Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.325. Из спичек сложили шесть неверных равенств:

a) $XII + IX = II$

б) $IV - V = I$

в) $X = VII - III$

г) $X + X = I$

д) $VI - VI = XI$

е) $IV - I + V = II$

Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

а)

Исходное неверное равенство: $XII + IX = II$, что в переводе с римских цифр на арабские означает $12 + 9 = 2$. Верный результат сложения — 21.
Чтобы исправить равенство, нужно переложить одну спичку. Возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «–». Эту спичку добавим к числу $II$ (два) справа, чтобы получилось число $III$ (три).
В результате получится верное равенство: $XII - IX = III$.
Проверка: $12 - 9 = 3$.

Ответ: $XII - IX = III$

б)

Исходное неверное равенство: $IV - V = I$, что означает $4 - 5 = 1$. Верный результат вычитания — -1.
Для получения верного равенства переложим спичку в первом числе $IV$ (четыре). Спичку «I», стоящую слева от «V», переставим направо. Таким образом, число $IV$ (четыре) превратится в $VI$ (шесть).
В результате получится верное равенство: $VI - V = I$.
Проверка: $6 - 5 = 1$.

Ответ: $VI - V = I$

в)

Исходное неверное равенство: $X = VII - III$, что означает $10 = 7 - 3$. Верный результат вычитания справа — 4, поэтому равенство $10 = 4$ неверно.
Чтобы исправить его, возьмем одну спичку из числа $X$ (десять) слева. Число $X$, состоящее из двух скрещенных спичек, превратится в $V$ (пять). Взятую спичку добавим к числу $VII$ (семь) справа, превратив его в $VIII$ (восемь).
В результате получится верное равенство: $V = VIII - III$.
Проверка: $5 = 8 - 3$.

Ответ: $V = VIII - III$

г)

Исходное неверное равенство: $X + X = I$, что означает $10 + 10 = 1$. Верный результат сложения — 20.
Для исправления равенства возьмем вертикальную спичку из знака сложения «+», превратив его в знак вычитания «–». Эту спичку поставим перед вторым числом $X$ (десять), превратив его в $IX$ (девять).
В результате получится верное равенство: $X - IX = I$.
Проверка: $10 - 9 = 1$.

Ответ: $X - IX = I$

д)

Исходное неверное равенство: $VI - VI = XI$, что означает $6 - 6 = 11$. Верный результат вычитания — 0.
Чтобы равенство стало верным, возьмем спичку «I» из первого числа $VI$ (шесть), превратив его в $V$ (пять). Эту спичку положим на знак вычитания «–», превратив его в знак сложения «+».
В результате получится верное равенство: $V + VI = XI$.
Проверка: $5 + 6 = 11$.

Ответ: $V + VI = XI$

е)

Исходное неверное равенство: $IV - I + V = II$, что означает $4 - 1 + 5 = 2$. Верный результат выражения слева — 8, поэтому равенство $8=2$ неверно.
Это более сложная задача. Чтобы сделать утверждение верным, возьмем одну спичку из числа $V$ (пять), превратив его в $I$ (один). Эту спичку переложим на знак равенства «=», перечеркнув его и превратив в знак неравенства «≠».
В результате получится верное неравенство: $IV - I + I \neq II$.
Проверка: $4 - 1 + 1 = 4$, а $4 \neq 2$, что является истинным утверждением.

Ответ: $IV - I + I \neq II$

1.326. Из спичек сложены верные равенства. Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так, чтобы получились другие верные равенства.

a) $IX - V = IV$

б) $VI + VI + VI = XVIII$

в) $XI - VI = VII - II$

г) $9 - 5 = 2 + 1$

д) $3 + 3 = 6$

е) $5 - 3 = 8 - 6$

а)
Исходное равенство: $IX - V = IV$ ($9 - 5 = 4$). Это верное равенство. Чтобы получить другое верное равенство, нужно переложить одну спичку. Возьмём спичку 'I' из числа $IX$ (которое превратится в $X$) и добавим её к числу $V$ (которое превратится в $VI$). Получим новое верное равенство: $X - VI = IV$, что в арабских цифрах означает $10 - 6 = 4$.
Ответ: $X - VI = IV$

б)
Исходное равенство: $VI + VI + VI = XVIII$ ($6 + 6 + 6 = 18$). Это верное равенство. Переложим одну спичку из первого числа $VI$ во второе. Для этого заберём спичку 'I' из первого слагаемого $VI$, превратив его в $V$. Эту спичку добавим ко второму слагаемому $VI$, которое станет $VII$. В результате получится новое верное равенство: $V + VII + VI = XVIII$, что в арабских цифрах означает $5 + 7 + 6 = 18$.
Ответ: $V + VII + VI = XVIII$

