Номер 1.351, страница 80 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.351. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день — 2 р., в третий день — 3 р. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу?

Чтобы определить, какой барыш (прибыль или убыток) принесла сделка богачу, нужно рассчитать общую сумму, которую он получил от бедняка, и общую сумму, которую он отдал бедняку. Сделка продолжалась две недели, то есть 14 дней.

1. Рассчитаем, какую сумму богач получил от бедняка.

Платежи бедняка представляют собой арифметическую прогрессию, где каждый день сумма увеличивается на 1 рубль. Первый член прогрессии $a_1 = 1$ р., второй $a_2 = 2$ р., и так до последнего, четырнадцатого дня, $a_{14} = 14$ р.Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии находим по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения для 14 дней ($n=14$):

$S_{14} = \frac{1 + 14}{2} \cdot 14 = \frac{15}{2} \cdot 14 = 15 \cdot 7 = 105$ рублей.

Таким образом, за 14 дней богач получил от бедняка 105 рублей.

2. Рассчитаем, какую сумму богач отдал бедняку.

Милостыня, которую подавал богач, представляет собой геометрическую прогрессию, поскольку каждый день сумма удваивалась. Расчет удобнее вести в копейках.Первый член прогрессии $b_1 = 1$ коп., второй $b_2 = 2$ коп., третий $b_3 = 4$ коп. и так далее. Знаменатель прогрессии $q = 2$.Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии находим по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения для 14 дней ($n=14$):

$S_{14} = \frac{1 \cdot (2^{14} - 1)}{2 - 1} = 2^{14} - 1$ копеек.

Вычислим значение $2^{14}$:

$2^{10} = 1024$

$2^{14} = 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 16 = 16384$.

Теперь найдем итоговую сумму милостыни:

$S_{14} = 16384 - 1 = 16383$ копейки.

Переведем эту сумму в рубли: $16383 \text{ коп.} = 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.}$

3. Определим барыш богача.

Чтобы найти барыш, нужно из суммы, которую богач получил, вычесть сумму, которую он отдал.

Барыш = (Получено) – (Отдано)

Барыш = $105 \text{ руб.} - 163 \text{ руб.} 83 \text{ коп.} = 105 - 163.83 = -58.83$ рубля.

Отрицательный результат означает, что богач не получил прибыли, а, наоборот, понес убытки.

Ответ: сделка принесла богачу убыток в размере 58 рублей 83 копеек.