Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.210. a) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

б) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то на двух полках печенья стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально?

а)

1. Сначала найдем, сколько яблок стало в каждой корзине, когда их количество сравнялось. Общее количество яблок (86) не изменилось, поэтому разделим его на 2:

$86 \div 2 = 43$ яблока.

Таким образом, после перекладывания в каждой корзине стало по 43 яблока.

2. В первой корзине стало 43 яблока после того, как из нее забрали 3 яблока. Чтобы найти первоначальное количество, нужно вернуть эти 3 яблока:

$43 + 3 = 46$ яблок.

3. Во второй корзине стало 43 яблока после того, как в нее добавили 3 яблока. Чтобы найти первоначальное количество, нужно отнять эти 3 яблока:

$43 - 3 = 40$ яблок.

Проверим: первоначально было $46 + 40 = 86$ яблок. Все верно.

Ответ: первоначально в первой корзине было 46 яблок, а во второй — 40 яблок.

б)

1. Найдем, сколько пачек печенья стало на каждой полке после того, как их количество стало равным. Общее количество пачек (196) осталось прежним, поэтому разделим его на 2:

$196 \div 2 = 98$ пачек.

Следовательно, после перемещения на каждой полке оказалось по 98 пачек печенья.

2. На первой полке стало 98 пачек после того, как с нее убрали 28 пачек. Чтобы узнать, сколько пачек было на ней изначально, нужно прибавить обратно 28 пачек:

$98 + 28 = 126$ пачек.

3. На второй полке стало 98 пачек после того, как на нее добавили 28 пачек. Чтобы узнать, сколько пачек было на ней изначально, нужно отнять эти 28 пачек:

$98 - 28 = 70$ пачек.

Проверим: первоначально было $126 + 70 = 196$ пачек. Все верно.

Ответ: первоначально на первой полке было 126 пачек печенья, а на второй — 70 пачек.

1.211. а) У брата и сестры вместе 28 открыток. Сестра отдала брату 4 открытки, и открыток у них стало поровну. Сколько открыток было у каждого из них сначала?

б) У брата и сестры вместе было 46 марок. Брат отдал сестре 3 марки, и марок у них стало поровну. Сколько марок было у каждого из них первоначально?

а)

Задачу можно решить, рассуждая с конца.

1. Узнаем, сколько открыток стало у каждого, когда их количество сравнялось. Для этого общее число открыток разделим на 2:

$28 : 2 = 14$ (открыток) — стало у брата и сестры.

2. Сестра отдала брату 4 открытки, чтобы у них стало по 14. Это значит, что изначально у нее было на 4 открытки больше. Найдем, сколько открыток было у сестры:

$14 + 4 = 18$ (открыток) — было у сестры сначала.

3. Брат, наоборот, получил 4 открытки. Значит, сначала у него было на 4 открытки меньше. Найдем, сколько открыток было у брата:

$14 - 4 = 10$ (открыток) — было у брата сначала.

Проверим: $18 + 10 = 28$ открыток всего. Если сестра отдаст 4 ($18 - 4 = 14$), а брат получит 4 ($10 + 4 = 14$), у них станет поровну.

Ответ: сначала у сестры было 18 открыток, а у брата — 10 открыток.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей.

1. Сначала узнаем, сколько марок стало у каждого, когда их количество стало равным. Для этого общее число марок разделим на 2:

$46 : 2 = 23$ (марки) — стало у брата и сестры.

2. Брат отдал сестре 3 марки. Значит, первоначально у него было на 3 марки больше. Найдем, сколько марок было у брата:

$23 + 3 = 26$ (марок) — было у брата первоначально.

3. Сестра получила 3 марки. Значит, первоначально у нее было на 3 марки меньше. Найдем, сколько марок было у сестры:

$23 - 3 = 20$ (марок) — было у сестры первоначально.

Проверим: $26 + 20 = 46$ марок всего. Если брат отдаст 3 ($26 - 3 = 23$), а сестра получит 3 ($20 + 3 = 23$), у них станет поровну.

