пересечения дуги и луча обозначим $B_1$.
5. Отрезок $A_1B_1$, заключенный между точками $A_1$ и $B_1$, и есть искомый отрезок. По построению его длина равна раствору циркуля, который был равен длине отрезка $AB$. Следовательно, мы построили отрезок $A_1B_1$ такой, что $A_1B_1 = AB$.

Эту же последовательность действий необходимо выполнить для двух других исходных отрезков, $CD$ и $EF$. В результате будут построены отрезки $C_1D_1$ и $E_1F_1$, для которых будет выполняться $C_1D_1 = CD$ и $E_1F_1 = EF$.

Ответ: Чтобы построить отрезок, равный данному, нужно с помощью линейки провести произвольный луч и отметить на нем начальную точку. Затем с помощью циркуля измерить длину исходного отрезка, установив иглу и грифель на его концах. Не меняя раствора циркуля, установить иглу в начальную точку на луче и провести дугу, пересекающую луч. Отрезок от начальной точки до точки пересечения и будет искомым. Эту процедуру необходимо повторить для каждого из трех заданных отрезков.

2.24. В тетради постройте отрезок. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок:

а) в 2 раза больший первого;

б) в 3 раза больший первого.

а)

Для построения отрезка, в 2 раза большего, чем первоначальный, выполним следующие шаги:

1. С помощью линейки построим произвольный отрезок. Обозначим его концы буквами A и B.

2. Начертим произвольный луч с началом в точке O.

3. С помощью циркуля измерим длину отрезка AB. Для этого установим иглу циркуля в точку A, а грифель — в точку B.

4. Не меняя раствора циркуля, последовательно отложим на луче два отрезка, равных AB. Сначала установим иглу циркуля в точку O и проведем дугу, пересекающую луч в точке K. Затем, переставив иглу в точку K, проведем еще одну дугу, пересекающую луч в точке M. Таким образом, мы получим два равных отрезка: $ |OK| = |AB| $ и $ |KM| = |AB| $.

5. В результате мы получили отрезок OM. Его длина складывается из длин двух отрезков, равных AB, следовательно, он в два раза длиннее исходного: $ |OM| = |OK| + |KM| = 2|AB| $.

Ответ: Построенный отрезок OM в 2 раза больше первого.

б)

Для построения отрезка, в 3 раза большего, чем первоначальный, выполним следующие шаги:

1. Будем использовать тот же исходный отрезок AB.

2. Начертим новый произвольный луч с началом в точке P.

3. Установим раствор циркуля равным длине отрезка AB.

4. Последовательно отложим на луче три отрезка, равных AB. Сначала установим иглу циркуля в точку P и отметим на луче точку Q. Затем, переставив иглу в точку Q, отметим точку R. И наконец, переставив иглу в точку R, отметим точку S. Мы получим три равных отрезка: $ |PQ| = |AB| $, $ |QR| = |AB| $ и $ |RS| = |AB| $.

5. В результате мы получили отрезок PS. Его длина складывается из длин трех отрезков, равных AB, следовательно, он в три раза длиннее исходного: $ |PS| = |PQ| + |QR| + |RS| = 3|AB| $.

Ответ: Построенный отрезок PS в 3 раза больше первого.

2.25. Как называют отрезок, длина которого принята за единицу измерения?

Отрезок, длина которого принимается за единицу при измерении длин, называется единичным отрезком. Этот отрезок является основой для построения шкалы измерения. Например, на координатной прямой расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки 1 как раз и является единичным отрезком. Длины всех остальных отрезков на этой прямой выражаются в количестве таких единичных отрезков. Выбор единичного отрезка произволен и зависит от конкретной задачи, это может быть 1 сантиметр, 1 метр, 1 дюйм или любая другая выбранная длина.

Ответ: единичный отрезок.

2.26. Что называют расстоянием между двумя точками?

Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка, который соединяет эти две точки. В евклидовой геометрии этот отрезок является кратчайшим путем между данными точками.

В зависимости от пространства, в котором расположены точки, расстояние между ними можно вычислить, используя соответствующие формулы, основанные на их координатах.

На координатной прямой (1D):
Если есть две точки $A$ с координатой $x_1$ и $B$ с координатой $x_2$, то расстояние $d$ между ними равно абсолютному значению (модулю) разности их координат: $d = |x_2 - x_1|$.

