Страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.340. Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана:

а) 3 л воды;

б) 7 л воды?

а) 3 л воды

1. Наполнить 8-литровый сосуд водой из крана.
2. Из полного 8-литрового сосуда перелить воду в 5-литровый сосуд до тех пор, пока он не наполнится.
3. В 8-литровом сосуде останется разница их объемов: $8 \text{ л} - 5 \text{ л} = 3 \text{ л}$ воды.

Ответ: Наполнить 8-литровый сосуд, из него наполнить 5-литровый, в результате чего в 8-литровом сосуде останется 3 л воды.

б) 7 л воды

1. Наполнить 5-литровый сосуд и перелить всю воду в 8-литровый. Теперь в 8-литровом сосуде 5 л воды, а 5-литровый пуст.
2. Снова наполнить 5-литровый сосуд.
3. Из 5-литрового сосуда долить воду в 8-литровый доверху. В 8-литровый сосуд поместится еще $8 - 5 = 3$ л. В 5-литровом сосуде останется $5 - 3 = 2$ л воды.
4. Вылить всю воду из 8-литрового сосуда. Теперь он пуст, а в 5-литровом по-прежнему 2 л.
5. Перелить 2 л воды из 5-литрового сосуда в пустой 8-литровый.
6. Снова наполнить 5-литровый сосуд.
7. Перелить все 5 л из 5-литрового сосуда в 8-литровый, где уже есть 2 л. В 8-литровом сосуде получится $2 + 5 = 7$ л воды.

Ответ: Наполнить 5-литровый сосуд и перелить воду в 8-литровый. Снова набрать 5-литровый и долить 8-литровый доверху (в 5-литровом останется 2 л). Опустошить 8-литровый, перелить в него 2 л из 5-литрового. Снова набрать 5-литровый и вылить его в 8-литровый, получив в итоге 7 л.

1.341. Из нескольких монет только одна фальшивая: она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету:

а) за одно взвешивание, если монет $3$;

б) за два взвешивания, если монет $9$;

в) за три взвешивания, если монет $27$?

а) за одно взвешивание, если монет 3;
Пронумеруем монеты: 1, 2 и 3. Положим на левую чашу весов монету 1, а на правую — монету 2. Монету 3 оставим в стороне. Возможны три исхода:
1. Левая чаша легче. Это означает, что монета 1 фальшивая, так как по условию она легче настоящих.
2. Правая чаша легче. Это означает, что монета 2 фальшивая.
3. Чаши весов находятся в равновесии. Это значит, что монеты 1 и 2 настоящие (имеют одинаковый вес). Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне, то есть монета 3.
Таким образом, за одно взвешивание мы однозначно определяем фальшивую монету.
Ответ: Положить по одной монете на каждую чашу весов. Если одна из чаш окажется легче, то на ней фальшивая монета. Если чаши уравновешены, то фальшивая монета — третья, оставшаяся в стороне.

б) за два взвешивания, если монет 9;
Разделим 9 монет на три равные группы по 3 монеты в каждой. Назовем их Группа 1, Группа 2 и Группа 3.
Первое взвешивание: Положим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2.
1. Если левая чаша легче, значит фальшивая монета находится в Группе 1.
2. Если правая чаша легче, значит фальшивая монета находится в Группе 2.
3. Если чаши весов находятся в равновесии, значит все монеты в Группах 1 и 2 настоящие, а фальшивая находится в Группе 3, которую мы не взвешивали.
После первого взвешивания мы определили группу из 3 монет, в которой находится фальшивая.
Второе взвешивание: Теперь у нас есть 3 подозрительные монеты. Задача сводится к предыдущему пункту (а). Берем эти 3 монеты, кладем по одной на каждую чашу, а одну оставляем в стороне. По результату этого взвешивания однозначно определяем фальшивую.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 3 монеты. Первым взвешиванием сравнить вес двух групп. Это позволит определить, в какой из трех групп находится более легкая монета. Вторым взвешиванием найти фальшивую монету среди трех подозрительных, как описано в пункте а).

в) за три взвешивания, если монет 27?
Действуем по тому же принципу деления на три. Общее правило гласит, что за $k$ взвешиваний можно найти одну легкую фальшивую монету среди $N$ монет, если $N \le 3^k$. В нашем случае $N=27$ и $k=3$, что соответствует формуле $27 = 3^3$.
Первое взвешивание: Разделим 27 монет на три группы по 9 монет в каждой (Группа 1, Группа 2, Группа 3). Сравним на весах Группу 1 и Группу 2.
- Если одна из групп легче, в ней находится фальшивая монета.
- Если группы равны по весу, фальшивая монета находится в Группе 3.
В результате мы сузили круг "подозреваемых" до 9 монет.
Второе взвешивание: Теперь у нас есть 9 подозрительных монет. Эта задача полностью совпадает с пунктом (б). Разделим эти 9 монет на три группы по 3 монеты и одним взвешиванием определим тройку монет, содержащую фальшивую.
Третье взвешивание: У нас осталось 3 подозрительные монеты. Одним взвешиванием, как в пункте (а), находим среди них фальшивую.
Ответ: Разделить монеты на 3 группы по 9 монет. Первым взвешиванием сравнить вес двух групп и определить, в какой из них находится фальшивая монета. Затем эту группу из 9 монет проверить за два оставшихся взвешивания, как описано в пункте б).

