Страница 55 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.237. Приведите пример деления с остатком, назовите делимое, делитель, неполное частное, остаток.

Деление с остатком — это операция деления одного целого числа на другое, в результате которой получается два числа: неполное частное и остаток. Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Рассмотрим пример: разделим 25 на 4.

Чтобы найти неполное частное, мы должны определить, сколько раз 4 «помещается» в 25.
$4 \cdot 6 = 24$
$4 \cdot 7 = 28$

28 уже больше, чем 25, поэтому 4 «помещается» в 25 шесть раз. Таким образом, 6 — это неполное частное.

Чтобы найти остаток, нужно из делимого вычесть произведение делителя на неполное частное:
$25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$

Остаток равен 1. Он меньше делителя ($1 < 4$), значит, вычисление верное.

Таким образом, результат деления 25 на 4 можно записать как: $25 : 4 = 6$ (ост. $1$).

В этом примере компоненты деления называются так:

Делимое — это число, которое мы делим. В нашем примере это 25.

Делитель — это число, на которое мы делим. В нашем примере это 4.

Неполное частное — это целый результат деления. В нашем примере это 6.

Остаток — это число, которое осталось после деления. В нашем примере это 1.

Ответ: пример деления с остатком: $25 : 4 = 6$ (ост. $1$). В этом примере: делимое — 25, делитель — 4, неполное частное — 6, остаток — 1.

1.238. Чему равен остаток при делении нацело?

Деление с остатком целого числа $a$ (делимое) на целое число $b$ (делитель, $b \neq 0$) — это представление числа $a$ в виде следующего равенства:

$a = b \cdot q + r$,

где $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток. Все числа $a, b, q, r$ являются целыми.

Ключевым свойством остатка $r$ является то, что он должен быть неотрицательным и строго меньше модуля делителя:

$0 \le r < |b|$.

"Деление нацело" (или "деление без остатка") — это ситуация, когда остаток от деления равен нулю. Это означает, что делимое $a$ полностью, без остатка, делится на делитель $b$. В этом случае говорят, что $a$ кратно $b$.

Если деление происходит нацело, то формула деления с остатком принимает вид:

$a = b \cdot q + 0$, что равносильно $a = b \cdot q$.

Следовательно, по самому определению деления нацело, остаток при такой операции всегда равен нулю.

Ответ: 0

1.239. Объясните, как выполнено деление:

a) $ \begin{array}{r|l} 3222 & 9 \\ \cline{2-2} -27 & 358 \\ \cline{1-1} 52 \\ -45 \\ \cline{1-1} 72 \\ -72 \\ \cline{1-1} 0 \end{array} $

б) $ \begin{array}{r|l} 2187 & 26 \\ \cline{2-2} -208 & 84 \\ \cline{1-1} 107 \\ -104 \\ \cline{1-1} 3 \text{ (ост.)} \end{array} $

в) $ \begin{array}{r|l} 146376 & 321 \\ \cline{2-2} -1284 & 456 \\ \cline{1-1} 1797 \\ -1605 \\ \cline{1-1} 1926 \\ -1926 \\ \cline{1-1} 0 \end{array} $

г) $ \begin{array}{r|l} 16100 & 46 \\ \cline{2-2} -138 & 350 \\ \cline{1-1} 230 \\ -230 \\ \cline{1-1} 0 \end{array} $

д) $ \begin{array}{r|l} 14084 & 28 \\ \cline{2-2} -140 & 503 \\ \cline{1-1} 8 \\ -0 \\ \cline{1-1} 84 \\ -84 \\ \cline{1-1} 0 \end{array} $

е) $ \begin{array}{r|l} 97963 & 951 \\ \cline{2-2} -951 & 103 \\ \cline{1-1} 286 \\ -0 \\ \cline{1-1} 2863 \\ -2853 \\ \cline{1-1} 10 \text{ (ост.)} \end{array} $

а) Деление числа 3222 на 9 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 32 сотни. Делим 32 на 9. В частном будет 3 сотни. Умножаем $9 \cdot 3 = 27$. Вычитаем 27 из 32, получаем остаток 5.
2. Сносим следующую цифру 2. Следующее неполное делимое — 52 десятка. Делим 52 на 9. В частном будет 5 десятков. Умножаем $9 \cdot 5 = 45$. Вычитаем 45 из 52, получаем остаток 7.
3. Сносим следующую цифру 2. Следующее неполное делимое — 72 единицы. Делим 72 на 9. В частном будет 8 единиц. Умножаем $9 \cdot 8 = 72$. Вычитаем 72 из 72, получаем остаток 0.