На координатной плоскости (2D):
Если точки заданы своими координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то расстояние $d$ между ними находится по формуле, которая является следствием теоремы Пифагора: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В трехмерном пространстве (3D):
Для точек с координатами $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ формула расстояния $d$ обобщается следующим образом: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Ответ: Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

2.27. Постройте отрезки длиной $7 \text{ см}$, $11 \text{ см } 4 \text{ мм}$, $14 \text{ см } 6 \text{ мм}$.

Для построения отрезков заданной длины используется линейка с делениями на сантиметры и миллиметры, а также карандаш.

7 см

Чтобы построить отрезок длиной 7 см, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Поставить на бумаге точку, которая будет служить началом отрезка.
2. Приложить к этой точке линейку так, чтобы её нулевое деление (начало шкалы) совпало с точкой.
3. Найти на шкале линейки отметку «7», соответствующую 7 сантиметрам.
4. Поставить вторую точку напротив этой отметки.
5. Соединить две точки, проведя прямую линию вдоль края линейки.
Полученный отрезок будет иметь длину ровно 7 см.

Ответ: Построен отрезок длиной 7 см.

11 см 4 мм

Сначала представим заданную длину в одной единице измерения. Мы знаем, что в одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Следовательно, 4 мм составляют 0,4 см. Таким образом, общая длина отрезка равна:
$11 \text{ см } + 4 \text{ мм} = 11 \text{ см} + 0,4 \text{ см} = 11,4 \text{ см}$.
Теперь построим отрезок:
1. Отметить на бумаге начальную точку отрезка.
2. Приложить к ней линейку нулевой отметкой.
3. Найти на шкале линейки отметку «11» (11 см).
4. От этой отметки отсчитать ещё 4 маленьких деления (миллиметра).
5. Поставить конечную точку отрезка напротив этого деления.
6. Соединить начальную и конечную точки прямой линией.
Длина полученного отрезка будет равна 11 см 4 мм.

Ответ: Построен отрезок длиной 11 см 4 мм.

14 см 6 мм

Аналогично предыдущему пункту, переведем длину в сантиметры. 6 мм составляют 0,6 см.
$14 \text{ см } + 6 \text{ мм} = 14 \text{ см} + 0,6 \text{ см} = 14,6 \text{ см}$.
Алгоритм построения:
1. Поставить на бумаге точку, которая будет началом отрезка.
2. Совместить начало шкалы линейки (нулевое деление) с этой точкой.
3. Найти на шкале отметку «14» (14 см).
4. Отсчитать от неё ещё 6 миллиметровых делений.
5. Поставить конечную точку напротив найденного деления (на отметке 14,6 см).
6. Соединить обе точки по линейке.
Полученный отрезок будет иметь длину 14 см 6 мм.

Ответ: Построен отрезок длиной 14 см 6 мм.

2.28. С помощью линейки постройте отрезок, длина которого равна:

а) сумме длин отрезков, изображённых на рисунке 55; ($AB + CD$)

б) разности длин отрезков, изображённых на рисунке 55. ($AB - CD$)

Рис. 55

а)

Чтобы построить отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков AB и CD, изображённых на рисунке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Проведём произвольный луч и отметим на нём начальную точку, например, точку M.

2. С помощью линейки измерим длину отрезка AB. Отложим на луче от точки M отрезок MN, длина которого равна длине отрезка AB.

3. От точки N отложим на луче в том же направлении отрезок NK, длина которого равна длине отрезка CD.

4. В результате получим отрезок MK. Его длина равна сумме длин отрезков AB и CD, так как по построению $MK = MN + NK$, где $MN = AB$ и $NK = CD$. Следовательно, $MK = AB + CD$.

Ответ: отрезок MK является искомым.

б)

Чтобы построить отрезок, длина которого равна разности длин отрезков AB и CD, нужно выполнить следующие шаги. Из рисунка видно, что отрезок AB длиннее отрезка CD.

1. Проведём произвольный луч и отметим на нём начальную точку, например, точку P.

2. С помощью линейки измерим длину большего отрезка AB. Отложим на луче от точки P отрезок PQ, длина которого равна длине отрезка AB.

3. На построенном отрезке PQ отложим от той же начальной точки P отрезок PR, длина которого равна длине меньшего отрезка CD.

4. В результате получим отрезок RQ. Его длина равна разности длин отрезков AB и CD, так как по построению $RQ = PQ - PR$, где $PQ = AB$ и $PR = CD$. Следовательно, $RQ = AB - CD$.

Ответ: отрезок RQ является искомым.