1.342. Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько выражений, имеющих различные значения.

Вот несколько примеров выражений, которые можно составить, используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, а также их значения:

$ (5 - 5) \cdot 5 = 0 \cdot 5 = 0 $

Ответ: 0

$ 5 / 5 / 5 = 1 / 5 = 0.2 $

Ответ: 0.2

$ (5 + 5) / 5 = 10 / 5 = 2 $

Ответ: 2

$ 5 - 5 / 5 = 5 - 1 = 4 $

Ответ: 4

$ 5 - (5 - 5) = 5 - 0 = 5 $

Ответ: 5

$ 5 + 5 / 5 = 5 + 1 = 6 $

Ответ: 6

$ 5 + 5 + 5 = 15 $

Ответ: 15

$ 5 \cdot 5 - 5 = 25 - 5 = 20 $

Ответ: 20

$ 5 \cdot 5 + 5 = 25 + 5 = 30 $

Ответ: 30

$ (5 + 5) \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 $

Ответ: 50

$ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $

Ответ: 125

Также, если разрешено объединять цифры для получения чисел (например, числа 55), можно получить и другие значения:

$ 55 - 5 = 50 $

Ответ: 50

$ 55 + 5 = 60 $

Ответ: 60

1.343. Верёвку разрезали на части. При этом сделали 6 разрезов.

Сколько частей получилось?

Чтобы определить количество частей, нужно учесть, что каждый разрез увеличивает количество частей на одну.

Изначально у нас есть одна целая верёвка.

• После первого разреза получается 2 части.
• После второго разреза получается 3 части.
• После третьего разреза получается 4 части.

Можно заметить, что количество частей всегда на единицу больше, чем количество разрезов.

Если количество разрезов равно $n$, то количество частей будет равно $n + 1$.

По условию, было сделано 6 разрезов. Значит, количество частей:
$6 + 1 = 7$

Ответ: 7

1.344. Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

Пусть $x$ — количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м. Чтобы получить 42 бревна по 1 м, общая длина всех исходных брёвен должна составлять 42 м. Составим уравнение, отражающее это условие:$4x + 5y = 42$где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Найдём все возможные решения этого уравнения. Выразим $y$ через $x$:$5y = 42 - 4x$$y = \frac{42 - 4x}{5}$Так как $y$ должно быть целым числом, выражение $(42 - 4x)$ должно быть кратно 5. Начнём подбирать целые неотрицательные значения $x$:

При $x=3$, $42 - 4(3) = 30$. Тогда $y = \frac{30}{5} = 6$. Это первое возможное решение.
Продолжая перебор, находим следующее подходящее значение. При $x=8$, $42 - 4(8) = 10$. Тогда $y = \frac{10}{5} = 2$. Это второе возможное решение.
Других решений в целых неотрицательных числах нет, так как при $x > 8$ значение $4x$ будет больше 32, и $y$ станет отрицательным или дробным.

Таким образом, у нас есть два варианта набора брёвен:
1. 3 бревна по 4 м и 6 брёвен по 5 м.
2. 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.

Теперь определим количество распилов для каждого варианта. Чтобы распилить бревно на $n$ частей, нужно сделать $n-1$ распил.
Для 4-метрового бревна требуется $4 - 1 = 3$ распила.
Для 5-метрового бревна требуется $5 - 1 = 4$ распила.
Общее число распилов $C$ можно вычислить по формуле: $C = 3x + 4y$.

Рассчитаем общее количество распилов для каждого из двух вариантов.
1. Для первого варианта ($x=3, y=6$):$C_1 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33$ распила.
2. Для второго варианта ($x=8, y=2$):$C_2 = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 = 24 + 8 = 32$ распила.

Сравнивая количество распилов ($32 < 33$), видим, что наименьшее число распилов достигается во втором варианте. Для этого нужно взять 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.
Ответ: нужно распилить 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.

1.345. Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 1 мин 30 с. Сколько времени потребуется на эту работу?

Чтобы распилить бревно на 6 частей, необходимо сделать на один распил меньше, чем итоговое количество частей. Каждый распил разделяет один кусок на два, увеличивая общее количество частей на единицу.

