Страница 40 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.153. Что называют степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ $(n > 1)$?

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, где $n > 1$, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

В этом выражении:

• $a$ – это основание степени (число, которое умножается само на себя).
• $n$ – это показатель степени (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя).
• Выражение $a^n$ – это сама степень (результат операции возведения в степень).

Например:

• $2^5$ (читается как «два в пятой степени») означает, что число 2 нужно умножить само на себя 5 раз: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
• $(-3)^4$ (читается как «минус три в четвертой степени») означает, что число -3 нужно умножить само на себя 4 раза: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$.

Условие $n > 1$ в вопросе подчеркивает, что речь идет именно о произведении, состоящем как минимум из двух множителей. Случай, когда $n=1$, определяется отдельно: степенью числа $a$ с показателем 1 является само число $a$, то есть $a^1 = a$.

Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n > 1$ называют произведение, состоящее из $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

1.15 Чему равна первая степень любого числа?

Первая степень любого числа равна самому этому числу.

По определению, возведение числа $a$ в натуральную степень $n$ (записывается как $a^n$) — это результат умножения числа $a$ на самого себя $n$ раз.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Когда показатель степени $n=1$, это означает, что число $a$ берется в качестве множителя всего один раз. Таким образом, никаких умножений не происходит, и результат равен самому числу $a$.

В общем виде это правило записывается формулой:
$a^1 = a$
где $a$ — любое число.

Например:
$5^1 = 5$
$(-12)^1 = -12$
$(0,75)^1 = 0,75$
$0^1 = 0$

Ответ: Первая степень любого числа равна самому этому числу.

2.1.155 Что называют:

а) квадратом числа;

б) кубом числа?

а) квадратом числа

Квадратом числа называют результат умножения этого числа на само себя. Возведение в квадрат — это математическая операция, которую также называют возведением во вторую степень.

Квадрат числа $a$ обозначается как $a^2$ и вычисляется по формуле:
$a^2 = a \cdot a$

Термин "квадрат" связан с геометрией: площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

Примеры:
Квадрат числа 5 равен $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Квадрат числа -3 равен $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.

Ответ: Квадратом числа $a$ называют произведение двух множителей, каждый из которых равен $a$.

б) кубом числа

Кубом числа называют результат умножения этого числа на само себя трижды. То есть, это произведение трёх одинаковых множителей. Возведение в куб — это возведение в третью степень.

Куб числа $a$ обозначается как $a^3$ и вычисляется по формуле:
$a^3 = a \cdot a \cdot a$

Этот термин также имеет геометрическое происхождение: объем куба с длиной ребра $a$ равен $a^3$.

Примеры:
Куб числа 2 равен $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Куб числа -4 равен $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64$.

Ответ: Кубом числа $a$ называют произведение трёх множителей, каждый из которых равен $a$.

1.156. Запишите сумму в виде произведения:

а) $5 + 5$;

б) $8 + 8 + 8 + 8$;

в) $a + a + a$.

а) Сумма $5 + 5$ состоит из двух одинаковых слагаемых. Чтобы представить эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое (5) на количество его повторений (2).
$5 + 5 = 2 \cdot 5$
Ответ: $2 \cdot 5$

б) Сумма $8 + 8 + 8 + 8$ состоит из четырех одинаковых слагаемых. По определению умножения, такая сумма равна произведению слагаемого (8) на количество его повторений (4).
$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \cdot 8$
Ответ: $4 \cdot 8$

в) Сумма $a + a + a$ состоит из трех одинаковых слагаемых, выраженных переменной $a$. Чтобы записать эту сумму в виде произведения, нужно умножить слагаемое ($a$) на количество его повторений (3). В алгебре знак умножения между числом и переменной принято опускать.
$a + a + a = 3 \cdot a = 3a$
Ответ: $3a$

1.157. Запишите произведение в виде степени:

а) $5 \cdot 5;$

б) $8 \cdot 8 \cdot 8;$

в) $a \cdot a \cdot a.$

а) Степенью числа называют произведение одинаковых множителей. В данном выражении число 5 умножается само на себя. Число, которое умножается, называется основанием степени, а количество раз, которое оно умножается, — показателем степени. В произведении $5 \cdot 5$ основание равно 5, а показатель равен 2, так как множитель повторяется дважды. Таким образом, произведение можно записать в виде степени.
$5 \cdot 5 = 5^2$.
Ответ: $5^2$.

