Страница 52 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.228. a) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?

б) На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?

а)

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество тетрадей в линейку, которые купил ученик.
Согласно условию, тетрадей в клетку было в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Значит, количество тетрадей в клетку равно $3x$.
Также в условии сказано, что тетрадей в клетку было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Это означает, что разница между количеством тетрадей в клетку и в линейку составляет 18. Составим уравнение:
$3x - x = 18$
Упростим и решим уравнение:
$2x = 18$
$x = 18 / 2$
$x = 9$
Таким образом, ученик купил 9 тетрадей в линейку.
Теперь найдем количество тетрадей в клетку:
$3x = 3 * 9 = 27$
Ученик купил 27 тетрадей в клетку.
Чтобы найти общее количество купленных тетрадей, сложим количество тетрадей в линейку и в клетку:
$9 + 27 = 36$
Ответ: всего ученик купил 36 тетрадей.

б)

Обозначим количество книг на второй полке через $x$.
Из условия известно, что на первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Следовательно, количество книг на первой полке составляет $4x$.
Также сказано, что на первой полке было на 12 книг больше, чем на второй. Это значит, что разница между количеством книг на первой и второй полках равна 12. Составим уравнение:
$4x - x = 12$
Решим это уравнение:
$3x = 12$
$x = 12 / 3$
$x = 4$
Итак, на второй полке стояло 4 книги.
Теперь найдем количество книг на первой полке:
$4x = 4 * 4 = 16$
На первой полке стояло 16 книг.
Ответ: на первой полке стояло 16 книг, на второй — 4 книги.

1.229. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Известно также, что она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?

б) Книга дороже общей тетради в 5 раз, а общая тетрадь дешевле книги на 240 р. Сколько стоит книга?

а) Пусть $x$ — количество страниц, которое девочке осталось прочитать.
Согласно первому условию, девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Значит, количество прочитанных страниц равно $3x$.
Согласно второму условию, она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Значит, количество прочитанных страниц также равно $x + 78$.
Приравняем два выражения для количества прочитанных страниц, чтобы составить уравнение:
$3x = x + 78$
Теперь решим это уравнение. Перенесем $x$ в левую часть:
$3x - x = 78$
$2x = 78$
$x = \frac{78}{2}$
$x = 39$
Таким образом, девочке осталось прочитать 39 страниц.
Вопрос задачи — сколько страниц прочитала девочка. Для этого подставим значение $x$ в одно из выражений для прочитанных страниц:
Количество прочитанных страниц = $3x = 3 \cdot 39 = 117$.
Проверим по второму выражению: $x + 78 = 39 + 78 = 117$.
Результаты совпадают.
Ответ: девочка прочитала 117 страниц.

б) Пусть $x$ — стоимость общей тетради в рублях.
Согласно первому условию, книга дороже общей тетради в 5 раз. Значит, стоимость книги равна $5x$.
Согласно второму условию, общая тетрадь дешевле книги на 240 рублей. Это означает, что разница между стоимостью книги и стоимостью тетради составляет 240 рублей. Составим уравнение:
$5x - x = 240$
Решим это уравнение:
$4x = 240$
$x = \frac{240}{4}$
$x = 60$
Таким образом, стоимость общей тетради составляет 60 рублей.
Вопрос задачи — сколько стоит книга. Для этого найдем значение выражения $5x$:
Стоимость книги = $5x = 5 \cdot 60 = 300$.
Проверим: разница в цене составляет $300 - 60 = 240$ рублей, что соответствует условию.
Ответ: книга стоит 300 рублей.

Я провёл год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провёл я в дороге, в Москве и в деревне?

Для решения задачи примем, что в рассматриваемом году 365 дней (стандартный, не високосный год).

Введём переменную. Пусть $x$ — это количество дней, проведённых в дороге.

Основываясь на условии задачи, выразим время, проведённое в Москве и в деревне, через $x$:

• Время, проведённое в Москве, в 8 раз больше времени в дороге. Следовательно, в Москве было проведено $8x$ дней.
• Время, проведённое в деревне, в 8 раз больше времени в Москве. Следовательно, в деревне было проведено $8 \times (8x) = 64x$ дней.

Общая продолжительность всех периодов составляет один год, то есть 365 дней. Мы можем составить уравнение, сложив все части:

$x + 8x + 64x = 365$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$73x = 365$

Находим $x$:

$x = \frac{365}{73}$

$x = 5$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем рассчитать точное количество дней для каждого места.