Ответ: первоначально у брата было 26 марок, а у сестры — 20 марок.

1.212. a) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую — 8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9, а из второй — 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество человек, которое было в первой комнате первоначально, а $y$ — количество человек во второй комнате.

По условию, всего в двух комнатах было 56 человек, следовательно, первое уравнение системы:

$x + y = 56$

Когда в первую комнату пришли еще 12 человек, в ней стало $(x + 12)$ человек. Когда во вторую комнату пришли еще 8 человек, в ней стало $(y + 8)$ человек. После этого количество людей в комнатах стало равным. Отсюда получаем второе уравнение:

$x + 12 = y + 8$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 56 \\ x + 12 = y + 8 \end{cases} $

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 12 - 8$

$y = x + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + (x + 4) = 56$

$2x + 4 = 56$

$2x = 52$

$x = 26$

Таким образом, в первой комнате первоначально было 26 человек.

Теперь найдем количество человек во второй комнате:

$y = x + 4 = 26 + 4 = 30$

Во второй комнате было 30 человек.

Проверка: $26 + 30 = 56$. После изменений в первой комнате стало $26 + 12 = 38$ человек, а во второй $30 + 8 = 38$ человек, что соответствует условию.

Ответ: первоначально в первой комнате было 26 человек, а во второй — 30 человек.

б)

Пусть $x$ — количество человек, которое было в первой комнате сначала, а $y$ — количество человек во второй комнате.

Всего в двух комнатах было 45 человек, значит:

$x + y = 45$

Из первой комнаты вышли 9 человек, в ней осталось $(x - 9)$ человек. Из второй комнаты вышли 14 человек, в ней осталось $(y - 14)$ человек. Количество людей в комнатах стало равным, поэтому:

$x - 9 = y - 14$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - 9 = y - 14 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x - 9 + 14$

$y = x + 5$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$x + (x + 5) = 45$

$2x + 5 = 45$

$2x = 40$

$x = 20$

В первой комнате сначала было 20 человек.

Теперь найдем количество человек во второй комнате:

$y = x + 5 = 20 + 5 = 25$

Во второй комнате было 25 человек.

Проверка: $20 + 25 = 45$. После изменений в первой комнате осталось $20 - 9 = 11$ человек, а во второй $25 - 14 = 11$ человек, что соответствует условию.

Ответ: сначала в первой комнате было 20 человек, а во второй — 25 человек.

1.213. а) В магазин привезли 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов привезли в магазин?

б) На заправочную станцию привезли 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько бензина привезли на станцию?

а) 1. Найдем общее количество проданных часов:
$150 + 140 = 290$ (часов) - продали всего.
2. Найдем, сколько всего часов осталось в магазине:
$420 - 290 = 130$ (часов) - осталось всего.
3. По условию, мужских и женских часов осталось поровну. Найдем, сколько осталось часов каждого вида:
$130 / 2 = 65$ (часов) - осталось мужских и столько же женских.
4. Чтобы найти, сколько мужских часов привезли изначально, нужно к оставшимся мужским часам прибавить количество проданных мужских часов:
$65 + 150 = 215$ (мужских часов).
Ответ: 215 мужских часов.

б) 1. Найдем, сколько всего тонн топлива осталось на заправочной станции:
$120 + 130 = 250$ (т) - осталось всего.
2. Найдем, сколько всего тонн топлива было продано:
$540 - 250 = 290$ (т) - продали всего.
3. По условию, бензина и дизельного топлива продали поровну. Найдем, сколько продали каждого вида топлива:
$290 / 2 = 145$ (т) - продали бензина и столько же дизельного топлива.
4. Чтобы найти, сколько бензина привезли на станцию, нужно к оставшемуся количеству бензина прибавить проданное количество:
$120 + 145 = 265$ (т).
Ответ: 265 т бензина.

1.214. На четырёх полках стояло 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй переставили на третью 15, а на четвёртую поставили 12 новых книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Для решения задачи сначала определим, сколько всего книг стало на полках после всех изменений, а затем вычислим, сколько книг было на каждой полке первоначально.