б) В данном произведении множитель 8 повторяется 4 раза. Следовательно, основанием степени является число 8, а показателем степени — число 4. Запишем произведение в виде степени.
$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^4$.
Ответ: $8^4$.

в) В этом выражении множитель $a$ повторяется 3 раза. Основанием степени будет переменная $a$, а показателем степени — число 3. Запишем произведение в виде степени.
$a \cdot a \cdot a = a^3$.
Ответ: $a^3$.

1.158 Используя специальные названия второй и третьей степени, прочитайте степени: $2^2$; $2^3$; $3^2$; $3^3$; $4^3$; $5^2$.

В математике для второй и третьей степени числа используются специальные названия. Вторую степень, $a^2$, называют «квадрат числа $a$». Третью степень, $a^3$, называют «куб числа $a$». Прочитаем заданные степени, используя эти названия.

$2^2$

Это вторая степень числа 2, которая называется «квадрат». Следовательно, выражение читается как «два в квадрате».
Ответ: два в квадрате.

$2^3$

Это третья степень числа 2, которая называется «куб». Следовательно, выражение читается как «два в кубе».
Ответ: два в кубе.

$3^2$

Это вторая степень числа 3, то есть «квадрат». Выражение читается как «три в квадрате».
Ответ: три в квадрате.

$3^3$

Это третья степень числа 3, то есть «куб». Выражение читается как «три в кубе».
Ответ: три в кубе.

$4^3$

Это третья степень числа 4, которая называется «куб». Следовательно, выражение читается как «четыре в кубе».
Ответ: четыре в кубе.

$5^2$

Это вторая степень числа 5, которая называется «квадрат». Следовательно, выражение читается как «пять в квадрате».
Ответ: пять в квадрате.

Вычислите (1.159–1.162):

1.159 а) $3^2$;

б) $3 \cdot 2$;

в) $5^2$;

г) $5 \cdot 2$;

д) $9^2$;

е) $9 \cdot 2$;

ж) $2^3$;

з) $2 \cdot 3$.

а)

Выражение $3^2$ означает возведение числа 3 во вторую степень. Это эквивалентно умножению числа 3 на самого себя.

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: 9

б)

Данное выражение представляет собой произведение чисел 3 и 2.

$3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

в)

Выражение $5^2$ означает возведение числа 5 во вторую степень (в квадрат). Для этого нужно умножить 5 на 5.

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 25

г)

Данное выражение представляет собой произведение чисел 5 и 2.

$5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

д)

Выражение $9^2$ означает возведение числа 9 во вторую степень. Это значит, что нужно умножить 9 само на себя.

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

Ответ: 81

е)

Данное выражение представляет собой произведение чисел 9 и 2.

$9 \cdot 2 = 18$

Ответ: 18

ж)

Выражение $2^3$ означает возведение числа 2 в третью степень (в куб). Для этого нужно умножить число 2 на себя три раза.

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8

з)

Данное выражение представляет собой произведение чисел 2 и 3.

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

1.160 a) $2^2$;

б) $4^2$;

в) $6^2$;

г) $7^2$;

д) $8^2$;

е) $9^2$;

ж) $10^2$;

з) $1^2$.

а)

Возвести число 2 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$2^2 = 2 \times 2 = 4$

Ответ: 4

б)

Возвести число 4 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$4^2 = 4 \times 4 = 16$

Ответ: 16

в)

Возвести число 6 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$6^2 = 6 \times 6 = 36$

Ответ: 36

г)

Возвести число 7 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$7^2 = 7 \times 7 = 49$

Ответ: 49

д)

Возвести число 8 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$8^2 = 8 \times 8 = 64$

Ответ: 64

е)

Возвести число 9 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$9^2 = 9 \times 9 = 81$

Ответ: 81

ж)

Возвести число 10 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$10^2 = 10 \times 10 = 100$

Ответ: 100

з)

Возвести число 1 в квадрат (во вторую степень) — значит умножить его само на себя.

