Страница 61 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.278. Запишите и вычислите:

а) сумму чисел: 1) 49 и 51; 2) 56 и 72;

б) разность чисел: 1) 59 и 34; 2) 66 и 42;

в) сумму квадратов чисел: 1) 7 и 2; 2) 9 и 7;

г) квадрат суммы чисел: 1) 9 и 11; 2) 6 и 7;

д) разность квадратов чисел: 1) 5 и 4; 2) 6 и 2;

е) квадрат разности чисел: 1) 5 и 3; 2) 6 и 4;

ж) сумму кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 2;

з) куб суммы чисел: 1) 13 и 7; 2) 5 и 6;

и) разность кубов чисел: 1) 4 и 3; 2) 5 и 1;

к) куб разности чисел: 1) 49 и 46; 2) 56 и 52.

а) сумму чисел:

1) Записываем сумму чисел 49 и 51: $49 + 51 = 100$.
Ответ: 100

2) Записываем сумму чисел 56 и 72: $56 + 72 = 128$.
Ответ: 128

б) разность чисел:

1) Записываем разность чисел 59 и 34: $59 - 34 = 25$.
Ответ: 25

2) Записываем разность чисел 66 и 42: $66 - 42 = 24$.
Ответ: 24

в) сумму квадратов чисел:

1) Записываем сумму квадратов чисел 7 и 2: $7^2 + 2^2 = 49 + 4 = 53$.
Ответ: 53

2) Записываем сумму квадратов чисел 9 и 7: $9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130$.
Ответ: 130

г) квадрат суммы чисел:

1) Записываем квадрат суммы чисел 9 и 11: $(9 + 11)^2 = 20^2 = 400$.
Ответ: 400

2) Записываем квадрат суммы чисел 6 и 7: $(6 + 7)^2 = 13^2 = 169$.
Ответ: 169

д) разность квадратов чисел:

1) Записываем разность квадратов чисел 5 и 4: $5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
Ответ: 9

2) Записываем разность квадратов чисел 6 и 2: $6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$.
Ответ: 32

е) квадрат разности чисел:

1) Записываем квадрат разности чисел 5 и 3: $(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

2) Записываем квадрат разности чисел 6 и 4: $(6 - 4)^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

ж) сумму кубов чисел:

1) Записываем сумму кубов чисел 4 и 3: $4^3 + 3^3 = 64 + 27 = 91$.
Ответ: 91

2) Записываем сумму кубов чисел 5 и 2: $5^3 + 2^3 = 125 + 8 = 133$.
Ответ: 133

з) куб суммы чисел:

1) Записываем куб суммы чисел 13 и 7: $(13 + 7)^3 = 20^3 = 8000$.
Ответ: 8000

2) Записываем куб суммы чисел 5 и 6: $(5 + 6)^3 = 11^3 = 1331$.
Ответ: 1331

и) разность кубов чисел:

1) Записываем разность кубов чисел 4 и 3: $4^3 - 3^3 = 64 - 27 = 37$.
Ответ: 37

2) Записываем разность кубов чисел 5 и 1: $5^3 - 1^3 = 125 - 1 = 124$.
Ответ: 124

к) куб разности чисел:

1) Записываем куб разности чисел 49 и 46: $(49 - 46)^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

2) Записываем куб разности чисел 56 и 52: $(56 - 52)^3 = 4^3 = 64$.
Ответ: 64

Вычислите (1.279–1.280):

1.279. а) $(5+2)^2$;

б) $(9-8)^3$;

в) $5+2^2$;

г) $5^2+2^2$;

д) $9^2-8$;

е) $9^2-8^2$.

а) В соответствии с порядком действий, сначала выполняем сложение в скобках, а затем возводим полученную сумму в квадрат.

1. Сложение в скобках: $5 + 2 = 7$.

2. Возведение в степень: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Таким образом, $(5 + 2)^2 = 7^2 = 49$.