1. Найдём общее количество книг после всех перестановок.Изначально на четырёх полках было 164 книги.

• С первой полки сняли 16 книг (общее число уменьшилось на 16).
• Со второй полки на третью переставили 15 книг (общее число не изменилось).
• На четвёртую полку поставили 12 новых книг (общее число увеличилось на 12).

Новое общее количество книг: $164 - 16 + 12 = 148 + 12 = 160$ книг.

2. По условию, после всех изменений на четырёх полках книг стало поровну. Найдём, сколько книг стало на каждой полке:$160 \div 4 = 40$ книг.

3. Теперь, зная, что в итоге на каждой полке оказалось по 40 книг, найдём первоначальное количество книг на каждой из них, выполняя действия в обратном порядке.

На первой полкеС неё сняли 16 книг, и осталось 40. Следовательно, изначально на ней было:$40 + 16 = 56$ книг.

На второй полкеС неё переставили 15 книг, и осталось 40. Следовательно, изначально на ней было:$40 + 15 = 55$ книг.

На третьей полкеНа неё добавили 15 книг, и стало 40. Следовательно, изначально на ней было:$40 - 15 = 25$ книг.

На четвёртой полкеНа неё поставили 12 книг, и стало 40. Следовательно, изначально на ней было:$40 - 12 = 28$ книг.

Проверим, совпадает ли сумма найденных значений с исходным общим количеством книг:$56 + 55 + 25 + 28 = 164$ книги.Расчёт верен.

Ответ: первоначально на первой полке было 56 книг, на второй — 55 книг, на третьей — 25 книг, на четвёртой — 28 книг.

1.215. За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 5100 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй — 54 детали?

Для решения задачи необходимо распределить общую оплату пропорционально вкладу каждого рабочего, то есть количеству изготовленных им деталей. Сначала найдем общую производительность, а затем стоимость одной детали.

1. Найдем общее количество деталей, изготовленных двумя рабочими.

Для этого сложим количество деталей, которые сделал первый рабочий, с количеством деталей, которые сделал второй:

$48 + 54 = 102$ (детали).

2. Определим стоимость изготовления одной детали.

Разделим общую сумму оплаты на общее количество изготовленных деталей:

$5100 \div 102 = 50$ (рублей).

3. Рассчитаем, сколько денег получит каждый рабочий.

Чтобы найти заработок первого рабочего, умножим стоимость одной детали на количество сделанных им деталей:

$50 \times 48 = 2400$ (рублей).

Чтобы найти заработок второго рабочего, умножим стоимость одной детали на количество сделанных им деталей:

$50 \times 54 = 2700$ (рублей).

Проверка.

Сложим заработок двух рабочих, чтобы убедиться, что он равен общей сумме оплаты:

$2400 + 2700 = 5100$ (рублей).

Расчеты верны.

Ответ: первый рабочий получит 2400 рублей, а второй рабочий получит 2700 рублей.

1.216. На лугу паслось несколько коров.

У них ног на 54 больше, чем голов.

Сколько коров паслось на лугу?

Для нахождения количества коров можно составить и решить уравнение.

Пусть $x$ — это количество коров на лугу.

У каждой коровы по одной голове, значит, всего голов у всех коров — $x$.

У каждой коровы по четыре ноги, следовательно, общее количество ног у всех коров — $4x$.

Согласно условию задачи, количество ног на 54 больше, чем количество голов. Это можно выразить следующим уравнением:

$4x - x = 54$

Теперь решим это уравнение:

1. Упростим левую часть уравнения:

$3x = 54$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 54 / 3$

$x = 18$

Таким образом, на лугу паслось 18 коров.

Проверка:

Если на лугу 18 коров, то у них 18 голов и $18 \cdot 4 = 72$ ноги.

Найдем разницу между количеством ног и голов: $72 - 18 = 54$.

Разница соответствует условию задачи.

Ответ: 18.