Страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.303. В предыдущем задании вычислите периметр прямоугольника в дециметрах, взяв приближения длин сторон с точностью до сотен:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Для решения этой задачи необходимо знать длины сторон прямоугольника из предыдущего задания. Предположим, что в предыдущем задании были даны следующие размеры:
Длина прямоугольника $a = 8 \frac{2}{3}$ м.
Ширина прямоугольника $b = 5 \frac{3}{4}$ м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Сначала переведем длины сторон в дециметры, так как 1 м = 10 дм, и представим их в виде десятичных дробей:
$a = 8 \frac{2}{3} \text{ м} = \frac{26}{3} \text{ м} = \frac{260}{3} \text{ дм} = 86,666... \text{ дм}$
$b = 5 \frac{3}{4} \text{ м} = 5,75 \text{ м} = 57,5 \text{ дм}$

Теперь, согласно условию, найдем приближения длин сторон с точностью до сотых (до второго знака после запятой) для каждого случая и вычислим периметр.

а) с недостатком
Берем приближенные значения длин сторон с недостатком до сотых. Это означает, что мы отбрасываем все цифры правее разряда сотых.
$a \approx 86,66$ дм
$b = 57,50$ дм
Теперь вычислим периметр с этими приближенными значениями:
$P \approx 2 \cdot (86,66 + 57,50) = 2 \cdot 144,16 = 288,32$ дм.
Ответ: $288,32$ дм.

б) с избытком
Берем приближенные значения длин сторон с избытком до сотых. Это означает, что мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу, отбрасывая все последующие.
$a \approx 86,67$ дм (поскольку $86,666... > 86,66$)
$b = 57,50$ дм (поскольку это точное значение, приближение с избытком равно самому числу)
Вычислим периметр:
$P \approx 2 \cdot (86,67 + 57,50) = 2 \cdot 144,17 = 288,34$ дм.
Ответ: $288,34$ дм.

в) с округлением
Округляем длины сторон до сотых по стандартным правилам округления.
Для стороны $a = 86,666...$ дм: цифра в разряде тысячных равна 6 (что больше или равно 5), поэтому округляем в большую сторону: $a \approx 86,67$ дм.
Для стороны $b = 57,500...$ дм: цифра в разряде тысячных равна 0 (что меньше 5), поэтому оставляем разряд сотых без изменений: $b \approx 57,50$ дм.
Вычислим периметр с округленными значениями:
$P \approx 2 \cdot (86,67 + 57,50) = 2 \cdot 144,17 = 288,34$ дм.
Ответ: $288,34$ дм.

1.304. Стороны прямоугольника равны 352 мм и 238 мм. Вычислите площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах, взяв приближения длин сторон с точностью до десятков:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Даны стороны прямоугольника $a = 352 \text{ мм}$ и $b = 238 \text{ мм}$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Для вычисления площади в квадратных сантиметрах, сначала необходимо выполнить приближение длин сторон в миллиметрах с точностью до десятков, а затем перевести полученные значения в сантиметры, используя соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

а) с недостатком

Приблизим длины сторон с недостатком (округлим в меньшую сторону) до десятков:

$a = 352 \text{ мм} \approx 350 \text{ мм}$

$b = 238 \text{ мм} \approx 230 \text{ мм}$

Теперь переведем полученные значения в сантиметры:

$a \approx 350 \text{ мм} = 35 \text{ см}$

$b \approx 230 \text{ мм} = 23 \text{ см}$

Вычислим площадь:

$S = 35 \text{ см} \cdot 23 \text{ см} = 805 \text{ см}^2$

Ответ: $805 \text{ см}^2$

б) с избытком

Приблизим длины сторон с избытком (округлим в большую сторону) до десятков:

$a = 352 \text{ мм} \approx 360 \text{ мм}$

$b = 238 \text{ мм} \approx 240 \text{ мм}$

Переведем полученные значения в сантиметры:

$a \approx 360 \text{ мм} = 36 \text{ см}$

$b \approx 240 \text{ мм} = 24 \text{ см}$

Вычислим площадь:

$S = 36 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 864 \text{ см}^2$

Ответ: $864 \text{ см}^2$

в) с округлением

Округлим длины сторон до десятков по математическим правилам округления:

Для стороны $a = 352 \text{ мм}$: последняя цифра 2, поэтому округляем в меньшую сторону. $a \approx 350 \text{ мм}$.

Для стороны $b = 238 \text{ мм}$: последняя цифра 8, поэтому округляем в большую сторону. $b \approx 240 \text{ мм}$.