Ответ: 49

б) Сначала выполняем вычитание в скобках, а затем возводим полученную разность в куб.

1. Вычитание в скобках: $9 - 8 = 1$.

2. Возведение в степень: $1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Таким образом, $(9 - 8)^3 = 1^3 = 1$.

Ответ: 1

в) Порядок действий предписывает сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение.

1. Возведение в степень: $2^2 = 4$.

2. Сложение: $5 + 4 = 9$.

Таким образом, $5 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.

Ответ: 9

г) Сначала возводим каждое из чисел в квадрат, а затем складываем полученные результаты.

1. Возведение в степень первого слагаемого: $5^2 = 25$.

2. Возведение в степень второго слагаемого: $2^2 = 4$.

3. Сложение: $25 + 4 = 29$.

Таким образом, $5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$.

Ответ: 29

д) Сначала выполняем возведение в степень, а затем вычитание.

1. Возведение в степень: $9^2 = 81$.

2. Вычитание: $81 - 8 = 73$.

Таким образом, $9^2 - 8 = 81 - 8 = 73$.

Ответ: 73

е) Сначала возводим в квадрат каждое число, а затем находим разность результатов.

1. Возведение в степень уменьшаемого: $9^2 = 81$.

2. Возведение в степень вычитаемого: $8^2 = 64$.

3. Вычитание: $81 - 64 = 17$.

Таким образом, $9^2 - 8^2 = 81 - 64 = 17$.

Ответ: 17

1.280 a) $(714 \div 7 - 100)^4;$

б) $(824 \div 8 - 102)^4;$

в) $(954 \div 9 - 636 \div 6)^3;$

г) $(758 - 659)^2 \div (38 + 61)^2.$

а) $(714 : 7 - 100)^4$

Решим по действиям, соблюдая порядок операций. Сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), а потом возведение в степень.

1. Выполним деление в скобках: $714 : 7 = 102$.

2. Выполним вычитание в скобках: $102 - 100 = 2$.

3. Возведем полученный результат в четвертую степень: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16

б) $(824 : 8 - 102)^4$

Решим по действиям, аналогично предыдущему примеру.

1. Выполним деление в скобках: $824 : 8 = 103$.

2. Выполним вычитание в скобках: $103 - 102 = 1$.

3. Возведем результат в четвертую степень: $1^4 = 1$. Любая степень числа 1 равна 1.

Ответ: 1

в) $(954 : 9 - 636 : 6)^3$

Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок первыми выполняются операции деления, а затем вычитание.

1. Выполним первое деление: $954 : 9 = 106$.

2. Выполним второе деление: $636 : 6 = 106$.

3. Выполним вычитание в скобках: $106 - 106 = 0$.

4. Возведем результат в третью степень: $0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

г) $(758 - 659)^2 : (38 + 61)^2$

Сначала выполняем действия в каждых скобках, затем возведение в степень, и в конце деление.

1. Выполним вычитание в первых скобках: $758 - 659 = 99$.

2. Выполним сложение во вторых скобках: $38 + 61 = 99$.

3. Выражение принимает вид: $99^2 : 99^2$.

4. При делении числа на само себя (кроме нуля) результат всегда равен 1. Таким образом, $99^2 : 99^2 = 1$.
Также можно воспользоваться свойством степеней: $a^n : b^n = (a:b)^n$.
$99^2 : 99^2 = (99 : 99)^2 = 1^2 = 1$.

Ответ: 1

1.281. Используя четыре цифры 3, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное:

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) 5;

ж) 6; з) 7; и) 8; к) 9; л) 10; м) 12.

Решение.

а) $3 + 3 - (3 + 3) = 0;$ б) $(3 + 3) : (3 + 3) = 1.$

Найдите другие решения для 0 и 1.