1. Найдем необходимое количество распилов.

Для получения 6 частей из целого бревна нужно сделать 5 распилов.

Количество распилов = Количество частей - 1

$6 - 1 = 5$ (распилов)

2. Рассчитаем общее время.

Каждый распил занимает 1 минуту 30 секунд. Умножим это время на количество распилов.

Можно посчитать минуты и секунды отдельно:

Минуты: $5 \times 1 \text{ мин} = 5 \text{ мин}$

Секунды: $5 \times 30 \text{ с} = 150 \text{ с}$

Переведем 150 секунд в минуты. Так как в одной минуте 60 секунд:

$150 \text{ с} = 120 \text{ с} + 30 \text{ с} = 2 \text{ мин} 30 \text{ с}$

Теперь сложим полученное время:

$5 \text{ мин} + 2 \text{ мин} 30 \text{ с} = 7 \text{ мин} 30 \text{ с}$

Альтернативный способ:

Переведем время одного распила в секунды:

$1 \text{ мин} 30 \text{ с} = 60 + 30 = 90 \text{ с}$

Умножим на количество распилов:

$5 \times 90 \text{ с} = 450 \text{ с}$

Переведем результат обратно в минуты и секунды:

$450 \div 60 = 7$ (остаток 30), то есть 7 минут и 30 секунд.

Ответ: на эту работу потребуется 7 минут 30 секунд.

1.346. Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый?

Чтобы решить эту задачу, нужно учесть, что время движения лифта зависит от количества пройденных им пролетов между этажами, а не от номера этажа. Будем считать, что скорость лифта постоянна.

1. Сначала определим, сколько пролетов между этажами преодолевает лифт, поднимаясь с первого этажа на третий. Для этого вычтем из номера конечного этажа номер начального: $3 - 1 = 2$ (пролета).

2. По условию, лифт проезжает эти 2 пролета за 6 секунд. Теперь мы можем найти, сколько времени требуется лифту, чтобы проехать один пролет: $t_{1 пролет} = \frac{6 \text{ с}}{2 \text{ пролета}} = 3 \text{ с/пролет}$.

3. Далее определим, сколько пролетов необходимо преодолеть лифту, чтобы подняться с первого этажа на пятый: $5 - 1 = 4$ (пролета).

4. Зная время на преодоление одного пролета и общее количество пролетов, мы можем рассчитать общее время подъема на пятый этаж: $T = 4 \text{ пролета} \times 3 \text{ с/пролет} = 12 \text{ с}$.

Ответ: 12 секунд.

1.347. Сколькими способами можно уплатить без сдачи $28 \text{ p.}$, имея монеты по $1 \text{ p.}$ и $5 \text{ p.}$?

Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов, которыми можно составить сумму 28 рублей, используя монеты достоинством 1 рубль и 5 рублей. Обозначим количество однорублевых монет как $x$, а количество пятирублевых монет как $y$. Оба числа, $x$ и $y$, должны быть целыми и неотрицательными (мы можем не использовать монеты одного из номиналов).

Тогда общая сумма будет выражаться уравнением:

$1 \cdot x + 5 \cdot y = 28$

Или проще:

$x + 5y = 28$

Мы ищем количество пар целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Самый простой способ — перебрать все возможные значения для $y$, так как использование монет большего номинала сильнее ограничивает варианты.

Сумма, набранная пятирублевыми монетами ($5y$), не может превышать общую сумму 28. Значит, $5y \le 28$, что дает нам $y \le 5.6$. Поскольку $y$ — это количество монет, оно может быть только целым числом. Следовательно, возможные значения для $y$: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если взято 0 пятирублевых монет ($y = 0$):
$x + 5 \cdot 0 = 28 \implies x = 28$.
Состав: 28 монет по 1 р. и 0 монет по 5 р. (1-й способ).

2. Если взята 1 пятирублевая монета ($y = 1$):
$x + 5 \cdot 1 = 28 \implies x = 28 - 5 \implies x = 23$.
Состав: 23 монеты по 1 р. и 1 монета по 5 р. (2-й способ).

3. Если взято 2 пятирублевые монеты ($y = 2$):
$x + 5 \cdot 2 = 28 \implies x = 28 - 10 \implies x = 18$.
Состав: 18 монет по 1 р. и 2 монеты по 5 р. (3-й способ).

4. Если взято 3 пятирублевые монеты ($y = 3$):
$x + 5 \cdot 3 = 28 \implies x = 28 - 15 \implies x = 13$.
Состав: 13 монет по 1 р. и 3 монеты по 5 р. (4-й способ).

