Страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.350. Три брата получили 24 яблока, причём младшему досталось меньше всех. Видя это, младший брат предложил такой обмен яблоками: «Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат, а за ним старший поступят так же». Братья согласились. В результате у всех яблок стало поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально?

Данную задачу следует решать с конца, выполняя все действия в обратном порядке.

В конце у трех братьев стало поровну яблок. Всего яблок было 24, следовательно, у каждого оказалось по $24 / 3 = 8$ яблок.

Шаг 1: Отменяем действие старшего брата.
Перед тем как старший брат поделился яблоками, у него было вдвое больше, чем 8, так как 8 — это половина, которую он себе оставил. Значит, у него было $8 \times 2 = 16$ яблок. Другую половину (тоже 8 яблок) он отдал младшему и среднему брату поровну, то есть по $8 / 2 = 4$ яблока каждому. Чтобы вернуться к состоянию до этого обмена, нужно забрать у младшего и среднего по 4 яблока и вернуть их старшему:

• У младшего брата стало: $8 - 4 = 4$ яблока.
• У среднего брата стало: $8 - 4 = 4$ яблока.
• У старшего брата стало: $8 + 4 + 4 = 16$ яблок.

Итак, перед ходом старшего брата у них было 4, 4 и 16 яблок соответственно.

Шаг 2: Отменяем действие среднего брата.
Теперь мы знаем, что до хода старшего брата у среднего было 4 яблока. Это половина от того, что у него было до его собственного хода. Следовательно, до того как он поделился, у него было $4 \times 2 = 8$ яблок. Вторую половину (4 яблока) он отдал младшему и старшему поровну, то есть по $4 / 2 = 2$ яблока каждому. Возвращаем эти яблоки среднему брату:

• У младшего брата стало: $4 - 2 = 2$ яблока.
• У среднего брата стало: $4 + 2 + 2 = 8$ яблок.
• У старшего брата стало: $16 - 2 = 14$ яблок.

Итак, перед ходом среднего брата у них было 2, 8 и 14 яблок.

Шаг 3: Отменяем действие младшего брата.
Это последний обратный шаг, который приведет нас к исходному распределению яблок. Перед ходом среднего брата у младшего было 2 яблока. Это половина от того, что у него было изначально. Значит, у него было $2 \times 2 = 4$ яблока. Вторую половину (2 яблока) он отдал среднему и старшему поровну, то есть по $2 / 2 = 1$ яблоку каждому. Возвращаем эти яблоки младшему брату:

• У младшего брата стало: $2 + 1 + 1 = 4$ яблока.
• У среднего брата стало: $8 - 1 = 7$ яблок.
• У старшего брата стало: $14 - 1 = 13$ яблок.

Таким образом, мы нашли первоначальное количество яблок у каждого брата. Условие, что у младшего было меньше всех яблок ($4 < 7$ и $4 < 13$), соблюдается.

Ответ: Первоначально у младшего брата было 4 яблока, у среднего — 7 яблок, а у старшего — 13 яблок.

1.351. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день — 2 р., в третий день — 3 р. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу?

Чтобы определить, какой барыш (прибыль или убыток) принесла сделка богачу, нужно рассчитать общую сумму, которую он получил от бедняка, и общую сумму, которую он отдал бедняку. Сделка продолжалась две недели, то есть 14 дней.

1. Рассчитаем, какую сумму богач получил от бедняка.

Платежи бедняка представляют собой арифметическую прогрессию, где каждый день сумма увеличивается на 1 рубль. Первый член прогрессии $a_1 = 1$ р., второй $a_2 = 2$ р., и так до последнего, четырнадцатого дня, $a_{14} = 14$ р.Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии находим по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения для 14 дней ($n=14$):

$S_{14} = \frac{1 + 14}{2} \cdot 14 = \frac{15}{2} \cdot 14 = 15 \cdot 7 = 105$ рублей.

Таким образом, за 14 дней богач получил от бедняка 105 рублей.

2. Рассчитаем, какую сумму богач отдал бедняку.

Милостыня, которую подавал богач, представляет собой геометрическую прогрессию, поскольку каждый день сумма удваивалась. Расчет удобнее вести в копейках.Первый член прогрессии $b_1 = 1$ коп., второй $b_2 = 2$ коп., третий $b_3 = 4$ коп. и так далее. Знаменатель прогрессии $q = 2$.Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии находим по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения для 14 дней ($n=14$):

$S_{14} = \frac{1 \cdot (2^{14} - 1)}{2 - 1} = 2^{14} - 1$ копеек.

Вычислим значение $2^{14}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 = 16384$.

Теперь найдем итоговую сумму милостыни:

$S_{14} = 16384 - 1 = 16383$ копейки.

Переведем эту сумму в рубли: $16383 \text{ коп.} = 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$

3. Определим барыш богача.

Чтобы найти барыш, нужно из суммы, которую богач получил, вычесть сумму, которую он отдал.

Барыш = (Получено) – (Отдано)

Барыш = $105 \text{ руб.} - 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.} = 105 - 163.83 = -58.83$ рубля.

Отрицательный результат означает, что богач не получил прибыли, а, наоборот, понес убытки.

Ответ: сделка принесла богачу убыток в размере 58 рублей 83 копеек.

1.352. Задача Л. Н. Толстого.

Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только купюра в 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт $10 + 10 + 5$ (р.). Продавец отдаёт шапку и сдачу в 15 р. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать? Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать финансовые потоки и итоговые потери продавца. Удобнее всего рассмотреть ситуацию с точки зрения того, что каждый участник имел в начале и что получил в конце.

Соседка
Соседка сначала отдала 25 настоящих рублей, получив взамен фальшивую купюру. Позже она вернула фальшивку и получила обратно свои 25 настоящих рублей. Таким образом, в конечном счете соседка ничего не потеряла и не приобрела. Её участие в этой схеме можно считать нейтральным, так как она просто временно предоставила деньги и получила их обратно.

Покупатель (мошенник)
Покупатель пришел с фальшивой купюрой, ценность которой равна нулю. Он ушел с шапкой стоимостью 10 рублей и сдачей в 15 настоящих рублей. Его выгода составляет $10 + 15 = 25$ рублей.

Продавец
Убыток продавца равен выгоде мошенника. Посчитаем прямые потери продавца:

• Он отдал шапку стоимостью 10 р.
• Он отдал сдачу в размере 15 р. настоящими деньгами.

Взамен он получил фальшивую купюру, которая ничего не стоит.
Таким образом, общие потери продавца складываются из стоимости шапки и суммы сдачи, которую он отдал. Деньги, которые он взял у соседки и потом ей же вернул, не меняют итоговой суммы убытка, так как это был, по сути, беспроцентный долг.

Суммарный убыток продавца составляет:
$10 \text{ р. (стоимость шапки)} + 15 \text{ р. (сдача)} = 25 \text{ р.}$
Ответ: 25 р.