Деление выполнено полностью. Ответ: 358

б) Деление числа 2187 на 26 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 218 десятков (так как 21 меньше 26). Делим 218 на 26. В частном будет 8 десятков. Умножаем $26 \cdot 8 = 208$. Вычитаем 208 из 218, получаем остаток 10.
2. Сносим следующую цифру 7. Следующее неполное делимое — 107 единиц. Делим 107 на 26. В частном будет 4 единицы. Умножаем $26 \cdot 4 = 104$. Вычитаем 104 из 107, получаем остаток 3.

Деление закончено, так как больше нет цифр для сноса. Ответ: 84 (ост. 3)

в) Деление числа 146376 на 321 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 1463 сотни (так как 146 меньше 321). Делим 1463 на 321. В частном будет 4 сотни. Умножаем $321 \cdot 4 = 1284$. Вычитаем 1284 из 1463, получаем остаток 179.
2. Сносим следующую цифру 7. Следующее неполное делимое — 1797 десятков. Делим 1797 на 321. В частном будет 5 десятков. Умножаем $321 \cdot 5 = 1605$. Вычитаем 1605 из 1797, получаем остаток 192.
3. Сносим следующую цифру 6. Следующее неполное делимое — 1926 единиц. Делим 1926 на 321. В частном будет 6 единиц. Умножаем $321 \cdot 6 = 1926$. Вычитаем 1926 из 1926, получаем остаток 0.

Деление выполнено полностью. Ответ: 456

г) Деление числа 16100 на 46 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 161 сотня (так как 16 меньше 46). Делим 161 на 46. В частном будет 3 сотни. Умножаем $46 \cdot 3 = 138$. Вычитаем 138 из 161, получаем остаток 23.
2. Сносим следующую цифру 0. Следующее неполное делимое — 230 десятков. Делим 230 на 46. В частном будет 5 десятков. Умножаем $46 \cdot 5 = 230$. Вычитаем 230 из 230, получаем остаток 0.
3. Сносим последнюю цифру 0. Делим 0 на 46. В частном будет 0 единиц. Умножаем $46 \cdot 0 = 0$. Вычитаем 0 из 0, получаем остаток 0.

Деление выполнено полностью. Ответ: 350

д) Деление числа 14084 на 28 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 140 сотен (так как 14 меньше 28). Делим 140 на 28. В частном будет 5 сотен. Умножаем $28 \cdot 5 = 140$. Вычитаем 140 из 140, получаем остаток 0.
2. Сносим следующую цифру 8. Следующее неполное делимое — 8 десятков. Делим 8 на 28. Так как 8 меньше 28, в частном будет 0 десятков. Умножаем $28 \cdot 0 = 0$. Вычитаем 0 из 8, получаем остаток 8.
3. Сносим следующую цифру 4. Следующее неполное делимое — 84 единицы. Делим 84 на 28. В частном будет 3 единицы. Умножаем $28 \cdot 3 = 84$. Вычитаем 84 из 84, получаем остаток 0.

Деление выполнено полностью. Ответ: 503

е) Деление числа 97963 на 951 выполнено столбиком.

1. Первое неполное делимое — 979 сотен (так как 97 меньше 951). Делим 979 на 951. В частном будет 1 сотня. Умножаем $951 \cdot 1 = 951$. Вычитаем 951 из 979, получаем остаток 28.
2. Сносим следующую цифру 6. Следующее неполное делимое — 286 десятков. Делим 286 на 951. Так как 286 меньше 951, в частном будет 0 десятков. Умножаем $951 \cdot 0 = 0$. Вычитаем 0 из 286, получаем остаток 286.
3. Сносим следующую цифру 3. Следующее неполное делимое — 2863 единицы. Делим 2863 на 951. В частном будет 3 единицы. Умножаем $951 \cdot 3 = 2853$. Вычитаем 2853 из 2863, получаем остаток 10.

Деление закончено, так как больше нет цифр для сноса. Ответ: 103 (ост. 10)

1.240. Выполните деление:

а) $261 : 7$;

б) $1872 : 8$;

в) $2144 : 6$;

г) $1742 : 13$;

д) $3685 : 15$;

е) $15216 : 16$.