$1^2 = 1 \times 1 = 1$

Ответ: 1

1.161 а) $3^3$

б) $4^3$

в) $5^3$

г) $1^3$

д) $0^3$

е) $10^3$

ж) $6^3$

з) $7^3$

а) Возведение в третью степень (в куб) означает умножение числа на само себя три раза. Для выражения $3^3$ это будет:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27

б) Аналогично, для выражения $4^3$ вычисляем:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

в) Вычисляем куб числа 5:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

г) Вычисляем куб числа 1. Единица в любой степени равна единице:

$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

д) Вычисляем куб числа 0. Ноль в любой положительной степени равен нулю:

$0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

е) Вычисляем куб числа 10:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$

Ответ: 1000

ж) Вычисляем куб числа 6:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Ответ: 216

з) Вычисляем куб числа 7:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$

Ответ: 343

1.162. а) $3^4$;

б) $3^5$;

в) $1^8$;

г) $0^4$;

д) $100^1$;

е) $1^1$;

ж) $11^2$;

з) $12^2$.

а)

Степень числа показывает, сколько раз число нужно умножить само на себя. Чтобы найти значение выражения $3^4$, нужно число 3 умножить само на себя 4 раза.

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

Ответ: 81

б)

Чтобы найти значение выражения $3^5$, нужно число 3 умножить само на себя 5 раз.

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243

в)

Число 1 в любой натуральной степени равно 1.

$1^8 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

г)

Число 0 в любой натуральной степени (кроме нулевой) равно 0.

$0^4 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

д)

Любое число в первой степени равно самому этому числу.

$100^1 = 100$

Ответ: 100

е)

Любое число в первой степени равно самому себе.

$1^1 = 1$

Ответ: 1

ж)

Чтобы найти значение выражения $11^2$ (одиннадцать в квадрате), нужно число 11 умножить само на себя.

$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$

Ответ: 121

з)

Чтобы найти значение выражения $12^2$ (двенадцать в квадрате), нужно число 12 умножить само на себя.

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$

Ответ: 144

6.163. Составьте таблицу квадратов чисел от 0 до 15.

Для составления таблицы квадратов чисел от 0 до 15, необходимо последовательно возвести в квадрат каждое целое число в данном диапазоне. Возведение в квадрат числа $n$ означает умножение этого числа на само себя: $n^2 = n \cdot n$.

Проведем вычисления для каждого числа:

• $0^2 = 0 \cdot 0 = 0$
• $1^2 = 1 \cdot 1 = 1$
• $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
• $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
• $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$
• $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
• $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$
• $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
• $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
• $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$
• $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
• $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$
• $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$
• $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$
• $14^2 = 14 \cdot 14 = 196$
• $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

Итоговая таблица квадратов чисел от 0 до 15:

Ответ:

1.164 Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10.

Для составления таблицы кубов чисел от 0 до 10, необходимо возвести каждое целое число из этого промежутка в третью степень. Куб числа $n$ – это результат умножения числа на себя три раза, что записывается как $n^3$.

Выполним вычисления для каждого числа от 0 до 10:

• $0^3 = 0 \times 0 \times 0 = 0$
• $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
• $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
• $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
• $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$
• $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$
• $8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$
• $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729$
• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

Сведем полученные результаты в итоговую таблицу.

Ответ:

1.165 Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10.

Для решения данной задачи необходимо вычислить значения степеней числа 2, где показатели степени (n) принимают целые значения от 1 до 10. Формула для вычисления степени: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (n раз).

Последовательно вычислим каждую степень:

Для показателя 1:
$2^1 = 2$

Для показателя 2:
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Для показателя 3:
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Для показателя 4:
$2^4 = 2^3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$

Для показателя 5:
$2^5 = 2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$

Для показателя 6:
$2^6 = 2^5 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$

Для показателя 7:
$2^7 = 2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$

Для показателя 8:
$2^8 = 2^7 \cdot 2 = 128 \cdot 2 = 256$

Для показателя 9:
$2^9 = 2^8 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$

Для показателя 10:
$2^{10} = 2^9 \cdot 2 = 512 \cdot 2 = 1024$

Таким образом, мы получили ряд значений для степеней числа 2 с показателями от 1 до 10.
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

1.166. Запишите число в виде квадрата натурального числа:

а) $3^2$;

б) $5^2$;

в) $10^2$;

г) $4^2$;

д) $7^2$;

е) $9^2$;

ж) $8^2$;

з) $6^2$.

а) Чтобы представить число 9 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 9. Таким числом является 3, поскольку $3 \times 3 = 9$.
Следовательно, $9 = 3^2$.
Ответ: $3^2$.

б) Чтобы представить число 25 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 25. Таким числом является 5, поскольку $5 \times 5 = 25$.
Следовательно, $25 = 5^2$.
Ответ: $5^2$.