Переведем полученные значения в сантиметры:

$a \approx 350 \text{ мм} = 35 \text{ см}$

$b \approx 240 \text{ мм} = 24 \text{ см}$

Вычислим площадь:

$S = 35 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 840 \text{ см}^2$

Ответ: $840 \text{ см}^2$

1.305. В предыдущем задании вычислите площадь прямоугольника в квадратных дециметрах, взяв приближения длин сторон с точностью до сотен:

а) с недостатком;

б) с избытком;

в) с округлением.

Поскольку в условии задачи 1.305 есть отсылка к предыдущему заданию, а само предыдущее задание не предоставлено, будем исходить из наиболее вероятного контекста. Обычно в таких задачах рассматривается прямоугольник, стороны которого выражены иррациональными числами. Предположим, что в предыдущем задании (1.304) был дан прямоугольник со сторонами $a = \sqrt{17}$ дм и $b = \sqrt{10}$ дм.

Сначала найдем приближенные значения длин сторон в виде десятичных дробей:

$a = \sqrt{17} \approx 4,123105...$ дм

$b = \sqrt{10} \approx 3,162277...$ дм

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

а) с недостатком

Найдем приближения длин сторон с недостатком с точностью до сотых. Это означает, что мы отбрасываем все цифры после второго знака после запятой.

Приближенное значение длины стороны $a$ с недостатком: $a_1 \approx 4,12$ дм.

Приближенное значение длины стороны $b$ с недостатком: $b_1 \approx 3,16$ дм.

Теперь вычислим площадь, используя эти значения:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 4,12 \cdot 3,16 = 13,0192$ дм².

Ответ: $13,0192$ дм².

б) с избытком

Найдем приближения длин сторон с избытком с точностью до сотых. Это означает, что мы увеличиваем вторую цифру после запятой на единицу, отбрасывая остальные.

Приближенное значение длины стороны $a$ с избытком: $a_2 \approx 4,13$ дм.

Приближенное значение длины стороны $b$ с избытком: $b_2 \approx 3,17$ дм.

Теперь вычислим площадь, используя эти значения:

$S_2 = a_2 \cdot b_2 = 4,13 \cdot 3,17 = 13,0921$ дм².

Ответ: $13,0921$ дм².

в) с округлением

Округлим длины сторон до сотых по стандартным математическим правилам. Для этого нужно посмотреть на третью цифру после запятой.

Для стороны $a = 4,1231...$ дм, третья цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $a_3 \approx 4,12$ дм.

Для стороны $b = 3,1622...$ дм, третья цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $b_3 \approx 3,16$ дм.

Теперь вычислим площадь, используя эти округленные значения:

$S_3 = a_3 \cdot b_3 = 4,12 \cdot 3,16 = 13,0192$ дм².

Ответ: $13,0192$ дм².

1.306. Одна общая тетрадь стоит 54 р. Определите, хватит ли 300 р. на покупку:

а) пяти общих тетрадей;

б) шести общих тетрадей.

а) Для того чтобы определить, хватит ли 300 рублей на покупку пяти общих тетрадей, необходимо вычислить их общую стоимость. Стоимость одной тетради составляет 54 рубля. Умножим цену одной тетради на их количество:
$5 \cdot 54 = 270$ рублей.
Теперь сравним полученную стоимость с имеющейся суммой денег:
$270 \text{ р.} < 300 \text{ р.}$
Поскольку стоимость пяти тетрадей меньше, чем 300 рублей, денег на покупку хватит.
Ответ: хватит.

б) Чтобы определить, хватит ли 300 рублей на покупку шести общих тетрадей, вычислим их общую стоимость. Для этого умножим цену одной тетради на их количество:
$6 \cdot 54 = 324$ рубля.
Сравним полученную стоимость с имеющейся суммой денег:
$324 \text{ р.} > 300 \text{ р.}$
Поскольку стоимость шести тетрадей больше, чем 300 рублей, денег на покупку не хватит.
Ответ: не хватит.

1.307. Стороны прямоугольника равны 87 мм и 53 мм. Оцените, в каких пределах заключено истинное значение площади прямоугольника (в квадратных миллиметрах), взяв приближения длин сторон с точностью до десятков.

Пусть стороны прямоугольника равны $a = 87$ мм и $b = 53$ мм. Задача состоит в том, чтобы оценить пределы, в которых находится истинное значение площади $S$, если длины сторон измеряются с точностью до десятков.

1. Сначала выполним приближение (округление) длин сторон до десятков:
Для стороны $a = 87$ мм, ближайшее число, кратное десяти, это 90. Таким образом, $a \approx 90$ мм.
Для стороны $b = 53$ мм, ближайшее число, кратное десяти, это 50. Таким образом, $b \approx 50$ мм.