а) $261 : 7$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 26. Делим 26 на 7. Получаем 3. $3 \times 7 = 21$.
2. Находим остаток: $26 - 21 = 5$.
3. Сносим следующую цифру 1, получаем 51.
4. Делим 51 на 7. Получаем 7. $7 \times 7 = 49$.
5. Находим остаток: $51 - 49 = 2$.

Результат: неполное частное равно 37, остаток равен 2.
Проверка: $37 \times 7 + 2 = 259 + 2 = 261$.
Ответ: 37 (остаток 2).

б) $1872 : 8$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 18. Делим 18 на 8. Получаем 2. $2 \times 8 = 16$.
2. Находим остаток: $18 - 16 = 2$.
3. Сносим следующую цифру 7, получаем 27.
4. Делим 27 на 8. Получаем 3. $3 \times 8 = 24$.
5. Находим остаток: $27 - 24 = 3$.
6. Сносим следующую цифру 2, получаем 32.
7. Делим 32 на 8. Получаем 4. $4 \times 8 = 32$.
8. Находим остаток: $32 - 32 = 0$.

Деление выполнено без остатка.
Проверка: $234 \times 8 = 1872$.
Ответ: 234.

в) $2144 : 6$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 21. Делим 21 на 6. Получаем 3. $3 \times 6 = 18$.
2. Находим остаток: $21 - 18 = 3$.
3. Сносим следующую цифру 4, получаем 34.
4. Делим 34 на 6. Получаем 5. $5 \times 6 = 30$.
5. Находим остаток: $34 - 30 = 4$.
6. Сносим следующую цифру 4, получаем 44.
7. Делим 44 на 6. Получаем 7. $7 \times 6 = 42$.
8. Находим остаток: $44 - 42 = 2$.

Результат: неполное частное равно 357, остаток равен 2.
Проверка: $357 \times 6 + 2 = 2142 + 2 = 2144$.
Ответ: 357 (остаток 2).

г) $1742 : 13$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 17. Делим 17 на 13. Получаем 1. $1 \times 13 = 13$.
2. Находим остаток: $17 - 13 = 4$.
3. Сносим следующую цифру 4, получаем 44.
4. Делим 44 на 13. Получаем 3. $3 \times 13 = 39$.
5. Находим остаток: $44 - 39 = 5$.
6. Сносим следующую цифру 2, получаем 52.
7. Делим 52 на 13. Получаем 4. $4 \times 13 = 52$.
8. Находим остаток: $52 - 52 = 0$.

Деление выполнено без остатка.
Проверка: $134 \times 13 = 1742$.
Ответ: 134.

д) $3685 : 15$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 36. Делим 36 на 15. Получаем 2. $2 \times 15 = 30$.
2. Находим остаток: $36 - 30 = 6$.
3. Сносим следующую цифру 8, получаем 68.
4. Делим 68 на 15. Получаем 4. $4 \times 15 = 60$.
5. Находим остаток: $68 - 60 = 8$.
6. Сносим следующую цифру 5, получаем 85.
7. Делим 85 на 15. Получаем 5. $5 \times 15 = 75$.
8. Находим остаток: $85 - 75 = 10$.

Результат: неполное частное равно 245, остаток равен 10.
Проверка: $245 \times 15 + 10 = 3675 + 10 = 3685$.
Ответ: 245 (остаток 10).

е) $15216 : 16$.
Выполним деление в столбик.

1. Первое неполное делимое — 152. Делим 152 на 16. Получаем 9. $9 \times 16 = 144$.
2. Находим остаток: $152 - 144 = 8$.
3. Сносим следующую цифру 1, получаем 81.
4. Делим 81 на 16. Получаем 5. $5 \times 16 = 80$.
5. Находим остаток: $81 - 80 = 1$.
6. Сносим следующую цифру 6, получаем 16.
7. Делим 16 на 16. Получаем 1. $1 \times 16 = 16$.
8. Находим остаток: $16 - 16 = 0$.

Деление выполнено без остатка.
Проверка: $951 \times 16 = 15216$.
Ответ: 951.

1.241. Вычислите:

a) $18147 : 23;$

б) $18600 : 24;$

в) $9576 : 21;$

г) $6278 : 51;$

д) $32614 : 46;$

е) $46066 : 57.$

а) Выполним деление столбиком для $18147 : 23$.