в) Чтобы представить число 100 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 100. Таким числом является 10, поскольку $10 \times 10 = 100$.
Следовательно, $100 = 10^2$.
Ответ: $10^2$.

г) Чтобы представить число 16 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 16. Таким числом является 4, поскольку $4 \times 4 = 16$.
Следовательно, $16 = 4^2$.
Ответ: $4^2$.

д) Чтобы представить число 49 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 49. Таким числом является 7, поскольку $7 \times 7 = 49$.
Следовательно, $49 = 7^2$.
Ответ: $7^2$.

е) Чтобы представить число 81 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 81. Таким числом является 9, поскольку $9 \times 9 = 81$.
Следовательно, $81 = 9^2$.
Ответ: $9^2$.

ж) Чтобы представить число 64 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 64. Таким числом является 8, поскольку $8 \times 8 = 64$.
Следовательно, $64 = 8^2$.
Ответ: $8^2$.

з) Чтобы представить число 36 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти натуральное число, которое при умножении само на себя даст 36. Таким числом является 6, поскольку $6 \times 6 = 36$.
Следовательно, $36 = 6^2$.
Ответ: $6^2$.

1.167. Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7.

Чтобы возвести число 10 в натуральную степень $n$, нужно записать единицу и справа от неё дописать $n$ нулей. Выполним вычисления для показателей степени от 1 до 7.

Степень с показателем 1:
$10^1 = 10$
Ответ: 10.

Степень с показателем 2:
$10^2 = 100$
Ответ: 100.

Степень с показателем 3:
$10^3 = 1000$
Ответ: 1000.

Степень с показателем 4:
$10^4 = 10000$
Ответ: 10000.

Степень с показателем 5:
$10^5 = 100000$
Ответ: 100000.

Степень с показателем 6:
$10^6 = 1000000$ (один миллион)
Ответ: 1000000.

Степень с показателем 7:
$10^7 = 10000000$ (десять миллионов)
Ответ: 10000000.

1.168 Запишите в виде степени с основанием 10 число:

а) 100;

б) 1000;

в) 10 000;

г) 10;

д) 100 000;

е) 1 000 000.

Чтобы записать число в виде степени с основанием 10, нужно посчитать количество нулей после единицы. Это число и будет показателем степени.

а) В числе 100 два нуля после единицы. Следовательно, 100 можно представить как 10 во второй степени.
$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$.
Ответ: $10^2$.

б) В числе 1000 три нуля после единицы. Это означает, что 1000 равно 10 в третьей степени.
$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.
Ответ: $10^3$.

в) В числе 10 000 четыре нуля после единицы. Таким образом, 10 000 можно записать как 10 в четвертой степени.
$10\;000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$.
Ответ: $10^4$.

г) В числе 10 один ноль после единицы. Любое число в первой степени равно самому себе.
$10 = 10^1$.
Ответ: $10^1$.

д) В числе 100 000 пять нулей после единицы. Это соответствует пятой степени числа 10.
$100\;000 = 10^5$.
Ответ: $10^5$.

е) В числе 1 000 000 шесть нулей после единицы. Следовательно, 1 000 000 равен 10 в шестой степени.
$1\;000\;000 = 10^6$.
Ответ: $10^6$.

1.169 Запишите число в виде произведения одинаковых чисел:

а) 4;

б) 1;

в) 27;

г) 256.

а)

Чтобы записать число 4 в виде произведения одинаковых чисел, нужно найти такое число, которое при умножении само на себя даст 4. Этим числом является 2, так как $2 \times 2 = 4$. Данное произведение можно также представить в виде степени: $4 = 2^2$.

Ответ: $4 = 2 \times 2$.

б)

Число 1 обладает уникальным свойством: при умножении на себя любое количество раз результат остается равным 1. Например, $1 \times 1 = 1$ или $1 \times 1 \times 1 = 1$. В качестве ответа запишем простейший вариант произведения.

Ответ: $1 = 1 \times 1$.

в)

Для числа 27 необходимо найти одинаковые множители. Мы знаем, что 27 является кубом числа 3. Проверим это, разложив 27 на множители: $27 = 3 \times 9$. Так как $9 = 3 \times 3$, то получаем $27 = 3 \times 3 \times 3$. В виде степени это записывается как $27 = 3^3$.

Ответ: $27 = 3 \times 3 \times 3$.