2. Теперь определим, в каких пределах лежат истинные значения длин сторон, если их приближенные значения с точностью до десятков равны 90 и 50.
Точность до десятков означает, что погрешность измерения не превышает половины единицы разряда, до которого производится округление, то есть $10 / 2 = 5$ мм.
Следовательно, истинная длина первой стороны $a_{ист}$ заключена в пределах:
$90 - 5 \le a_{ист} < 90 + 5$
$85 \le a_{ист} < 95$
Аналогично для второй стороны $b_{ист}$:
$50 - 5 \le b_{ист} < 50 + 5$
$45 \le b_{ист} < 55$

3. Найдем пределы для истинного значения площади $S = a_{ист} \times b_{ист}$.
Чтобы найти нижнюю границу площади, нужно перемножить нижние границы длин сторон:
$S_{мин} = 85 \times 45 = 3825$ мм².
Чтобы найти верхнюю границу площади, нужно перемножить верхние границы длин сторон:
$S_{макс} = 95 \times 55 = 5225$ мм².

Таким образом, истинное значение площади $S$ заключено в следующих пределах:
$3825 \le S < 5225$.
Ответ: истинное значение площади прямоугольника заключено в пределах от 3825 мм² (включительно) до 5225 мм² (не включая).

1.308. Найдите приближения двух чисел с недостатком и с избытком до разряда сотен, определите нижнюю и верхнюю границы результата действия:

а) $593 + 347$;

б) $229 + 750$;

в) $539 \cdot 374$;

г) $290 \cdot 705$.

а) Для того чтобы найти нижнюю и верхнюю границы результата, сначала найдем приближения каждого числа с недостатком и с избытком до разряда сотен.
Для числа 593: приближение с недостатком равно 500, а с избытком – 600. Таким образом, получаем двойное неравенство: $500 \le 593 \le 600$.
Для числа 347: приближение с недостатком равно 300, а с избытком – 400. Таким образом, получаем двойное неравенство: $300 \le 347 \le 400$.
Чтобы найти нижнюю границу суммы, сложим приближения с недостатком:
$500 + 300 = 800$.
Чтобы найти верхнюю границу суммы, сложим приближения с избытком:
$600 + 400 = 1000$.
Следовательно, результат сложения находится в пределах от 800 до 1000: $800 \le 593 + 347 \le 1000$.
Ответ: нижняя граница – 800, верхняя граница – 1000.

б) Найдем приближения для каждого числа с недостатком и с избытком до разряда сотен.
Для числа 229: приближение с недостатком – 200, с избытком – 300. Получаем неравенство: $200 \le 229 \le 300$.
Для числа 750: приближение с недостатком – 700, с избытком – 800. Получаем неравенство: $700 \le 750 \le 800$.
Нижняя граница суммы равна сумме приближений с недостатком:
$200 + 700 = 900$.
Верхняя граница суммы равна сумме приближений с избытком:
$300 + 800 = 1100$.
Таким образом, результат сложения находится в пределах от 900 до 1100: $900 \le 229 + 750 \le 1100$.
Ответ: нижняя граница – 900, верхняя граница – 1100.

в) Найдем приближения для каждого множителя с недостатком и с избытком до разряда сотен.
Для числа 539: приближение с недостатком – 500, с избытком – 600. Неравенство: $500 \le 539 \le 600$.
Для числа 374: приближение с недостатком – 300, с избытком – 400. Неравенство: $300 \le 374 \le 400$.
Чтобы найти нижнюю границу произведения, перемножим приближения с недостатком:
$500 \cdot 300 = 150000$.
Чтобы найти верхнюю границу произведения, перемножим приближения с избытком:
$600 \cdot 400 = 240000$.
Следовательно, результат умножения находится в пределах от 150000 до 240000: $150000 \le 539 \cdot 374 \le 240000$.
Ответ: нижняя граница – 150000, верхняя граница – 240000.

г) Найдем приближения для каждого множителя с недостатком и с избытком до разряда сотен.
Для числа 290: приближение с недостатком – 200, с избытком – 300. Неравенство: $200 \le 290 \le 300$.
Для числа 705: приближение с недостатком – 700, с избытком – 800. Неравенство: $700 \le 705 \le 800$.
Нижняя граница произведения равна произведению приближений с недостатком:
$200 \cdot 700 = 140000$.
Верхняя граница произведения равна произведению приближений с избытком:
$300 \cdot 800 = 240000$.
Таким образом, результат умножения находится в пределах от 140000 до 240000: $140000 \le 290 \cdot 705 \le 240000$.
Ответ: нижняя граница – 140000, верхняя граница – 240000.