в дороге
Было проведено $x$ дней.
Ответ: 5 дней.

в Москве
Было проведено $8x$ дней.
$8 \times 5 = 40$ дней.
Ответ: 40 дней.

в деревне
Было проведено $64x$ дней.
$64 \times 5 = 320$ дней.
Ответ: 320 дней.

1.231. Брату было 3 года, когда сестре исполнилось 10 лет, а сейчас сестра в 2 раза старше брата. Сколько лет брату сейчас?

1. Найдем разницу в возрасте.
Разница в возрасте между сестрой и братом остается неизменной. Когда брату было 3 года, сестре было 10 лет. Следовательно, сестра старше брата на:
$10 - 3 = 7$ лет.

2. Составим уравнение.
Пусть $x$ — это возраст брата сейчас.
По условию задачи, сестра сейчас в 2 раза старше брата, значит, её возраст равен $2x$.
Так как мы знаем, что сестра старше брата на 7 лет, её возраст также можно выразить как $x + 7$.
Теперь мы можем приравнять эти два выражения, чтобы найти $x$:
$2x = x + 7$

3. Решим уравнение.
$2x = x + 7$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:
$2x - x = 7$
$x = 7$

Таким образом, брату сейчас 7 лет.

4. Проверка.
Если брату 7 лет, то сестре $2 \cdot 7 = 14$ лет.
Разница в возрасте между ними составляет $14 - 7 = 7$ лет, что соответствует первоначальному условию.

Ответ: брату сейчас 7 лет.

1.232. Даше было 5 лет, когда маме исполнилось 26 лет, а сейчас мама в 4 раза старше Даши. Сколько лет маме сейчас?

Для решения задачи сначала определим разницу в возрасте между мамой и Дашей. Эта разница постоянна.
Когда Даше было 5 лет, а маме 26 лет, разница составляла:
$26 - 5 = 21$ год.
Таким образом, мама всегда старше Даши на 21 год.

Теперь обозначим текущий возраст Даши за $x$.
Тогда текущий возраст мамы можно выразить двумя способами:
1. Так как мама старше на 21 год, ее возраст равен $(x + 21)$.
2. По условию, мама в 4 раза старше Даши, значит, ее возраст равен $4x$.

Поскольку оба выражения описывают возраст мамы сейчас, мы можем их приравнять и составить уравнение:
$4x = x + 21$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$ (текущий возраст Даши):
$4x - x = 21$
$3x = 21$
$x = 21 / 3$
$x = 7$
Следовательно, Даше сейчас 7 лет.

Наконец, найдем, сколько лет маме сейчас. Для этого умножим возраст Даши на 4:
$7 * 4 = 28$ лет.
Для проверки можно к возрасту Даши прибавить разницу в возрасте: $7 + 21 = 28$ лет.

Ответ: маме сейчас 28 лет.

1.233. В двух карманах было 160 р. Когда из второго кармана переложили в первый 12 р., во втором кармане стало в 3 раза больше денег, чем в первом. Сколько денег было в первом кармане первоначально?

Для решения этой задачи обозначим через $x$ количество денег, которое было в первом кармане первоначально. Тогда во втором кармане было $(160 - x)$ р.

Когда из второго кармана переложили в первый 12 р., то:

• в первом кармане стало: $(x + 12)$ р.
• во втором кармане стало: $(160 - x - 12)$ р., то есть $(148 - x)$ р.

По условию, после этого во втором кармане стало в 3 раза больше денег, чем в первом. Составим и решим уравнение:

$148 - x = 3 \cdot (x + 12)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$148 - x = 3x + 36$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$148 - 36 = 3x + x$

$112 = 4x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{112}{4}$

$x = 28$

Таким образом, первоначально в первом кармане было 28 р.

Выполним проверку:

1. Первоначально в первом кармане было 28 р.
2. Тогда во втором кармане было $160 - 28 = 132$ р.
3. После перекладывания 12 р. из второго кармана в первый, в первом стало $28 + 12 = 40$ р.
4. Во втором кармане осталось $132 - 12 = 120$ р.
5. Проверим соотношение денег: $120 \div 40 = 3$. Во втором кармане стало ровно в 3 раза больше денег, чем в первом. Условие задачи выполняется.

Ответ: 28 р.