а) 0. Чтобы получить 0, можно из числа вычесть само себя. В примере из учебника показан один из способов: $3+3-(3+3)=0$. Другой способ — составить из двух троек число 33 и вычесть из него такое же число. Ответ: $33 - 33 = 0$

б) 1. Чтобы получить 1, можно разделить число на само себя. В примере из учебника показан один из способов: $(3+3)\div(3+3)=1$. По аналогии с предыдущим пунктом, можно составить число 33 и разделить его на себя. Ответ: $33 \div 33 = 1$

в) 2. Чтобы получить 2, можно сложить две единицы. Каждую единицу можно представить как частное от деления $3 \div 3$. Таким образом, мы используем все четыре тройки. Ответ: $(3 \div 3) + (3 \div 3) = 2$

г) 3. Чтобы получить 3, можно из 9 вычесть 6. Девять можно получить как $3 \times 3$, а шесть — как $3+3$. Ответ: $(3 \times 3) - (3 + 3) = 3$

д) 4. Чтобы получить 4, можно 12 разделить на 3. Число 12, в свою очередь, можно составить из трех троек: $3 \times 3 + 3$. Объединив всё, получаем искомое выражение. Ответ: $(3 \times 3 + 3) \div 3 = 4$

е) 5. Чтобы получить 5, можно из 6 вычесть 1. Шесть — это $3+3$, а единица — это $3 \div 3$. Ответ: $(3 + 3) - (3 \div 3) = 5$

ж) 6. Чтобы получить 6, можно сложить $3+3$. Чтобы задействовать еще две тройки, можно прибавить и вычесть одну и ту же тройку, что не изменит результат. Ответ: $3 + 3 + 3 - 3 = 6$

з) 7. Чтобы получить 7, можно к 6 прибавить 1. Шесть — это $3+3$, а единица — это $3 \div 3$. Ответ: $(3 + 3) + (3 \div 3) = 7$

и) 8. Чтобы получить 8, можно из 9 вычесть 1. Девять — это $3 \times 3$, а единица — это $3 \div 3$. Ответ: $3 \times 3 - 3 \div 3 = 8$

к) 9. Чтобы получить 9, можно умножить $3 \times 3$. Чтобы задействовать еще две тройки, можно, например, умножить на единицу, полученную как $3 \div 3$. Ответ: $(3 \times 3) \times (3 \div 3) = 9$

л) 10. Чтобы получить 10, можно к 9 прибавить 1 ($3 \times 3 + 3 \div 3$). Другой, более изящный вариант, — использовать составное число 33: из 33 вычесть 3 и результат разделить на 3. Ответ: $(33 - 3) \div 3 = 10$

м) 12. Чтобы получить 12, можно сложить все четыре тройки. Это самый простой способ. Ответ: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$

1.282. Используя четыре цифры 8, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное:

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 6;

е) 7;

ж) 8;

з) 9;

и) 10.

а) Чтобы получить 1, можно разделить 8 на 8, что дает 1. Оставшиеся две восьмерки можно добавить в выражение так, чтобы их сумма равнялась нулю, например, прибавив и вычев 8.
$8 : 8 + 8 - 8 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: $8 : 8 + 8 - 8 = 1$

б) Чтобы получить 2, можно дважды получить единицу путем деления ($8 : 8$) и сложить полученные результаты.
$8 : 8 + 8 : 8 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $8 : 8 + 8 : 8 = 2$

в) Чтобы получить 3, можно сложить три восьмерки и полученную сумму разделить на четвертую восьмерку.
$(8 + 8 + 8) : 8 = 24 : 8 = 3$.

Ответ: $(8 + 8 + 8) : 8 = 3$

г) Чтобы получить 4, можно найти произведение двух восьмерок и разделить его на сумму двух других восьмерок.
$(8 \times 8) : (8 + 8) = 64 : 16 = 4$.

Ответ: $(8 \times 8) : (8 + 8) = 4$

д) Чтобы получить 6, можно из 8 вычесть 2. Двойку, в свою очередь, можно получить, разделив сумму двух восьмерок на третью.
$8 - (8 + 8) : 8 = 8 - 16 : 8 = 8 - 2 = 6$.