г)

Число 256 можно представить в виде произведения одинаковых чисел несколькими способами, так как оно является степенью нескольких чисел.

1. Как произведение двоек: $256 = 2^8$.
$256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.

2. Как произведение четверок: $256 = 4^4$.
$256 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) = 4 \times 4 \times 4 \times 4$.

3. Как произведение чисел 16: $256 = 16^2$.
$256 = (4 \times 4) \times (4 \times 4) = 16 \times 16$.

Все три варианта являются правильными решениями задачи.

Ответ: $256 = 16 \times 16$, или $256 = 4 \times 4 \times 4 \times 4$, или $256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.

1.170 Запишите каждое число в виде степени: 8; 125; 64; 243.

Чтобы представить каждое из данных чисел в виде степени, необходимо найти основание (число, которое возводится в степень) и показатель (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя).

8

Для числа 8 ищем такое целое число, которое при умножении само на себя несколько раз даст 8. Начнем с наименьшего целого числа, большего 1, — это 2.

$2^1 = 2$

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, число 8 можно записать как 2 в третьей степени.

Ответ: $8 = 2^3$.

125

Для числа 125. Так как оно оканчивается на 5, разумно предположить, что основанием степени является число 5.

Проверим:

$5^1 = 5$

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Следовательно, число 125 можно записать как 5 в третьей степени.

Ответ: $125 = 5^3$.

64

Для числа 64 можно найти несколько вариантов представления в виде степени.

1. Если основание равно 2:

$2^5 = 32$, $2^6 = 32 \cdot 2 = 64$. Получаем $2^6$.

2. Если основание равно 4:

$4^2 = 16$, $4^3 = 16 \cdot 4 = 64$. Получаем $4^3$.

3. Если основание равно 8:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$. Получаем $8^2$.

Все три варианта являются верными, так как $2^6 = (2^2)^3 = 4^3$ и $2^6 = (2^3)^2 = 8^2$.

Ответ: $64 = 2^6$ (или $4^3$, или $8^2$).

243

Для числа 243. Проверим делимость на 3: сумма цифр $2 + 4 + 3 = 9$, что делится на 3. Значит, можно попробовать 3 в качестве основания.

$3^1 = 3$

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$3^3 = 9 \cdot 3 = 27$

$3^4 = 27 \cdot 3 = 81$

$3^5 = 81 \cdot 3 = 243$

Таким образом, число 243 можно записать как 3 в пятой степени.

Ответ: $243 = 3^5$.

1.171. Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа $m$ и $n$ такие, что $n^m = m^n$. Найдите эти числа.

По условию задачи, нам нужно найти два неравных натуральных числа $m$ и $n$ среди первых пяти натуральных чисел, то есть из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, для которых выполняется равенство $n^m = m^n$.

Для нахождения этих чисел можно последовательно проверить все возможные пары различных чисел из данного множества. Чтобы не проверять одни и те же пары дважды (например, $m=2, n=4$ и $m=4, n=2$), будем считать, что $m < n$.

1. Проверим пары, где $m=1$.
Если $m=1, n=2$: $2^1 = 2$, $1^2 = 1$. Неверно ($2 \ne 1$).
Если $m=1, n=3$: $3^1 = 3$, $1^3 = 1$. Неверно ($3 \ne 1$).
В общем случае, если одно из чисел равно 1, например $m=1$, то равенство $n^m = m^n$ превращается в $n^1 = 1^n$, или $n = 1$. Но по условию $m \ne n$, поэтому пары с единицей не являются решением.

2. Проверим пары, где $m=2$.
Если $m=2, n=3$: $3^2 = 9$, $2^3 = 8$. Неверно ($9 \ne 8$).
Если $m=2, n=4$: $4^2 = 16$, $2^4 = 16$. Верно ($16 = 16$). Эта пара чисел является решением.
Если $m=2, n=5$: $5^2 = 25$, $2^5 = 32$. Неверно ($25 \ne 32$).

3. Проверим пары, где $m=3$.
Если $m=3, n=4$: $4^3 = 64$, $3^4 = 81$. Неверно ($64 \ne 81$).
Если $m=3, n=5$: $5^3 = 125$, $3^5 = 243$. Неверно ($125 \ne 243$).

4. Проверим пару, где $m=4$.
Если $m=4, n=5$: $5^4 = 625$, $4^5 = 1024$. Неверно ($625 \ne 1024$).

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая условию, — это 2 и 4.

Ответ: 2 и 4.