1.234. На двух полках стояло 60 книг. Когда с одной полки переставили на другую 4 книги, то на первой полке книг стало в 2 раза больше, чем на второй. Сколько книг было на первой полке первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

Суммарное количество книг на двух полках равно 60, что дает нам первое уравнение:

$x + y = 60$

Отсюда можно выразить $y$:

$y = 60 - x$

В условии сказано, что "с одной полки переставили на другую 4 книги". Это создает два возможных сценария, которые нужно рассмотреть отдельно.

Случай 1: 4 книги переставили с первой полки на вторую.

В этом случае количество книг на первой полке станет $x - 4$, а на второй — $y + 4$.

По условию, после этого на первой полке стало в 2 раза больше книг, чем на второй. Составим уравнение для этого случая:

$x - 4 = 2 \cdot (y + 4)$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $y$ ($y = 60 - x$):

$x - 4 = 2 \cdot ((60 - x) + 4)$

$x - 4 = 2 \cdot (64 - x)$

$x - 4 = 128 - 2x$

$3x = 128 + 4$

$3x = 132$

$x = \frac{132}{3} = 44$

Значит, если книги переставляли с первой полки на вторую, то на первой полке первоначально было 44 книги (а на второй $60 - 44 = 16$ книг).

Проверка: Изначально: 44 и 16. Переставили 4 книги с первой на вторую. Стало: $44-4=40$ на первой и $16+4=20$ на второй. $40 = 2 \cdot 20$. Условие выполняется.

Случай 2: 4 книги переставили со второй полки на первую.

В этом случае количество книг на первой полке станет $x + 4$, а на второй — $y - 4$.

Условие остается тем же: на первой полке стало в 2 раза больше книг, чем на второй. Составим уравнение:

$x + 4 = 2 \cdot (y - 4)$

Снова подставим $y = 60 - x$:

$x + 4 = 2 \cdot ((60 - x) - 4)$

$x + 4 = 2 \cdot (56 - x)$

$x + 4 = 112 - 2x$

$3x = 112 - 4$

$3x = 108$

$x = \frac{108}{3} = 36$

Значит, если книги переставляли со второй полки на первую, то на первой полке первоначально было 36 книг (а на второй $60 - 36 = 24$ книги).

Проверка: Изначально: 36 и 24. Переставили 4 книги со второй на первую. Стало: $36+4=40$ на первой и $24-4=20$ на второй. $40 = 2 \cdot 20$. Условие также выполняется.

Поскольку в условии задачи не уточнено, с какой полки на какую были переставлены книги, задача имеет два возможных правильных ответа.

Ответ: 36 книг или 44 книги.

1.235. На двух полках стояло 80 книг. Когда с одной полки переставили на другую 6 книг, то на одной из этих полок стало в 3 раза больше книг, чем на другой. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Сначала определим, сколько книг стало на полках после того, как 6 книг переставили. Общее количество книг (80) при этом не изменилось.

Пусть на одной полке стало $x$ книг, тогда на другой, где книг стало в 3 раза больше, стало $3x$ книг. Составим уравнение, исходя из общего количества книг:

$x + 3x = 80$

$4x = 80$

$x = \frac{80}{4} = 20$

Значит, на одной полке стало 20 книг, а на другой $3 \cdot 20 = 60$ книг.

Теперь найдем первоначальное количество книг. Для этого нужно выполнить обратное действие — вернуть 6 книг на ту полку, с которой их взяли. Так как мы не знаем, с какой полки переставляли книги, существует два возможных варианта.

Сценарий 1: 6 книг переставили с полки, на которой в итоге стало 20 книг.

Это означает, что до перестановки на этой полке было на 6 книг больше, а на другой — на 6 книг меньше.

На первой полке было: $20 + 6 = 26$ книг.

На второй полке было: $60 - 6 = 54$ книги.

Проверка: изначально было 26 и 54 книги. Если с первой полки (26) переставить 6 книг на вторую (54), то на них станет $26 - 6 = 20$ и $54 + 6 = 60$. Соотношение $60 = 3 \cdot 20$ выполняется.

Сценарий 2: 6 книг переставили с полки, на которой в итоге стало 60 книг.

Это означает, что до перестановки на этой полке было на 6 книг больше, а на другой — на 6 книг меньше.

На первой полке было: $60 + 6 = 66$ книг.

На второй полке было: $20 - 6 = 14$ книг.

Проверка: изначально было 66 и 14 книг. Если с первой полки (66) переставить 6 книг на вторую (14), то на них станет $66 - 6 = 60$ и $14 + 6 = 20$. Соотношение $60 = 3 \cdot 20$ выполняется.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Первоначально на полках могло быть либо 26 и 54 книги, либо 66 и 14 книг.