в)
Исходное равенство: $XI - VI = VII$ ($11 - 6 = 7$). Это неверное равенство ($5 \neq 7$). Чтобы сделать его верным, переложим одну спичку. Возьмём спичку 'I' из числа $VI$ (которое станет $V$) и добавим её к числу $XI$ (которое станет $XII$). Получим верное равенство: $XII - V = VII$, что в арабских цифрах означает $12 - 5 = 7$.
Ответ: $XII - V = VII$

г)
Исходное равенство: $9 - 5 = 2 + 1$ ($4 = 3$). Это неверное равенство ($4 \neq 3$). Чтобы сделать его верным, переложим одну спичку в цифре $2$. Переместим нижнюю левую вертикальную спичку на место нижней правой. Цифра $2$ превратится в цифру $3$. В результате получится верное равенство: $9 - 5 = 3 + 1$, что означает $4 = 4$.
Ответ: $9 - 5 = 3 + 1$

д)
Исходное равенство: $3 + 3 = 6$. Это верное равенство. Чтобы получить другое верное равенство, возьмём вертикальную спичку из знака сложения '$+$', превратив его в знак вычитания '$-$'. Эту спичку добавим к первой цифре $3$, превратив её в цифру $9$ (добавив спичку слева сверху). Получится новое верное равенство: $9 - 3 = 6$.
Ответ: $9 - 3 = 6$

е)
Исходное равенство: $5 - 3 = 8 - 6$ ($2 = 2$). Это верное равенство. Для получения нового верного равенства переложим одну спичку. Возьмём нижнюю левую спичку из цифры $6$ (она превратится в $5$) и добавим её в качестве нижней левой спички к цифре $5$ (она превратится в $6$). В результате получится новое верное равенство: $6 - 3 = 8 - 5$, что означает $3 = 3$.
Ответ: $6 - 3 = 8 - 5$

1.327. а) Гости спросили, сколько лет исполнилось каждой из трёх сестёр. Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестёр?

б) На XXII Олимпийских играх в Москве (1980) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?

а)

Обозначим возраст сестёр первыми буквами их имён: В – возраст Веры, Н – возраст Нади, Л – возраст Любы.
На основе данных из условия задачи составим систему уравнений:
1) $В + Н = 28$
2) $Н + Л = 23$
3) $В + Н + Л = 38$

Сначала найдём возраст Любы. Мы знаем общий возраст всех трёх сестёр ($В + Н + Л = 38$) и суммарный возраст Веры и Нади ($В + Н = 28$). Если из общего возраста вычесть возраст Веры и Нади, мы получим возраст Любы:
$Л = (В + Н + Л) - (В + Н) = 38 - 28 = 10$ лет.

Теперь найдём возраст Веры. Мы знаем общий возраст ($В + Н + Л = 38$) и суммарный возраст Нади и Любы ($Н + Л = 23$). Вычтем из общего возраста возраст Нади и Любы:
$В = (В + Н + Л) - (Н + Л) = 38 - 23 = 15$ лет.

Наконец, найдём возраст Нади, используя первое уравнение ($В + Н = 28$) и уже известный возраст Веры ($В = 15$):
$15 + Н = 28$
$Н = 28 - 15 = 13$ лет.

Проверим, сходится ли сумма возрастов с общим возрастом: $15 + 13 + 10 = 38$. Всё верно.
Ответ: Вере 15 лет, Наде 13 лет, а Любе 10 лет.

б)

Обозначим количество золотых медалей как З, серебряных — С, бронзовых — Б.
Составим систему уравнений по условию задачи:
1) $З + С + Б = 195$ (общее количество медалей)
2) $З + Б = 126$ (сумма золотых и бронзовых)
3) $З + С = 149$ (сумма золотых и серебряных)

Чтобы найти количество серебряных медалей (С), нужно из общего количества медалей (уравнение 1) вычесть сумму золотых и бронзовых (уравнение 2):
$С = (З + С + Б) - (З + Б) = 195 - 126 = 69$ медалей.

Чтобы найти количество бронзовых медалей (Б), нужно из общего количества медалей (уравнение 1) вычесть сумму золотых и серебряных (уравнение 3):
$Б = (З + С + Б) - (З + С) = 195 - 149 = 46$ медалей.

Теперь, зная количество серебряных и бронзовых медалей, мы можем найти количество золотых (З), вычтя их из общего числа:
$З = 195 - С - Б = 195 - 69 - 46 = 195 - 115 = 80$ медалей.

Проведём проверку:
Золотые + бронзовые: $80 + 46 = 126$. Верно.
Золотые + серебряные: $80 + 69 = 149$. Верно.
Ответ: Спортсмены СССР получили 80 золотых, 69 серебряных и 46 бронзовых медалей.