Ответ: $8 - (8 + 8) : 8 = 6$

е) Чтобы получить 7, можно из произведения двух восьмерок вычесть 8, а затем результат разделить на оставшуюся восьмерку.
$(8 \times 8 - 8) : 8 = (64 - 8) : 8 = 56 : 8 = 7$.

Ответ: $(8 \times 8 - 8) : 8 = 7$

ж) Чтобы получить 8, можно к 8 прибавить 0. Ноль легко получить, например, умножив разность двух восьмерок на третью.
$8 + (8 - 8) \times 8 = 8 + 0 \times 8 = 8 + 0 = 8$.

Ответ: $8 + (8 - 8) \times 8 = 8$

з) Чтобы получить 9, можно к произведению двух восьмерок прибавить 8 и результат разделить на оставшуюся восьмерку.
$(8 \times 8 + 8) : 8 = (64 + 8) : 8 = 72 : 8 = 9$.

Ответ: $(8 \times 8 + 8) : 8 = 9$

и) Чтобы получить 10, можно к 8 прибавить 2. Двойку можно получить, разделив сумму двух восьмерок на третью.
$8 + (8 + 8) : 8 = 8 + 16 : 8 = 8 + 2 = 10$.

Ответ: $8 + (8 + 8) : 8 = 10$

1.283. Вычислите:

а) $6^2 - 5^2 + 3^2 - 2^2$;

б) $1^3 + 2^2 + 3^1 - 2^3$;

в) $(8^2 : 16 - 2)^2 + 2^3$;

г) $(9^2 : 27 - 2) \cdot 5^2$.

а) $6^2 - 5^2 + 3^2 - 2^2$

Для решения этого примера необходимо сначала возвести числа в степень, а затем выполнить действия вычитания и сложения в порядке их следования.
1. Вычисляем значения степеней:
$6^2 = 36$
$5^2 = 25$
$3^2 = 9$
$2^2 = 4$
2. Подставляем полученные значения в выражение и вычисляем:
$36 - 25 + 9 - 4 = 11 + 9 - 4 = 20 - 4 = 16$
Ответ: 16

б) $1^3 + 2^2 + 3^1 - 2^3$

Сначала вычислим значения степеней, а затем выполним действия сложения и вычитания.
1. Вычисляем значения степеней:
$1^3 = 1$
$2^2 = 4$
$3^1 = 3$
$2^3 = 8$
2. Подставляем значения и вычисляем:
$1 + 4 + 3 - 8 = 5 + 3 - 8 = 8 - 8 = 0$
Ответ: 0

в) $(8^2 : 16 - 2)^2 + 2^3$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках (возведение в степень, деление, вычитание), затем возведение в степень за скобками, и в конце сложение.
1. Вычисляем выражение в скобках: $8^2 : 16 - 2$.
- Возводим в степень: $8^2 = 64$.
- Выполняем деление: $64 : 16 = 4$.
- Выполняем вычитание: $4 - 2 = 2$.
2. Исходное выражение принимает вид: $2^2 + 2^3$.
3. Возводим в степень: $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$.
4. Выполняем сложение: $4 + 8 = 12$.
Ответ: 12

г) $(9^2 : 27 - 2) \cdot 5^2$

Решаем по порядку действий: сначала действия в скобках (возведение в степень, деление, вычитание), затем возведение в степень за скобками, и в конце умножение.
1. Вычисляем выражение в скобках: $9^2 : 27 - 2$.
- Возводим в степень: $9^2 = 81$.
- Выполняем деление: $81 : 27 = 3$.
- Выполняем вычитание: $3 - 2 = 1$.
2. Исходное выражение принимает вид: $1 \cdot 5^2$.
3. Возводим в степень: $5^2 = 25$.
4. Выполняем умножение: $1 \cdot 25 = 25$.
Ответ: 25

1.284. Пешеход шёл 3 ч со скоростью 5 км/ч и ещё 2 ч со скоростью 4 км/ч. Что можно узнать, вычислив значение числового выражения:

а) $3 + 2$;

б) $3 \cdot 5$;

в) $2 \cdot 4$;

г) $3 \cdot 5 + 2 \cdot 4$;

д) $3 \cdot 5 - 2 \cdot 4$?

