Номер 1.344, страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.344. Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

Пусть $x$ — количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м. Чтобы получить 42 бревна по 1 м, общая длина всех исходных брёвен должна составлять 42 м. Составим уравнение, отражающее это условие:$4x + 5y = 42$где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Найдём все возможные решения этого уравнения. Выразим $y$ через $x$:$5y = 42 - 4x$$y = \frac{42 - 4x}{5}$Так как $y$ должно быть целым числом, выражение $(42 - 4x)$ должно быть кратно 5. Начнём подбирать целые неотрицательные значения $x$:

При $x=3$, $42 - 4(3) = 30$. Тогда $y = \frac{30}{5} = 6$. Это первое возможное решение.
Продолжая перебор, находим следующее подходящее значение. При $x=8$, $42 - 4(8) = 10$. Тогда $y = \frac{10}{5} = 2$. Это второе возможное решение.
Других решений в целых неотрицательных числах нет, так как при $x > 8$ значение $4x$ будет больше 32, и $y$ станет отрицательным или дробным.

Таким образом, у нас есть два варианта набора брёвен:
1. 3 бревна по 4 м и 6 брёвен по 5 м.
2. 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.

Теперь определим количество распилов для каждого варианта. Чтобы распилить бревно на $n$ частей, нужно сделать $n-1$ распил.
Для 4-метрового бревна требуется $4 - 1 = 3$ распила.
Для 5-метрового бревна требуется $5 - 1 = 4$ распила.
Общее число распилов $C$ можно вычислить по формуле: $C = 3x + 4y$.

Рассчитаем общее количество распилов для каждого из двух вариантов.
1. Для первого варианта ($x=3, y=6$):$C_1 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33$ распила.
2. Для второго варианта ($x=8, y=2$):$C_2 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 = 24 + 8 = 32$ распила.

Сравнивая количество распилов ($32 < 33$), видим, что наименьшее число распилов достигается во втором варианте. Для этого нужно взять 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.
Ответ: нужно распилить 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.