1. Определяем первое неполное делимое. Это 181. Делим 181 на 23. Подбираем цифру в частное: $23 \cdot 7 = 161$. Записываем 7 в частное.
2. Находим остаток: $181 - 161 = 20$. Остаток меньше делителя ($20 < 23$).
3. Сносим следующую цифру 4, получаем 204. Делим 204 на 23. Подбираем цифру: $23 \cdot 8 = 184$. Записываем 8 в частное.
4. Находим остаток: $204 - 184 = 20$. Остаток меньше делителя ($20 < 23$).
5. Сносим следующую цифру 7, получаем 207. Делим 207 на 23. Подбираем цифру: $23 \cdot 9 = 207$. Записываем 9 в частное.
6. Находим остаток: $207 - 207 = 0$. Деление завершено.
Таким образом, $18147 : 23 = 789$.

Ответ: 789.

б) Выполним деление столбиком для $18600 : 24$.

1. Первое неполное делимое — 186. Делим 186 на 24. $24 \cdot 7 = 168$. Записываем 7 в частное.
2. Находим остаток: $186 - 168 = 18$.
3. Сносим 0, получаем 180. Делим 180 на 24. $24 \cdot 7 = 168$. Записываем 7 в частное.
4. Находим остаток: $180 - 168 = 12$.
5. Сносим 0, получаем 120. Делим 120 на 24. $24 \cdot 5 = 120$. Записываем 5 в частное.
6. Находим остаток: $120 - 120 = 0$. Деление завершено.
Таким образом, $18600 : 24 = 775$.

Ответ: 775.

в) Выполним деление столбиком для $9576 : 21$.

1. Первое неполное делимое — 95. Делим 95 на 21. $21 \cdot 4 = 84$. Записываем 4 в частное.
2. Находим остаток: $95 - 84 = 11$.
3. Сносим 7, получаем 117. Делим 117 на 21. $21 \cdot 5 = 105$. Записываем 5 в частное.
4. Находим остаток: $117 - 105 = 12$.
5. Сносим 6, получаем 126. Делим 126 на 21. $21 \cdot 6 = 126$. Записываем 6 в частное.
6. Находим остаток: $126 - 126 = 0$. Деление завершено.
Таким образом, $9576 : 21 = 456$.

Ответ: 456.

г) Выполним деление столбиком для $6278 : 51$.

1. Первое неполное делимое — 62. Делим 62 на 51. Получаем 1. Записываем 1 в частное.
2. Находим остаток: $62 - 51 \cdot 1 = 11$.
3. Сносим 7, получаем 117. Делим 117 на 51. $51 \cdot 2 = 102$. Записываем 2 в частное.
4. Находим остаток: $117 - 102 = 15$.
5. Сносим 8, получаем 158. Делим 158 на 51. $51 \cdot 3 = 153$. Записываем 3 в частное.
6. Находим остаток: $158 - 153 = 5$. Остаток 5 меньше делителя 51, и больше цифр в делимом нет.
Таким образом, $6278 : 51 = 123$ (остаток 5).

Ответ: 123 (ост. 5).

д) Выполним деление столбиком для $32614 : 46$.

1. Первое неполное делимое — 326. Делим 326 на 46. $46 \cdot 7 = 322$. Записываем 7 в частное.
2. Находим остаток: $326 - 322 = 4$.
3. Сносим 1, получаем 41. 41 меньше 46, поэтому записываем 0 в частное.
4. Сносим 4, получаем 414. Делим 414 на 46. $46 \cdot 9 = 414$. Записываем 9 в частное.
5. Находим остаток: $414 - 414 = 0$. Деление завершено.
Таким образом, $32614 : 46 = 709$.

Ответ: 709.

е) Выполним деление столбиком для $46066 : 57$.

1. Первое неполное делимое — 460. Делим 460 на 57. $57 \cdot 8 = 456$. Записываем 8 в частное.
2. Находим остаток: $460 - 456 = 4$.
3. Сносим 6, получаем 46. 46 меньше 57, поэтому записываем 0 в частное.
4. Сносим 6, получаем 466. Делим 466 на 57. $57 \cdot 8 = 456$. Записываем 8 в частное.
5. Находим остаток: $466 - 456 = 10$. Остаток 10 меньше делителя 57, и больше цифр в делимом нет.
Таким образом, $46066 : 57 = 808$ (остаток 10).

Ответ: 808 (ост. 10).