а) В данном выражении складываются два отрезка времени: 3 часа (время движения на первом участке) и 2 часа (время движения на втором участке). Таким образом, это выражение позволяет найти общее время движения пешехода.

$3 + 2 = 5$ (ч)

Ответ: Общее время, которое пешеход был в пути.

б) В данном выражении время движения на первом участке (3 ч) умножается на скорость на этом участке (5 км/ч). Произведение времени на скорость равно расстоянию. Следовательно, это выражение позволяет найти расстояние, пройденное на первом участке пути.

$3 \cdot 5 = 15$ (км)

Ответ: Расстояние, которое пешеход прошёл за первые 3 часа.

в) В данном выражении время движения на втором участке (2 ч) умножается на скорость на этом участке (4 км/ч). Это выражение позволяет найти расстояние, пройденное на втором участке пути.

$2 \cdot 4 = 8$ (км)

Ответ: Расстояние, которое пешеход прошёл за следующие 2 часа.

г) Это выражение представляет собой сумму двух произведений: $3 \cdot 5$ (расстояние первого участка) и $2 \cdot 4$ (расстояние второго участка). Складывая эти два расстояния, можно найти общую длину всего пути, пройденного пешеходом.

$3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 15 + 8 = 23$ (км)

Ответ: Общее расстояние, которое прошёл пешеход.

д) Это выражение представляет собой разность двух произведений: $3 \cdot 5$ (расстояние первого участка) и $2 \cdot 4$ (расстояние второго участка). Вычитая из расстояния первого участка расстояние второго, можно узнать, на сколько километров первый участок пути был длиннее второго.

$3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 15 - 8 = 7$ (км)

Ответ: На сколько километров путь, пройденный на первом участке, длиннее пути, пройденного на втором.

1.285. Решите задачу, составив числовое выражение:

а) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас?

б) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас?

в) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас?

г) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас?

а) Чтобы решить задачу, сначала определим, сколько лет будет брату через 3 года. Его текущий возраст — 5 лет, значит, через 3 года ему будет $5 + 3 = 8$ лет. По условию, этот возраст в 2 раза меньше, чем возраст сестры сейчас. Следовательно, возраст сестры в 2 раза больше. Составим числовое выражение для нахождения возраста сестры: $(5 + 3) \times 2 = 8 \times 2 = 16$ лет.
Ответ: 16 лет.

б) Чтобы решить задачу, сначала определим, сколько лет будет брату через 3 года. Его текущий возраст — 5 лет, значит, через 3 года ему будет $5 + 3 = 8$ лет. По условию, этот возраст в 2 раза меньше, чем возраст сестры сейчас. Следовательно, возраст сестры в 2 раза больше. Составим числовое выражение для нахождения возраста сестры: $(5 + 3) \times 2 = 8 \times 2 = 16$ лет.
Ответ: 16 лет.

в) Сначала найдем, сколько лет было брату год назад. Его текущий возраст — 5 лет, значит, год назад ему было $5 - 1 = 4$ года. По условию, в то время ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Это означает, что сестра сейчас в 3 раза старше, чем брат был год назад. Составим числовое выражение для нахождения возраста сестры: $(5 - 1) \times 3 = 4 \times 3 = 12$ лет.
Ответ: 12 лет.

г) Сначала найдем, сколько лет было брату год назад. Его текущий возраст — 5 лет, значит, год назад ему было $5 - 1 = 4$ года. По условию, в то время ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Это означает, что сестра сейчас в 3 раза старше, чем брат был год назад. Составим числовое выражение для нахождения возраста сестры: $(5 - 1) \times 3 = 4 \times 3 = 12$ лет.
Ответ: 12 лет.