5. Если взято 4 пятирублевые монеты ($y = 4$):
$x + 5 \cdot 4 = 28 \implies x = 28 - 20 \implies x = 8$.
Состав: 8 монет по 1 р. и 4 монеты по 5 р. (5-й способ).

6. Если взято 5 пятирублевых монет ($y = 5$):
$x + 5 \cdot 5 = 28 \implies x = 28 - 25 \implies x = 3$.
Состав: 3 монеты по 1 р. и 5 монет по 5 р. (6-й способ).

Если мы попытаемся взять 6 пятирублевых монет ($y=6$), то $5 \cdot 6 = 30$, что уже больше 28. Значит, других вариантов нет.

Мы нашли 6 уникальных комбинаций монет. Таким образом, существует 6 способов уплатить 28 рублей.

Ответ: 6.

1.348. Сколькими способами можно разменять 50 р. монетами в 1 р. и 5 р.?

Пусть $x$ — количество монет номиналом 1 рубль, а $y$ — количество монет номиналом 5 рублей. Нам нужно найти количество пар неотрицательных целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению:$1 \cdot x + 5 \cdot y = 50$или просто $x + 5y = 50$.

Из этого уравнения можно выразить $x$: $x = 50 - 5y$.Поскольку количество монет не может быть отрицательным, то $x \ge 0$ и $y \ge 0$.Из условия $x \ge 0$ следует:$50 - 5y \ge 0$$50 \ge 5y$$y \le 10$

Так как $y$ — это целое неотрицательное число, оно может принимать значения от 0 до 10 включительно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.Каждому такому значению $y$ соответствует единственное значение $x = 50 - 5y$, которое также будет целым и неотрицательным. Например, если взять 0 монет по 5 рублей ($y=0$), то потребуется 50 монет по 1 рублю ($x=50$). Если взять 1 монету по 5 рублей ($y=1$), то потребуется 45 монет по 1 рублю ($x=45$), и так далее, вплоть до случая, когда мы берем 10 монет по 5 рублей ($y=10$) и 0 монет по 1 рублю ($x=0$).Общее число способов равно количеству возможных значений для $y$. Количество целых чисел в диапазоне от 0 до 10 равно $10 - 0 + 1 = 11$.

Ответ: 11

1.349. Однажды Чёрт предложил Бездельнику заработать.

— Как только ты перейдёшь через этот мост, — сказал он, — так твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки.

Бездельник согласился и... после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя обратные действия.

Известно, что после третьего перехода у Бездельника осталось 0 копеек.

Шаг 1: Расчеты для третьего перехода

Перед тем как отдать Чёрту 24 копейки в третий раз, у Бездельника было:$0 + 24 = 24$ копейки.Эта сумма (24 копейки) у него появилась после того, как его деньги удвоились при третьем переходе через мост. Значит, до третьего перехода у него было:$24 / 2 = 12$ копеек.Это сумма, которая осталась у него после второго перехода.

Шаг 2: Расчеты для второго перехода

Итак, после второго перехода у него было 12 копеек. Перед тем как отдать Чёрту 24 копейки во второй раз, у него было:$12 + 24 = 36$ копеек.Эта сумма (36 копеек) появилась после удвоения при втором переходе. Значит, до второго перехода у него было:$36 / 2 = 18$ копеек.Это сумма, которая осталась у него после первого перехода.

Шаг 3: Расчеты для первого перехода

После первого перехода у него было 18 копеек. Перед тем как отдать Чёрту 24 копейки в первый раз, у него было:$18 + 24 = 42$ копейки.Эта сумма (42 копейки) появилась после удвоения при первом переходе. Значит, до первого перехода (изначально) у него было:$42 / 2 = 21$ копейка.

Проверка решения (прямой счет):

1. Изначально было 21 копейка. После первого перехода стало $21 \cdot 2 = 42$. Отдал 24 копейки, осталось $42 - 24 = 18$ копеек.

2. Было 18 копеек. После второго перехода стало $18 \cdot 2 = 36$. Отдал 24 копейки, осталось $36 - 24 = 12$ копеек.

3. Было 12 копеек. После третьего перехода стало $12 \cdot 2 = 24$. Отдал 24 копейки, осталось $24 - 24 = 0$ копеек.

Решение верное.

Решение с помощью уравнения:

Пусть $x$ — начальная сумма денег в копейках.После первого перехода: $2x - 24$.После второго перехода: $(2x - 24) \cdot 2 - 24 = 4x - 48 - 24 = 4x - 72$.После третьего перехода: $(4x - 72) \cdot 2 - 24 = 8x - 144 - 24 = 8x - 168$.По условию, в конце у него осталось 0 копеек:$8x - 168 = 0$$8x = 168$$x = 168 / 8$$x = 21$

Ответ: У Бездельника сначала была 21 копейка.